第十一届全国中学生物理竞赛题参考答案.doc

第十一届全国中学生物理竞赛题参考答案一. 照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的照相胶片LPAB80cm120cm0.90cm图35-3P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图35-3所示设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴光线。1. 求插入玻璃板后，像的新位置2如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变，若要求物体仍然清晰地成像于胶片上，则物体应放在何处?解法11. 折射率为n，厚度为d的两面平行的玻璃板，对于会聚在像点P的傍轴光束的折射作用可如下求出：如图35-4，取任一指向P点的傍轴光iFEPPbd图35-4线CP，此光线经平行玻璃板折射的光路为CDEP”，在平板第一面的入射角i与折射角均为小角度，反向延长交D点处的法线于F，容易看出，为平行四边形，则平行板厚度d为得 因为i与都很小，所以 故得以上结果对任何会聚于点的傍轴光线均成立，所以向轴上点会聚的傍轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上在这种情形下，平行玻璃板的作用是使像点向远离平板方向移动距离，由题给数据得故像成在镜头后面12.0+0.312.3(cm)处2设照相机镜头焦距为f，不放玻璃板时有 1/228+1/2=1/f可得 插入玻璃板时，若要像仍成在离镜头12cm处的胶片上，应改变物距使不放玻璃板时成像在镜头后面处，即 设这时物距为u，则得 APP1n0=1。0n=1。5图35-5即：物体置于镜头前4 .45m时，插入玻璃平板后，仍可在胶片上得到清晰的像 解法21 对于玻璃板第一面上的折射，其物距为 根据公式 (见图35-5)，可得 BP1P2n0=1。0n=1。5图35-6 对于玻璃板第二面上的折射，(见图35-6)其物距为又根据 可得 故像成在镜头后面的像距为比原像向后移动，即2设照相机镜头焦距为f，不插入玻璃板时，得 f=11.4cm要使放上玻璃板后，像还成在离镜头12cm处的胶片上，可采用光路可逆性原理从已知像的位置，求此时物体应在的位置对于玻璃板第二面上的折射：已知：像距BP2 8cm，n1.50，n。1.0，设与之相应的物为Pl，则可得 BPl(一nn。)BP2一12cm对于玻璃板第一面上的折射：已知：像距AP112.9cm，n1.5，n。1.0，设与之相应的物为P，则可得 对于凸透镜，像距为），则此时物距为u，则有 即物体应放在照相机镜头前4.45cm处，才能在胶片上得到清晰的像。二1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图27-10所示，利用海浪上下起伏的力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发电，当海水下降时，阀门S1关闭，S2打开，设每次吸入压强为1.0105Pa，温度为70C的空气0.233m3（空气可视为理想气体）。当海水上升时，S2关闭，海水推动活塞绝热压缩空气，空气压强达到时，阀门S1才打 开、S1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部被推入工作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作，设打开S1后，活塞附近的压强近似保持不变，活塞的质量及活塞与筒壁间的摩擦忽略不计，问海水每次上升时所作功是多少？已知空气从压强为p1,体积为V1的状态绝热地改变到压强为p2、体积为V2的状态过程中，近似遵循关系式p1/p2=(V2/V1)5/3理想气体温度升高1K时，内能改变为3R/2(R=8.31j/molK)。