(第一章全等三角形的辅助线)知识点与练习含解析解析.doc

(第一章全等三角形的辅助线)知识点与练习含解析解析
知识精讲

一、中点类辅助线作法
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图〔是底边的中线)、

二、角平分线类辅助线作法
有以下三种作辅助线的方式：
1、由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2、过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；
3、，这种对称的图形应用得也较为普遍、

三、截长补短类辅助线作法
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想、所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个的较短的线段延长至与另一个的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的线段的关系、有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解、
三点剖析

一、考点：全等三角形辅助线的作法
二、重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法
三、易错点：
1、辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；
2、辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来、
题模精讲

题模一：中点类
例1.1.1：△ABC中，AD是BC边上的中线，，，试求AD的取值范围、

【答案】
【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等、
A
B
C
D
E

延长AD至E，使得，连结CE
在△ABD和△ECD中
1.
∴△ABD≌△ECD〔SAS〕
∴
∴AE的取值范围为

例1.1.2如下图，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证：、

【答案】见解析
【解析】解法一：如下图，延长到，使，连接BF、
容易证明，从而，而，故、
注意到，
，
故，而公用，故，
因此、

解法二：如下图，取的中点，连接、
因为是的中点，是的中点，
故是的中位线，从而，
由可得，故，
从而，、

题模二：角平分线类
例1.2.1如图，，平分，平分，点在上、
①探讨线段、和之间的等量关系、
②探讨线段与之间的位置关系、

【答案】见解析
【解析】①；②、证明如下：
在线段上取点，使，连结、
在和中

∴
∴，
∵
而
∴
在和中

∴
∴，
∴，

例1.2.2如图，，，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE，求证：、

【答案】见解析
【解析】延长CE，交BA的延长线于点F、
∵BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE，
∴△BEF≌△BEC，∴，、
∵，CE⊥BE，∴，
又∵，∴△ABD≌△ACF，∴、∴、

例1.2.3，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上、
〔1〕如图1，假设，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
〔2〕如图2，假设，那么〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，给出证明；假设不成立，请说明理由、

【答案】见解析
【解析】〔1〕关系是：、
证明：∵AC平分∠MAN，
∴
又，
∴
那么〔直角三角形一锐角为30°，那么它所对直角边为斜边一半〕
∴；
〔2〕仍成立、
证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F
∵AC平分∠MAN
∴〔角平分线上点到角两边距离相等〕
∵，
∴
又，∴△CED≌△CFB〔AAS〕
∵，∴
由〔1〕知，
∴、

题模三：截长补短类
例1.3.1如下图，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长、

【答案】见解析
【解析】如下图，延长到使、
在与中，因为，，，
所以，故、
因为，，所以、
又因为，所以、
在与中，，，，
所以，那么，所以的周长为、

例1.3.2阅读以下材料：
如图1，在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°求证：CD=AB.
小刚是这样思考的：由可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E，那么AB=AE，∠E=∠D.
在△ADC与△CEA中，
∵
∴△ADC≌△CEA，
得CD=AE=AB.
请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：

如图2，在四边形ABCD中，假设∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD与AB是否相等？假设相等，请你给出证明；假设不相等，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质
CD与AB相等、
证明如下：

作交BC的延长线于点E，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
∵在△DAC和△ECA中

∴△DAC≌△ECA
∴
∴.
随堂练习

随练1.1如下图，中，平分，、分别在、上、，、求证：∥、

【答案】见解析
【解析】延长到，使，连结，利用证明≌，
∴，、
又，∴，
∴，∴，
∵平分，∴，
∴，∴∥、

随练1.2中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明、

【答案】见解析
【解析】，
理由是：在上截取，连结，
利用证得≌，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，∴
利用证得≌，∴，
∴、

随练1.3如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线、求证：
〔1〕；
〔2〕、

【答案】见解析
【解析】该题考察的是全等三角形、
〔1〕∵BQ是的角平分线，
∴、
∵，且，，
∴，
∴，
∴，
∴；
〔2〕延长AB至M，使得，连结MP、
∴，
∵△ABC中，，
∴，
∵BQ平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AP平分，
∴，
在△AMP和△ACP中，
∵
∴△AMP≌△ACP，
∴，
∵，，
∴

