口算圆锥曲线第一讲.doc

旺哥带你飞之口算圆锥曲线系列

主讲：旺哥
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2016.5.11

第一讲：弦长公式这么大

圆锥曲线运算体系：
直曲联立求韦达
条件代数消坐标
得到系数求定最

² 核心公式：

小方积，大方和。
成对去虐单身方。
见走单身去下方。

【2014年新课标Ⅰ卷理科】
1．已知点A,椭圆E:的离心率为；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点
（I）求E的方程；
（II）设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。当的面积最大时，求的直线方程.

【2015浙江理科卷】
2．已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．

（1）求实数的取值范围；
（2）求面积的最大值（为坐标原点）．

【2013新课标Ⅱ卷理科】
3．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：右焦点的直线交于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(Ι)求M的方程；
（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形面积的最大值.

【2011年北京卷理科】
4．已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为m的函数，并求的最大值.

【2005全国Ⅱ卷理科】
5. P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴的焦点，已知共线，共线，且.

求四边形PMQN的面积最小值和最大值.

总结：
试卷第4页，总4页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
参考答案
1．（I）；（II）或.
【解析】
试题分析：（I）由直线AF的斜率为，可求．并结合求得，再利用求，进而可确定椭圆E的方程；（II）依题意直线的斜率存在，故可设直线方程为，和椭圆方程联立得．利用弦长公式表示，利用点到直线的距离求的高．从而三角形的面积可表示为关于变量的函数解析式，再求函数最大值及相应的值，故直线的方程确定．
试题解析：（I）设右焦点，由条件知，，得．
又，所以，．故椭圆的方程为．
（II）当轴时不合题意，故设直线，．
将代入得．当，即时，
．从而．又点到直线的距离
，所以的面积．设，则，．因为，当且仅当时，时取等号，且满足．所以，当的面积最大时，的方程为或．
【考点定位】1、椭圆的标准方程及简单几何性质；2、弦长公式；3、函数的最值．
2．（1）或；（2）.
【解析】
（1）可设直线AB的方程为，从而可知有两个不同
的解，再由中点也在直线上，即可得到关于的不等式，从而求解；（2）令，可
将表示为的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.
试题解析：（1）由题意知，可设直线AB的方程为，由，
消去，得，∵直线与椭圆有两
个不同的交点，∴，①，将AB中点代入直线
方程解得，②。由①②得或；（2）令
，则，且O到直线AB
的距离为，设的面积为，
∴，当且仅当时，等号成立，故
面积的最大值为.
考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.
【答案】(Ι) （Ⅱ）
【解析】(Ι)设则，，（1）－（2）得：
，因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以M的方程为.
（Ⅱ）因为CD⊥AB，直线AB方程为，所以设直线CD方程为，
将代入得：，即、，所以可得
；将代入得：，设则
=，又因为，即，所以当时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为.
本题第（Ⅰ）问，属于中点弦问题,运用设而不求的数学思想;第（Ⅱ）问,运用弦长公式求出弦长,然后由面积公式求出面积的最大值.对第（Ⅰ）问，一部分同学想不到设而不求的思想,容易联立方程组求解而走弯路；第（Ⅱ）问,容易出现计算失误.
【考点定位】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.
4．（Ⅰ）由已知得 所以所以椭圆的焦点坐标为 ，离心率为
（Ⅱ）（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得
当时，设切线l的方程为由
设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以
由于当时，
所以.因为
且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2
【解析】略

答案第3页，总4页