解：海水作功可分为两个阶段来讨论。1 绝热压缩阶段根据热力学第一定律，在绝热过程中海水对气体所作功等于气体内能的增量，即由于在绝热过程中，压强和体积的变化遵循关系式以及理想气体状态方程得到所以 而 可得 2 根据题设把空气推入工作室时活塞附近压力不变，故其中为活塞面积。为活塞由气体体积是V2时之位置移到筒之上端的距离，而则所以海水作总功为三如图42-17（甲）所示，一质量为0.10kg、电量为810-4C的带正电小球，从水平地面上A点以与x轴正方向成30夹角的初速度0抛出（0在xOy竖直平面内）。当达到最高点B时 （B点恰好处在Oy轴上），在全空间立刻产生一个匀强电场E，场强为2.5103NC-1。方向平行于xOy平面，并与x轴负方向成夹角。当带电小球再次通过Oy轴时，匀强电场立刻消失。试分析讨论当角变化时（0180），带电小球自B点以后的运动情况，并画出带电小球在各种情况下的运动轨迹简图(g=10ms-2)。分析：带电小球运动到最高点B以后，受到重力和电场力的作用，由于可在一定范围内改变，所以其合力也在随而变，当合力为水平方向时（即和），小球便做直线运动；当合力有竖直方向分量时（即和），小球做抛物线运动。考虑在不同范围内，电场力的x分量有两种可能方向，以及电场力的y分量与重力在大小上有3种情况，因此小球受力情况有6种可能，所以本题应对每种情况进行讨论。解：带电小球到最高点B加入匀强电场后，受到两个力的作用，一个是重力mg，另一个是电场力qE。由于电场力在x方向和y方向的分量的大小与角有关，因此，带电小球自B点以后的运动可分以下6种情况：(1) 当时，即，带电小球只受到电场力在x负方向的分量的作用，又由于小球在B点具有向x正方向的速度，因此，带电小球的运动轨迹如图 42-17（乙）(a)。(2) 当时，即0，带电小球受到y负方向力和x负方向力，又由于小球在B点具有x正方向速度，这样小球自B点以后的运动随角变化(0)有以下3种情况图42-17（乙）(b)、42-17（乙）(c)、42-17（乙）(d)。根据上面分析，我们可以在0范围内找到一个角，使得小球运动情况满足图42-17（乙）(c)的情况，也就是小球从B点垂直下落所需时间等于小球从B点水平往返运动所需时间，即 而 由以上三式可得 根据题意可得 (3)当时，即，带电小球受到y正方向力 和x负方向力，又由于小球在B点具有x正方向速度，因此，带电小球自B点以后的运动轨迹如图42-17（丙）(a)。(4)当时，即，带电小球受到y正方向力和x正方向力，又由于小球在B点具有x正方向速度，因此，带电小球自B点以后的运动轨迹如图42-17（丙）(b)。(5)当时，即，带电小球只受到x正方向的力，又 由于小球在B点具有x正方向速度，因此，带电小球自B点以后的运动轨迹如图42-17（丁）(a)。(6)当时，即，带电小球受到y负方向力和x正方向力，又由于小球在B点具有x正方向速度，因此，带电小球自B点以后的运动轨迹如图42-17（丁）(b)。四. 长方形风筝如图11-292所示。其宽度a=40cm，长度b=50cm，质量M=200g图11-292（其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴”的质量M=20g，纸球可当作质点），AO、BO、CO为三根绑绳，AO=BO，C为底边中点，绑绳及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不计。放风筝时，设地面风速为零，牵绳保持水平拉紧状态。且放风筝者以速度持牵奔绳跑时，风筝单位面积所受的空气作用力垂直于风筝表面。量值为P=Kvsina，K=8Ns/m3，a为风筝表面与水平面的夹角。风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取g=10m/s2，放飞场地为足够大小的水平地面。试求：（1）放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑，风筝才能做水平飞行？