随练1.4五边形ABCDE中，，，，求证AD平分∠CDE、

【答案】见解析
【解析】延长DE至F，使得，连接AC.
∵，，∴
∵，，∴△ABC≌△AEF、
∴，
∵，∴
∴△ADC≌△ADF，∴
即AD平分∠CDE、

随练1.5如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”、请你依据这一定义回答以下问题：
〔1〕假设，，那么△ABC____“高和三角形”〔填“是”或“不是”〕；
〔2〕一般地，如果△ABC是“高和三角形”，那么与之间的关系是____，并证明你的结论

【答案】〔1〕是〔2〕；见解析
【解析】该题考察的是全等三角形、
〔1〕如图，Rt△ABC中，，
在BC上截取，那么△ABE为等边三角形
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，且△ABE为等边三角形
∴
∴
∴是高和三角形、
E

〔2〕如上图，在△ABC中，在DC上截取、
∵
∴
∴
∴
∵AD是BC边上的高且
∴△ABD≌△AED〔SAS〕
∴
∴
随练1.6如下图，，是的中点，，，求证、

【答案】见解析
【解析】如下图，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点，交于点、
容易证明
那么，，从而，
而，，故
从而，故
而
故，亦即、

随练1.7：如图，在△ABC中，，，BE⊥AE、求证：

【答案】见解析
【解析】延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，∴
在△ABE中，∵，
∴
同理，
∵，∴，∴
∵BE⊥AE，∴，
∴，
∵∠4是△BCM的外角，∴
∵，∴
∴，∴
∴，∴

自我总结

课后作业

作业1：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且、
求证：、

【答案】见解析、
【解析】延长DE到F，使，连接BF，
∵E是BC的中点，∴，
∵在△BEF和△CED中

∴△BEF≌△CED、
∴，、
∵，∴、
∴，
又∵，∴、

作业2如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，，，求CF的长、

【答案】
【解析】解：延长DF交BA延长线与点G，延长FD到H使得，连接BH、
平分，，
，，
又，，易得，
，，
那么，设，那么，，
解得，，、

作业3如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，求证：、

【答案】见解析
【解析】在AB上截取点E，使得、
∵AD平分∠BAC，∴，
∴△ADE≌△ADC〔SAS〕、∴，、
∵，∴、
∵，∴，∴、
∴、

作业4：，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D、
〔1〕PC和PD的数量关系是__________、
〔2〕请你证明〔1〕得出的结论、

【答案】见解析
【解析】〔1〕、
〔2〕过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴，
∵OM是∠AOB的平分线，∴，
∵，且，
∴，
∴，∴，
在△CFP和△DEP中
，∴△CFP≌△DEP，∴、

作业5：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P、
〔1〕DP⊥BC时〔如图1〕，求证：；
〔2〕DP平分∠BDC时〔如图2〕，BD、CD、CP三者有何数量关系？

【答案】〔1〕见解析〔2〕
【解析】〔1〕证明：在BP上截取，连接DM，
∵DP⊥BC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、

〔2〕解：，
理由是：在BD上截取，连接PM，
∵DP平分∠BDC，
∴，
在△MDP和△CDP中

∴△MDP≌△CDP〔SAS〕，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴、
作业6等腰，，的平分线交于，那么、

【答案】见解析
【解析】如图，在上截取，连接，
过作，交于，于是，、
又∵，
∴，故、显然是等腰梯形、
∴，、
∵，
，
∴，∴，
∴，、
又∵，∴、

作业7如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，、求证：

【答案】见解析
【解析】延长BD至E，使，连接AE，AD，
∵，，∴，
∵，∴△ABE是等边三角形，
∴，，
在△ACD和△ADE中，，
∴△ACD≌△ADE〔SSS〕，
∴、

作业8如图1，在△ABC中，，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M、

〔1〕当直线l经过点C时〔如图2〕，证明：；
〔2〕当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
〔3〕请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系、
【答案】〔1〕见解析〔2〕〔3〕当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，
【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质、
〔1〕证明：连接ND、
∵AO平分∠BAC，
∴，
∵直线l⊥AO于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴，
∴、
∴，
∵，，
∴，
∴、
∴；

〔2〕如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为
证明：过点C作CN'⊥AO交AB于N'、
由〔1〕可得，，、
∴，、
过点C作CG∥AB交直线l于G、
∴，、
∴、
∴、
∵M是BC中点，
∴
在△BNM和△CGM中，
2.
∴△BNM≌△CGM、〔ASA〕
∴、
∴、
〔3〕BN、CE、CD之间的等量关系：
当点M在线段BC上时，；
当点M在BC的延长线上时，；
当点M在CB的延长线上时，、
19