基本不等式链.docx

基本不等式链：若都是正数，则，当且仅当时等号成立。
注：算术平均数---；几何平均数---；调和平均数---；平方平均数---。
证明1：（代数法）
（1）；
（2）；
（3）；
综上，，当且仅当时成立。
证明2：（几何法）
如图，，以为直径作圆，则
图1：，；
图2：，；
图3：，；
综上，，当且仅当时成立。
证明3：（几何法）
作梯形，使，令，分别是的中点，过作于，过作于，在上截取，则分别是的中点，，
平分，
，即，
，
显然，，∴
当“”时，。
证明4：（几何法）
作梯形，使，令，
在上截取，则
过作交于，过作于，过作于，
在上分别取点，使梯形与梯形相似，
则，，
，
，
梯形与梯形相似
显然，，∴
当“”时，。