这时风筝面与水平面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度可使风筝面与水平面成任意角度a。（2）若放风筝者持牵绳奔跑的速度v=3m/s，调整绑绳CO的长度等于b，为了使风筝能水平图11-293稳定飞行，AO与BO的长度应等于多少？分析：（1）风筝做水平飞行的条件是：竖直方向受到的合力为零。（2）计算绑绳AO、BO的长度难点在于满足平衡条件下的三维几何关系的寻求。解：（1）设人以速度持牵绳奔跑时，风筝恰能平行于地面飞行，此时牵绳平行于地面。设此时风筝表面与地面夹角为。则风力为 风筝水平飞行的条件为（见图11-293） 当取极大值时，可得的极小值 所以，当时的极大值为1/2。把代入(1)式，得的极小值（2）重新调整绑绳长度后，放飞者使牵绳平行于地面以v=3m/s的速度奔跑，设此时风筝能保持水平飞行，则 代入数值得 当时，风力的水平分量为 由力的平衡得牵绳张力为 图11-294分别代入值，得 自O点至AB的中点D，连接一紧绳OD替代AO和BO，以风筝纸面中心为支点（如图11-294所示），则牵绳张力T和纸球所产生的力矩分别为 由力矩的平衡得 分别代入T1、1、T2、2值，得 所以 由图知 分别代入、r及值得 分别代入、值，根据是等腰三角形得 由 分别代入值。可得 或 讨论：由于风力，越大， 风筝获得的风力也越大，故上述两个答案中取时，有利于风筝起飞。五.图49-74（a）为一个电路图（称做“电子张驰振荡器”）。图中SC是恒流源（其电流不图49-74（a）因负载的变化而变化）。电流值恒为I0K为电子开关，它的开、关动作由一个正弦讯号发生器F产生的电压UF（t）=U1+U0sint控制，这里U1为常电压值，U0和分别是正弦讯号的幅度和圆频率，U0U1。UF只起控制K动作的作用，不对电容C充放电。当K两端电压（即电容器两端电压）U(t)达到UF（t）时，K自动合上，使电容C放电，U(t)迅速下降，直到U降到Umin时，K才自动断开，这里Umin是小于U1-U0的常电压值。（1）分析电容器两端电压U随时间t的变化规律并在U-t图上画出UF（t）、Umin和U随t的变化曲线，可以不考虑t=0时是如何情况。U1（2）若在一定的I0、U1、U0、UF（t）、Umin参数值下，U(t)每相邻两次达到UF（t）、的时间间隔都相等，求每次U(t)= UF（t）、时，U(t)数值与各参数的关系。分析：本题的关键是找到电容器两端的电压与时间的函数关系U(t)。由于充电电流恒定，每秒内两极板增加的电压是恒定不变的，所以U(t)必定是线性函数，当电容器电压U(t)等于讯号发生器电压时，电容器开始放电。显然，一般地每次开始放电时U(t)的值是不同的；但如果U(t)每相邻两次达到的时间间隔相等，那么开始放电时U(t)的值是相等的，对于一定的U(t)的值，相应的时间有无数个解。只要找到这些解的相互关系的表达式，就能解出U(t)与各参数间的关系。图49-74（b）解:（1）如图49-74（b）中正弦曲线所示，如图中平行于t轴的直线所示。当 U(t) 时，K是断开的，SC以恒定电流对C充电，每秒内极板上电量的增加量为，因而每秒内电压的增加量为/C，在U-t图上为一斜率为/C的直线。当t=tn时，此直线与相交，有U(t)=，K自动合上，电容C通过K放电，U(t)在极短时间内降到，若在计算中忽略开关与联线的电阻，可以认为U(t)由回降到的时间为无限短。U-t图上这一段U(t)为垂直t轴的直线。当降到时（这时用U(t+0)= 表示），K又断开，U(t)再次以不变斜率上升，从而电容器两端的电压按锯齿波形变化，形成张驰振荡如图49-74（b）所示。（2）设tn、tn+1、依次为U(t)达到上阈值的时刻，、为降到的时刻，当时，由于U(t)上升斜直线斜率恒为/C。