基本不等式链.docx

基本不等式链：若都是正数，则，当且仅当时等号成立。 注：算术平均数-；几何平均数-；调和平均数-；平方平均数-。证明1：（代数法） （1）； （2）； （3）； 综上，当且仅当时成立。证明2：（几何法）如图，以为直径作圆，则图1：，；图2：，；图3：，；综上，当且仅当时成立。证明3：（几何法）作梯形，使，令，分别是的中点，过作于，过作于，在上截取，则分别是的中点，平分，即， 显然， 当“”时，。证明4：（几何法）作梯形，使，令，在上截取，则过作交于，过作于，过作于，在上分别取点，使梯形与梯形相似，则，梯形与梯形相似 显然， 当“”时，。