微专题——概率分布列解答题训练(正式版).doc

微专题——概率分布列解答题训练（一）
1．近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2018年双十一的广告策略，随机调查1000名淘宝客户在2017年双十一前后10天内网购所花时间，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间近似服从，其中用样本平均值代替，.
（Ⅰ）计算样本的平均值，并利用该正态分布求.
（Ⅱ）利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10000名淘宝客户，记为这10000人中目标客户的人数.
（i）求；
（ii）问：10000人中目标客户的人数为何值的概率最大？
附：若随机变量服从正态分布，则，，，.

2．某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难。现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份取13时代表2013年， 与（万元）近似满足关系式，其中为常数。（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）

其中，
（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；
（Ⅱ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？
附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为
②

3．2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图），转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元）的现金优惠，且允许顾客转动3次.
方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图〕，转盘停止转动时指针若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得40元现金，且允许顾客转动3次.
（1）若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；
（2）若某顾客恰好获得1次抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数学期望；
②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

4．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕， 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；
②若，则， ．

5．某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： ）进行测量，得出这批钢管的直径 服从正态分布.
(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为,他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
(2)如果钢管的直径满足为合格品（合格品的概率精确到0.01），现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.
（参考数据：若,则； .

微专题——概率分布列解答题训练（二）
6．某企业从某种型号的产品中抽取了件对该产品的某项指标的数值进行检测，将其整理成如图所示的频率分布直方图，已知数值在100~110的产品有2l件.
（1）求和的值； （2）规定产品的级别如下表：

已知一件级产品的利润分别为10，20，40元,以频率估计概率，现质检部门从该批产品中随机抽取两件，两件产品的利润之和为，求的分布列和数学期望；
（3）为了了解该型号产品的销售状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图，由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场卢有率（%）与月份代码之间的关系.求关于的线性回归方程，并预测2017年4月份(即时)的市场占有率.
(参考公式：回归直线方程为，其中，

7．2017年10月18日，习近平同志在党的十九大上向世界郑重宣示中国进入新时代，在这一新形势下，某地政府出台了进入新时代的5年具体规划，现对其中的一项公益项目进行民意调研，并根据调研结果决定后继工作，调查人员随机在各地对市民进行问卷调查，其中调查结果均在内.将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，并规定①调查对象意见互不影响；②满分100分，评分在内需重新论证，评分在内认为可第二批立项实施，评分在内认为可第一批立项实施.
（1）用样本的频率代替概率，求被调查者认为可立项实施的概率；
（2）若从该市的全体市民中随机抽取4人，试估计恰有3人认为该项目可第一批立项实施的概率（结果精确到0.001）；
（3）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取12人以便了解个人看法，并从中选取3人担任督查员，记为督查员内老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.
（参考数据： ， ， ， ）

8．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.

(Ⅰ)由折线图得，可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系.求关于的线性回归方程，并预测公司2017年5月份（即时）的市场占有率；

(Ⅱ)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不形同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表.
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
（参考公式：回归直线方程为，其中）

9．为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（， 约为19.3）.
按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
已知市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？
（说明： 表示的概率， 用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据： ， ， ）.

10．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如下：
包裹重量（单位： ）

包裹件数

公司对近天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围

包裹件数
（近似处理）

天数

以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来天内恰有天揽件数在之间的概率；
（2）（i）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（ii）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不超过件，工资元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？

