高观点下的初等数学选讲.pptx

1一、矩一、矩阵代数（从代数的角度看代数（从代数的角度看变换）1、定、定义2、低、低阶矩矩阵3、零矩、零矩阵、单位矩位矩阵与与纯量矩量矩阵（数量（数量阵）2一、矩一、矩阵代数（从代数的角度看代数（从代数的角度看变换）4、矩、矩阵运算运算 （1）加法（减法）加法（减法）（2）乘法（除法？未必都有意）乘法（除法？未必都有意义？何？何时有意有意义？类似整数除法）似整数除法）注：矩注：矩阵乘法的几何意乘法的几何意义：变换的合成！的合成！（3）数乘）数乘“。”（这不同于数与行列式的乘法）不同于数与行列式的乘法）（4）转置（共置（共轭转置）置）3一、矩一、矩阵代数（从代数的角度看代数（从代数的角度看变换）5、数域、数域F的的n*n阶矩矩阵（即（即n阶方方阵，关于以，关于以上定上定义的加法、乘法、数乘构成数域的加法、乘法、数乘构成数域F上上的一个的一个n2维非交非交换，有零因子的代数，即，有零因子的代数，即运算律！）运算律！）6、可逆矩、可逆矩阵与矩与矩阵求逆求逆 （1）定）定义：（2）可逆）可逆阵的判定的判定:（3）基本性）基本性质4一、矩一、矩阵代数（从代数的角度看代数（从代数的角度看变换）（4）可逆）可逆阵求逆法求逆法 （i）初等）初等变换法法 （ii）公式法）公式法 （iii）根据）根据变换的几何意的几何意义求逆矩求逆矩阵 （iv）特）特别地地n=2时7、矩、矩阵的特征的特征值、特征向量与特征多、特征向量与特征多项式式5二、二、线性性变换（从几何角度看（从几何角度看变换）1、向量空、向量空间（线性空性空间）定）定义回回顾 2、低、低维向量空向量空间 3、基与、基与维数数 4、线性性变换的定的定义 5、线性性变换与矩与矩阵的一一的一一对应关系关系 6二、二、线性性变换（从几何角度看（从几何角度看变换）6、可逆、可逆线性性变换的性的性质 （1）将直）将直线变成直成直线 （2）将）将线段段变成成线段段 （3）将平行四）将平行四边形形变成平行四成平行四边形形7三、初等数学中常三、初等数学中常见的的线性性变换及及对应的矩的矩阵1、旋、旋转变换 设平面上建立了直角坐平面上建立了直角坐标系，所有的点系，所有的点绕原点沿着逆原点沿着逆时间方向旋方向旋转同一个角度同一个角度，则这个个变换是是线性性变换，求，求这个个线性性变换及及对应的矩的矩阵2、关于原点的中心、关于原点的中心对称称变换是特殊的旋是特殊的旋转变换3、恒等、恒等变换是特殊的旋是特殊的旋转变换8三、初等数学中常三、初等数学中常见的的线性性变换及及对应的矩的矩阵4、反射、反射变换 证明关于直明关于直线Ax+By=0的反射的反射变换是是线性性变换，试求出求出该变换对应的矩的矩阵，它是可，它是可逆矩逆矩阵吗？9三、初等数学中常三、初等数学中常见的的线性性变换及及对应的矩的矩阵例：平面上建立了直角坐标系，直线例：平面上建立了直角坐标系，直线l1,l2绕原绕原点点O，倾斜角分别是，倾斜角分别是，设，设A,B分别是分别是表示直线表示直线l1,l2的反射变换，求的反射变换，求 （1）A,B复合变换复合变换BA的矩阵的矩阵 （2）BA的复合的复合AB的矩阵的矩阵 （3）根据矩阵说明）根据矩阵说明BA,AB是什么变换？是什么变换？这两个变换是否相同。这两个变换是否相同。105、位似、位似变换6、伸、伸压变换7、投影、投影变换 注：平面上的注：平面上的变换T有逆有逆变换，必，必须满足两个条件：足两个条件：（1）平面上不同的点被）平面上不同的点被T变到不同的点到不同的点 （2）T将平面将平面变到整个平面。到整个平面。（由此可知：投影（由此可知：投影变换不是可逆不是可逆变换？平面？平面变到一条直到一条直线）三、初等数学中常三、初等数学中常见的的线性性变换及及对应的矩的矩阵118、根据、根据变换的几何意的几何意义求矩求矩阵的逆的逆思考：保持思考：保持长度不度不变（内（内积不不变，距离，距离不不变）的）的线性性变换是什么是什么变换？三、初等数学中常三、初等数学中常见的的线性性变换及及对应的矩的矩阵12 1、定理、定理 2、推、推论 3、定理、定理 例例1：求下面：求下面图形的面形的面积 （1）平行四）平行四边形形OABC，其中，其中A(1,1),B(-2,1)（2）三角形）三角形OAB，其中，其中A(1,1),B(-2,1)（3）平面四）平面四边形形ABCD，其中，其中A(1,1),B(2,0),C(3,2)四、矩四、矩阵（变换）思想在有关面）思想在有关面积求解中的求解中的应用用13（4）已知矩形）已知矩形OBCD的的顶点点A(t,0),B(0,k)，矩矩阵T 代表的代表的变换个将矩形个将矩形OABC变到到图形形OABC，求，求变换后后的的图形形OABC与与变换前的前的图形形OABC的面的面积比。比。四、矩四、矩阵（变换）思想在有关面）思想在有关面积求解中的求解中的应用用144、定理：、定理：线性性变量将平面上所有的量将平面上所有的图形的面形的面积放放大同一个倍数，大同一个倍数，这个倍数就是个倍数就是变换行列式的行列式的绝对值。例例2、求、求椭圆x2/a2+y2/b2=1（其中（其中ab0）的内接）的内接菱形的面菱形的面积的最大的最大值，以及何，以及何时取得最大取得最大值。例例3、利用伸、利用伸缩变换将某个将某个圆变成成椭圆x2/a2+y2/b2=1，利用，利用圆面面积公式得出公式得出椭圆面面积公式公式四、矩四、矩阵（变换）思想在有关面）思想在有关面积求解中的求解中的应用用15谢谢！