双曲线知识点总结及练习题.doc

一、双曲线的定义
1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜|F1F2|。
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l（准线）的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（，其中||=2c）
焦点在x轴上：（a＞0，b＞0）
焦点在y轴上：（a＞0，b＞0）
（1）如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上。 a不一定大于b。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上
（2）与双曲线共焦点的双曲线系方程是
（3）双曲线方程也可设为：
三、双曲线的性质
双曲线
标准方程（焦点在轴）

标准方程（焦点在轴）

定义
第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
P

P

第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。
P

P

P

P

范围
，
，
对称轴
轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标

焦点在实轴上，；焦距：
顶点坐标
（,0） (,0)
(0, ,) (0，)
离心率
1)， ， e越大则双曲线开口的开阔度越大
准线方程

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点（）到准线（）的距离为
顶点（）到准线（）的距离为
焦点到准线的距离
焦点（）到准线（）的距离为
焦点（）到准线（）的距离为
渐近线方程
()，和
()
将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解
共渐近线的双曲线系方程
（）
（）
直线和双曲线的位置
双曲线与直线的位置关系：
利用转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长
通径：与椭圆一样
过双曲线上一点的切线
或利用导数
或利用导数
四、双曲线的参数方程：
椭圆为
五、 弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A（x1,y1）B（x2,y2）两点，则
k为直线斜率
[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。
3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解
六、焦半径公式
双曲线（a＞0，b＞0）上有一动点
左焦半径：r=│ex+a│
右焦半径：r=│ex-a│
当在左支上时,
当在右支上时,
左支上绝对值加-号，右支上不用变化
双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） 构成满足
注：焦半径公式是关于的一次函数，具有单调性，当在左支端点时，，当在左支端点时，
七、等轴双曲线
（a＞0，b＞0）当时称双曲线为等轴双曲线
1。 ；
2。离心率；
3。两渐近线互相垂直，分别为y=；
4。等轴双曲线的方程，；
八、共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。
与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系
1、点与双曲线
点在双曲线的内部 代值验证，如
点在双曲线的外部
点在双曲线上
2、直线与双曲线
代数法：
设直线，双曲线联立解得

（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；相交
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
十、双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：
3、若渐近线方程为双曲线可设为, 。
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
十一、双曲线与切线方程
1、双曲线上一点处的切线方程是。
2、过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是。
3、双曲线与直线相切的条件是。
椭圆与双曲线共同点归纳
十二、顶点连线斜率
双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K时得到不同的曲线。
椭圆参照选修2-1P41，双曲线参照选修2-1P55。
1、A、B两点在X轴上时

2、A、B两点在Y轴上时

十三、面积公式
双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角形，
面积公式推导：
解：在中，设，，，由余弦定理得
图3
F1
x
y
O
P
F2

∴
即，
∴=．
椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形称之为椭圆焦点三角形．
面积公式推导
解：在中，设，，，由余弦定理得
图1
F1
x
y
O
P
F2

∴
即，
∴=．

十四、(双曲线中点弦的斜率公式)：
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以，所以
椭圆中线弦斜率公式
双曲线基础题
1． 双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
2． 设集合P＝，Q＝{(x，y)|x－2y＋1＝0}，记A＝P∩Q，则集合A中元素的个数是(　　)
A．3 B．1 C．2 D．4
3． 双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
4．双曲线－＝1的共轭双曲线的离心率是________．

5． 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6． 设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
7． 从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为(　　)
A. B. C. D.
8．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝(　　)
A. B．3 C．4 D．6

图K51－1
9． 如图K51－1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2AD，设∠DAB＝θ，θ∈，以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1·e2＝________.
10． 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
11． 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，它的一个焦点为F(6,0)，则双曲线的方程为________．
12．(13分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．

13．(1)(6分) 已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
(2)(6分) 已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
双曲线综合训练
一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）
1．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
2．设双曲线的半焦距为，两条准线间的距离为，且，那么双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
3．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为该双曲线在第一象限的点，△PF1F2面积为1，且则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若、为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右准线上，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
7．如果方程表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
8．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________。
9．若曲线表示双曲线，则的取值范围是 。
10．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_________．
三、解答题：（本大题共2小题，满分30分）
11. （本小题满分10分）双曲线与椭圆有共同的焦点，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

12．（本小题满分20分）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.
【基础热身】
1．C　[解析] 双曲线方程可化为－＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故实轴长为4.
2．B　[解析] 由于直线x－2y＋1＝0与双曲线－y2＝1的渐近线y＝x平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A中只有一个元素．故选B.
3．B　[解析] 双曲线－＝1的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是3x－4y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝3.故选B.
4.　[解析] 双曲线－＝1的共轭双曲线是－＝1，所以a＝3，b＝，所以c＝4，所以离心率e＝.

【能力提升】
5．D　[解析] 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝.根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，所以e＝，故选D.
6．C　[解析] 根据双曲线－＝1的渐近线方程得：y＝±x，即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a>0，所以有a＝2，故选C.
7．B　[解析] 若方程表示圆锥曲线，则数组(m，n)只有7种：(2，－1)，(3，－1)，(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以概率为P＝.故选B.
8．A　[解析] 双曲线的渐近线为y＝±x，圆心为(3,0)，所以半径r＝＝.故选A.
9．1　[解析] 作DM⊥AB于M，连接BD，设AB＝2，则DM＝sinθ，在Rt△BMD中，由勾股定理得BD＝，所以
e1＝＝，
e2＝＝，所以e1·e2＝1.
10．[2，＋∞)　[解析] 依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是[60°，90°)，所以≥tan60°＝，即b2≥3a2，c2≥4a2，所以e≥2.
11.－＝1　[解析] ＝，即b＝a，而c＝6，所以b2＝3a2＝3(36－b2)，得b2＝27，a2＝9，所以双曲线的方程为－＝1.
12．[解答] (1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝32＝9.①
又双曲线经过点(，4)，所以－＝1，②
解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，
所以所求双曲线C的方程为－＝1.
(2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝，c＝3.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4，
平方得m2－2mn＋n2＝16.①
在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②
由①②得mn＝，
所以△F1PF2的面积为S＝mnsin120°＝.
【难点突破】
13．(1)B　(2)B　[解析] (1)依题意有·＝1，化简整理得a2＋b2＝m2，故选B.
(2)在△F1PF2中，由余弦定理得，
cos60°＝，
＝，
＝＋1＝＋1.
因为b＝1，所以|PF1|·|PF2|＝4.故选B.
一、选择题
1．D ，在线段的延长线上
2．C
3．C Δ是等腰直角三角形，

4．A.
5． A【思路分析】：设，则，

【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算
6． C【思路分析】：由知四边形是平行四边形，又
知平分，即是菱形，设，则.
又，∴，由双曲线的第二定义知：,且，∴，故选.
【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性.
7．D．由题意知,.若,则双曲线的焦点在轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在轴上,而选择支B,D不表示椭圆;
若,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方,双曲线的焦点在轴上,选择支D的方程符合题意.
二、填空题
8． 设双曲线的方程为，焦距
当时，；
当时，
9． .
10． 渐近线方程为，得，且焦点在轴上.
三、解答题
11．解：由共同的焦点，可设椭圆方程为；
双曲线方程为，点在椭圆上，
双曲线的过点的渐近线为，即
所以椭圆方程为；双曲线方程为
12．（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。
， ∴，
，故所求椭圆的标准方程为+；
（2）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、（0，-6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，
， ∴，
，故所求双曲线的标准方程为-.