概率分布列参考答案：
1． 试题解析：
（Ⅰ）因为 ，
从而服从，因为，从而 .
（Ⅱ）（i）任抽1个淘宝客户，该客户是目标客户的概率为
.
现若随机抽取10000名淘宝客户，记为这10000人中目标客户的人数，从而服从，所以.
（ii）服从，
.
若当时概率最大，
则有，即，解得，
故10000人中目标客户的人数为4772的概率最大.
2．试题解析：
（Ⅰ）因为，所以.
由得，
所以 ， ，所以，所以.
当时，2018年人均可支配年收入（万）
（Ⅱ）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人
一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人， 2018年人均可支配收入比2017年增长
所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(1-10%)=2520人，
很困难的学生有4200×(1-20%)+2800×10%=3640人
一般困难的学生有7000×(1-30%)+4200×20%=5740人.
所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万
3．试题解析：
（1）选择方案一，若要享受到180元的现金优惠，则必须每次旋转转盘都指向60元对应的区域， 由图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为.
设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件，
则，
所以两位顾客均获得180元现金奖励的概率为.
（2）①若选择抽奖方案一，则每一次转盘指向60元对应区域的概率为，每一次转盘指向20元对应区域的概率为.
设获得现金奖励金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.
则； ；
； .
所以选择抽奖方案一，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为（元）.
若选择抽奖方案二，设三次转动转盘的过程中，指针指向白色区域的次数为，最终获得现金奖励金额为元，则，故，
所以选择抽奖方案二，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为（元）.
②由①知， 所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
4．试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：
．
（2）①∵服从正态分布，且， ，
∴，
∴落在内的概率是．　
②根据题意得，
； ； ； ； .
∴的分布列为

0
1
2
3
4

∴．
5．
试题解析：(1) ,.
此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理.
(2) ,
由题意可知钢管直径满足： 为合格品，
故该批钢管为合格品的概率约为0.95
60根钢管中，合格品 57根，次品3根，任意挑选3根，则次品数 的可能取值为:0,1,2,3.
.
则次品数的分布列列为：

0
1
2
3

得： .
6．试题解析：
（1）数值在100~110内的频率为，所以.
又因为，所以.
（2）由频率分布直方图，可知抽取的一件产品为， ， 等级的概率分别为， ， ，且的取值为20，30，40，50，60，80，则， ， ， ， ， ，
所以的分布列为
X
20
30
40
50
60
80
P

所以.
（3）由折线图中所给的数据计算，
可得， ，
所以，
所以，
故月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为.
当时， .
所以2017年4月份的市场占有率预计为.
7．试题解析：
（1）根据题意：被调查者认为可立项实施的概率为评分在60分（含）以上的概率，由频率分布直方图易知.
（2）认为该项目可第一批立项实施即得分在80分及以上的，根据频率分布直方图，可知其频率是.
用样本的频率代替概率，故从中抽取4人恰有3人认为该项目可第一批立项实施的概率为.
（3）因为评分低于60分的被调查者中，老年人占，所以这12人中，老年人有4人，非老年人有8人，随机变量的所有可能值为0，1，2，3
， ， ， ，
的分布列为：

0
1
2
3

的数学期望.
8．(1) 线性回归方程为 ，公司2017年5月份的市场占有率预计为23% (2) 应该采购款单车
【解析】试题分析：（1）根据折线图及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程，将代入回归方程即可得结果；（2）根据表格中的数据，算出每辆款车可使用年的概率，从而可得每辆款车可产生的利润期望值，同理可得每辆款车可产生的利润期望值，比较两期望值的大小即可得出结论.
试题解析：(Ⅰ)计算可得,
.
.月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为.
当时，.故公司2017年5月份的市场占有率预计为23%.
(Ⅱ)由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，每辆款车可产生的利润期望值为
（元）.
频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，
每辆款车可产生的利润期望值为：
（元），应该采购款单车.
9． 试题解析：
（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

.
（2）记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，
根据题意， ，
即.由，得
解得，所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.
，
所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．
10． 解析：（1）样本包裹件数在之间的天数为，频率，
故可估计概率为，
显然未来天中，包裹件数在之间的天数服从二项分布，
即，故所求概率为.
（2）（i）样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位： ）

快递费（单位：元）

包裹件数

故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元.
（ii）根据题意及（2）（i），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），
将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围

包裹件数
（近似处理）

天数

频率

若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数
（近似处理）

实际揽件数

频率

故公司平均每日利润的期望值为（元）；
若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数
（近似处理）

实际揽件数

频率

故公司平均每日利润的期望值为（元）.
因，故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利.
点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决策提供依据。