(第一章全等三角形的辅助线)知识点与练习含解析解析.doc

(第一章全等三角形的辅助线)知识点与练习含解析解析知识精讲一、中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图是底边的中线)、二、角平分线类辅助线作法有以下三种作辅助线的方式：1、由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2、过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3、，这种对称的图形应用得也较为普遍、三、截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想、所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个的较短的线段延长至与另一个的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的线段的关系、有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解、三点剖析一、考点：全等三角形辅助线的作法二、重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法三、易错点：1、辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2、辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来、题模精讲题模一：中点类例1.1.1：ABC中，AD是BC边上的中线，试求AD的取值范围、【答案】【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等、ABCDE延长AD至E，使得，连结CE在ABD和ECD中1.ABDECDSASAE的取值范围为例1.1.2如下图，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证：、【答案】见解析【解析】解法一：如下图，延长到，使，连接BF、容易证明，从而，而，故、注意到，故，而公用，故，因此、解法二：如下图，取的中点，连接、因为是的中点，是的中点，故是的中位线，从而，由可得，故，从而，、题模二：角平分线类例1.2.1如图，平分，平分，点在上、探讨线段、和之间的等量关系、探讨线段与之间的位置关系、【答案】见解析【解析】；、证明如下：在线段上取点，使，连结、在和中，而在和中，例1.2.2如图，BD为ABC的平分线，CEBE，求证：、【答案】见解析【解析】延长CE，交BA的延长线于点F、BD为ABC的平分线，CEBE，BEFBEC，、，CEBE，又，ABDACF，、例1.2.3，AC平分MAN，点B、D分别在AN、AM上、1如图1，假设，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；2如图2，假设，那么1中的结论是否仍然成立？假设成立，给出证明；假设不成立，请说明理由、【答案】见解析【解析】1关系是：、证明：AC平分MAN，又，那么直角三角形一锐角为30，那么它所对直角边为斜边一半；2仍成立、证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、FAC平分MAN角平分线上点到角两边距离相等，又，CEDCFBAAS，由1知，、题模三：截长补短类例1.3.1如下图，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长、【答案】见解析【解析】如下图，延长到使、在与中，因为，所以，故、因为，所以、又因为，所以、在与中，所以，那么，所以的周长为、例1.3.2阅读以下材料：如图1，在四边形ABCD中，ACB=BAD=105，ABC=ADC=45.求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由可得，CAB=30，DAC=75，DCA=60，ACB+DAC=180，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AEAB交BC的延长线于点E，那么AB=AE，E=D.在ADC与CEA中，ADCCEA，得CD=AE=AB.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，假设ACB+CAD=180，B=D，请问：CD与AB是否相等？假设相等，请你给出证明；假设不相等，请说明理由.【答案】见解析【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质、CD与AB相等、证明如下：作交BC的延长线于点E，在DAC和ECA中DACECA.随堂练习随练1.1如下图，中，平分，、分别在、上、，、求证：、【答案】见解析【解析】延长到，使，连结，利用证明，、又，平分，、随练1.2中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明、【答案】见解析【解析】，理由是：在上截取，连结，利用证得，利用证得，、随练1.3如图，在ABC中，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线、求证：1；2、【答案】见解析【解析】该题考察的是全等三角形、1BQ是的角平分线，、，且，；2延长AB至M，使得，连结MP、，ABC中，BQ平分，AP平分，在AMP和ACP中，AMPACP，随练1.4五边形ABCDE中，求证：AD平分CDE、【答案】见解析【解析】延长DE至F，使得，连接AC.，ABCAEF、，ADCADF，即AD平分CDE、随练1.5如图，ABC中，AD是BC边上的高，如果，我们就称ABC为“高和三角形”、请你依据这一定义回答以下问题：1假设，那么ABC_“高和三角形”填“是”或“不是”；2一般地，如果ABC是“高和三角形”，那么与之间的关系是_，并证明你的结论【答案】1是2；见解析【解析】该题考察的是全等三角形、1如图，RtABC中，在BC上截取，那么ABE为等边三角形，且ABE为等边三角形是高和三角形、E2如上图，在ABC中，在DC上截取、AD是BC边上的高且ABDAEDSAS随练1.6如下图，是的中点，求证、【答案】见解析【解析】如下图，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点，交于点、容易证明那么，从而，而，故从而，故而故，亦即、随练1.7：如图，在ABC中，BEAE、求证：、【答案】见解析【解析】延长BE交AC于M，BEAE，在ABE中，同理，BEAE，4是BCM的外角，自我总结课后作业作业1：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且、求证：、【答案】见解析、【解析】延长DE到F，使，连接BF，E是BC的中点，在BEF和CED中BEFCED、，、，、，又，、作业2如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，求CF的长、【答案】【解析】解：延长DF交BA延长线与点G，延长FD到H使得，连接BH、平分，又，易得，那么，设，那么，解得，、作业3如图，在ABC中，AD平分BAC，求证：、【答案】见解析【解析】在AB上截取点E，使得、AD平分BAC，ADEADCSAS、，、，、，、作业4：，OM是AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D、1PC和PD的数量关系是_、2请你证明1得出的结论、【答案】见解析【解析】1、2过P分别作PEOB于E，PFOA于F，OM是AOB的平分线，且，在CFP和DEP中，CFPDEP，、作业5：如图，ABC中，BD平分ABC，BC上有动点P、1DPBC时如图1，求证：；2DP平分BDC时如图2，BD、CD、CP三者有何数量关系？【答案】1见解析2【解析】1证明：在BP上截取，连接DM，DPBC，BD平分ABC，、2解：，理由是：在BD上截取，连接PM，DP平分BDC，在MDP和CDP中MDPCDPSAS，、作业6等腰，的平分线交于，那么、【答案】见解析【解析】如图，在上截取，连接，过作，交于，于是，、又，故、显然是等腰梯形、，、，、又，、作业7如图，在ABC中，D是三角形外一点，且，、求证：【答案】见解析【解析】延长BD至E，使，连接AE，AD，ABE是等边三角形，在ACD和ADE中，ACDADESSS，、作业8如图1，在ABC中，BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线lAO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M、1当直线l经过点C时如图2，证明：；2当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；3请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系、【答案】1见解析23当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质、1证明：连接ND、AO平分BAC，直线lAO于H，AH是线段NC的中垂线，、，、；2如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为证明：过点C作CNAO交AB于N、由1可得，、，、过点C作CGAB交直线l于G、，、M是BC中点，在BNM和CGM中，2.BNMCGM、ASA、3BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，、19