特殊的平行四边形(知识点、例题、练习).doc

知识点
知识点1、平行四边形
1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、性质：
（1） 平行四边形两组对边分别平行。
（2） 平行四边形的对边相等。
（3） 平行四边形的对角相等。
（4） 平行四边形的两条对角线互相平分。
（5） 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
3、判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

知识点2、矩形
1、 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2、性质：
（1） 矩形的四个角都是直角。
（2） 矩形的两条对角线相等。
（3）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。
3、判定：
（1） 有一个内角是直角的平行四边形是矩形。
（2） 有三个内角是直角的四边形是矩形。
（3） 对角线相等的平行四边形是矩形。

知识点3、菱形
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、性质：
（1） 菱形的四条边都相等。
（2） 菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（3）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。
3、判定：
（1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2） 四条边都相等的四边形是菱形。
（3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

知识点4、正方形
1、定义：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
2、性质：
（1） 正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
（2） 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角。
（3）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。
3、判定：
（1） 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。
（2） 有一组邻边相等的矩形是正方形。
（3） 有一个内角是直角的菱形是正方形。

例题
一、选择题
1、下列说法不正确的是（ ）
（A）一组邻边相等的矩形是正方形 （B）对角线相等的菱形是正方形
（C）对角线互相垂直的矩形是正方形
（D）有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则 BD：AC等于（ ）．
（A）：2 （B）1： （C）1：2 （D）：1

3、矩形的边长为10 cm和15 cm，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
（A）6 cm和9 cm （B）5 cm和10 cm
（C）4 cm和11 cm （D）7 cm和8 cm
4、如图，四边形ABCD是菱形，过点作的平行线交的延长线于点，则下列式子不成立的是（ ）
（A）DB=AE （B）BD=CE （C） （D）
5、菱形周长为20 cm，它的一条对角线长6 cm，则菱形的面积为（ ）
（A）6 （B）12 （C）18 （D）24
6、矩形长是8cm，宽是6cm，和它面积相等的正方形的对角线的长是（ ）
（A）4 cm （B）4 cm （C）8 cm (D)8 cm
7、如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A、AD=CF B、BF=CF C、AF=CD D、DE=EF
二、填空题
9、如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．

10、 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ．
11、 如图所示，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连结AM，作AM的垂线GH交于G，交CD于H，若AM＝10cm，则GH＝________。
12、正方形的边长a，则顺次连结四边中点
所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为________。
13、已知：如图，菱形ABCD中，
AC=16cm,BD=12cm,菱形的边长为________.
三、解答题
14、平行四边形的对角线AC的垂直平分线
交BC于E，交AD于F。求证：四边形AECF为菱形。

15、如图，已知平行四边形ABCD，是的角平分线，交于点．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，，求的度数．

16、 如图，四边形中，，平分，交于．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．
（提示：三角形中，一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形）

17、正方形ABCD的边长为2cm，E为AD中点，BFEC于F，求BF的长。
（提示：面积法）

当堂练习
（一）选择题
1、在四边形中，是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
A、， B、，
C、， D、，，
2、矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（　 　）
A、6 B、5.8 C、2（1+） D、5.2
3、如图，菱形ABCD的周长为8,两邻角的比为2∶1，则对角线的长分别为（ 　　）
第3题
A、4和2 B、1和2 C、2和2 D、2和
4、如图，矩形ABCD的对角线AC的中垂线与AD、BC分别交于F、E,则四边形AFCE的形状最准确的判断是（　 　）
A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形
第6题
第5题
第4题

5、如图，设F为正方形ABCD的边AD上一点,CE⊥CF交AB的延长线于E,若S正方形ABCD=64，S△CEF=50，
则S△CBE=（　 ）
A、20 B、24 C、25 D、26
6、如图，在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上一动点,PF⊥AC于F,PE⊥BD于E,则PE+PF的值为（ ）
A、 B、 C、 D、2
（二）填空题
7、已知一个菱形的面积为8㎝2，且两条对角线的比为1∶，则菱形短的对角线长为_________。
8、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为____________________。
9、在Rt△ABC中,斜边AB上的中线长为3,则AC2+BC2+AB2= ______________________。
10、菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5∶4，则它的各内角度数为___________________。
11、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论①△ODC是等边三角形；
②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确的结论的序号是 ___________________。
12、如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和9,则阴影部分的面积为 ______________。第13题

A
B
C
D
O
E
第11题图
第12题图
9
4
A
B
C
D
E
第14题图

13、点M为矩形ABCD的边AD的中点,P为BC上一点,且PE⊥MC,PF⊥MB,当AB、AD满足条件__________时,四边形PEMF是矩形。
14、如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE为等边三角形,那么∠DCE= _______________。
（三）解答题
15、已知：如图，在□ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．求证：□ABCD是矩形．

16、已知菱形ABCD中，AC与BD相交O点，若∠BDC=,菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.

17、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.
（1） AE与BF相等吗？为什么？
（2） AE与BF是否垂直？说明你的理由。

18、如图，在正方形ABCD中，取AD、CD边的中点E、F，连接CE、BF交于点G，连接AG。试判断AG与AB是否相等，并说明道理。

19、如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。
(1)说明OE=OF的道理；
(2)在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。

课后作业
1、菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OA︰OB=1︰2，且菱形的周长为20，则这个菱形的面积为 ( )
A.18
B.20
C.25
D.16

2、如图，在三角形中，＞，、分别是、上的点，△ 沿线段翻折，使点落在边上，记为．若四边形是菱形，则下列说法正确的是( )
A．是△的中位线 B．是边上的中线
C．是边上的高 D．是△的角平分线

3、如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )
A． B． C． D．

4、若菱形的边长为1cm，其中一内角为60°，则它的面积为 ( )
A． B． C． D．
5、一个菱形两条对角线之比为1︰2，一条较短的对角线长为4cm，那么菱形的边长为( )
A．2cm B．4cm C． D．2

6、分别以三角形ABC两边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE。

7、如图，正方形ABCD对角线BD、AC交于O，E是OC上一点，AG⊥DE交BD于F，
求证：EF∥DC。

8、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E，F在直线AB上，且AE=AB=BF，连结CE，DF分别交AD，BC于点M，N．
（1）求证：四边形DMNC是平行四边形；
（2）若要使四边形DMNC为菱形，则还需增加什么条件？请写出此条件，并证明之．

9、矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点于H，于G，
D
A
E
G
C
B
F
H
求证：