有U(t)= +（）/C当时，有 （1）因而得到 （2）当任意相邻两次达到的时间间隔均相等，即对任一n，有时由（2）式得到 （3）由（3）式，可得到 、2、3、） （4）或 1、2、3、） （5）由（4）、（5）式均可得到（为常量），但除了在=的情况外，（5）式不合题意，这是由于由（5）式得到的与并不相等，所以（4）式是等幅张驰振荡的一般解，因而我们得到，1、2、3、由（4）式可得1、2、3、） （6）显然，必须有，所以对每个k值，有1个参数、C的允许范围，如果认为电容C值不变，也不变，而选取正弦讯号的幅度与圆频率构成参数平面，产生“k阶等幅张驰振荡“的范围可在平面中标出，不同k值的范围是不同的。讨论:等时间间隔振荡，必定是等幅张驰振荡，寻求等时间间隔这个条件，要联系图线，运动三角函数知识，列出条件方程，并在多参数的情况下，对条件方程进行分析、筛选、概括，独立地思考并完成这类题目，将极大地帮助学生培养、提高这方面的分析概括能力。六. 如图11-95所示，在倾角为的足够大的粗糙斜面上，有一质点，质量为m，用一弹性绳栓住，绳的另一端固定在斜面上O点，弹性绳的形变与弹性力服图11-95从胡克定律，绳原长为L，劲度系数为K，斜面与质点间的静摩擦因数为。试确定质点在斜面上可静止的区域并画出此区域边界的示意图。分析：本题求解思路是：1寻求绳子张紧时，静止的质点受到的力的封闭三角形中动点的轨迹。2确定绳子张紧时质点可静止区域的边界曲线。图11-963讨论绳子松驰时，质点可静止区域的边界曲线。解：若质点静止在斜面上任一点M，它在斜面上的位置可用坐标表示，如图11-96所示，在绳子伸长，即出现弹力时，M质点在斜面上受三个力；弹力，方向总是指向点；重力沿斜面的分量，方向总是向下，且大小不变；静摩擦力。这三力一定构成一个闭合三角形，若在图11-96中用分别表示F、，则绳子张紧时M点可静止区域的边界可由动点A的轨迹，即图中圆I来间接表IIIIII图11-97示，圆I即是以O为中心，以为半径的圆。当取O为直角坐标原点，轴沿斜面向下时，则有圆I的方程为，即由A点轨迹（圆I）求M点可静止区域边界的依据是 （1）因而得到 （2）表示可静止区域边界到点距离，由此式可得到画出可静止区域边界（以下称为“封闭曲线II”）的作图法是：将各力取1/K倍，重作力三角形后画出圆I，此时（2）式变为 （3）因而沿延长L长度，即得点，描点即可画此封闭曲线II。（1）式实际也是曲线II的极坐标方程，若取为极点，方向为极轴，则（）的方程为（圆I方程r用代换）。 （4） (3)式不过是(2)的变形，在（显然总是如此）时，封闭曲线II显然不是圆，而是复杂曲线。当绳子松弛时，没有弹力，M质点静止区域由重力沿斜面分量和静摩擦力二力平衡来决定，具体情况将在下面分析。IIIIII图11-99封闭曲线II的形状，II和圆I及点的关系，以及可静止区边界，（考虑绳子松弛区后）的形状需要分以下三种情况讨论：（a），即 或，这时点一定在圆I内，如图11-97所示，因而圆I也一定在封闭曲线II内，以为心，L为半径画圆III，圆III内即是绳子松弛区，或称“无弹力区”。当时，圆III与圆I相交，如图11-97所示，但圆III仍在封闭曲线II内，仅表示可静止区中这一部分是由于二力平衡，而其他II内区域是由于三力平衡，M质点可静止区边界总是封闭曲线II。IIIIII图11-98（b），即，这时一定在圆I上。圆I与封闭曲线II在点相切。如照上述方法作无弹力区圆III，III一定与圆I及封闭曲线II相交，如图11-98所示，在圆III内重力沿斜面分量与静摩擦力二力平衡（临界平衡），因而M点可静止区边界扩大到II+III，即在圆III与封闭曲线II交点以上，此边界为圆III，在以下，为前述封闭曲线II。（c），即，这时弹性力必须有向上分量才能平衡，因而曲线II和圆I均不包围点，如图11-99所示。如上述作圆III表示无弹力区，类似在时，圆III与圆I相交，这时圆III内无弹力，而另外二力不能平衡，所以仅表示封闭曲线II之外的“二力不可平衡区”，以区别II外其余部分的“三力不可平衡区”。M点可静止区边界仍为封闭曲线II。10