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本科生毕业（学位）论文

有关实数完备性基本定理的循环证明

指导教师姓名：

职 称：
副教授
单 位：
数学系
专 业 名 称：
数学与应用数学
论文提交日期：
2010年 月 日
论文答辩日期：
2010年 月 日
学位授予单位：
黔南民族师范学院

答辩委员会主席:
论 文 评 阅 人:
2010 年 月 日

有关实数完备性基本定理的循环证明
蒋长征
(2006051135)
(黔南民族师范学院数学系 贵州.都匀 558000)
摘要：本文阐述了实数集上六个基本定理及其相关内容，并在用十进位小数定义证明确界原理的基础上通过六个循环从不同的角度证明了它们的等价性。
关键词：实数集；完备性；确界原理；单调有界定理；区间套定理；有限覆盖定理；聚点定理；收敛准则

The Circulating Testification on the Basic Axioms of Real Number Completeness
Jiang Chang-zheng
(2006051135)
(Department of Math ,Qiannan Normal College for Nationalities,Duyun,Guizhou,55800)
Abstract : This paper elaborates six fundamental theorems on a set of real numbers and its related content.Based on the result which use decimal number definitions to prove sector principle this paper prove their equivalent from different angle.
Key words: Real Number Collection; Completeness; True Principle; Has the theorem monotonously; Nested interval theorem; Finite covering theorem; Limiting point theorem; Cauchy Restraining criterion

1 实数完备性基本定理及其有关内容
1.1 有关概念 定义
我们知道，极限的存在性问题是极限理论的首要问题。一个数列是否存在极限不仅与数列本身的的结构有关，而且与所在数集密切相关。从运算的角度来说，实数集关于极限的运算是封闭的，它反映了实数集的完备性，这是实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有了坚实的基础。
我们常常从实数系的连续性（即实数集无间隙）出发证明实数系的完备性（即能使确界原理成立的有序域），也可从实数系的完备性出发证明实数系的连续性，所以这两个关系是等价的。因此，我们也称实数连续性为实数的完备性。下面我们就来阐述实数完备性基本定理及其有关内容，为后面的证明做铺垫。
定义 设为非负实数，称有理数

为实数的位不足近似，而有理数

称为实数的位过剩近似，。
定义 设为中的一个数集。若存在一个数，使得对一切，都有，则称为有上（下）界的数集，数称为的一个上界（下界）。
定义 设为中的一个数集。若数满足：
(i) 对一切，有，即是的上界；
(ii) 对任意数，存在，使得，即又是的最小上界，
则称为数集的上确界，记作：

定义 设为中的一个数集。若数满足：
(i) 对一切，有，即是的下界；
(ii) 对任意数，存在，使得，即又是的最大下界，
则称为数集的下确界，记作：

定义 设闭区间列具有如下性质：
(i) ，；
(ii)
则称为闭区间套，或简称区间套。
定义 设为数轴上的点集，为定点（它可以属于，也可以不属于），若的任何邻域内都含有中无穷多个点，则称为点集的一个聚点。
定义 对于点集，点的任何邻域内都含有中异于的点，即，则称为点集的一个聚点。
定义 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为点集的一个聚点。
注：这三个定义是等价的。
定义 设为数轴上的点集，为开区间的集合（即的每一个元素都是形如的开区间）。若中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖，或称覆盖。若中开区间的个数是无限（有限）的，则称为的一个无限（有限）开覆盖。
定义 一个数列被称为列，如果对任给的，存在正整数，使得当时有。
1.2 实数完备性六个基本定理
定理 （确界原理）设为非空数集，若有上（下）界，则必有上（下）确界。
定理（单调有界定理）在实数系，有界的单调数列必有极限。
定理（区间套定理）若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点使得属于 即。
推论 若 （）是区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得对一切时有
。
定理（有限覆盖定理）设为闭区间的一个开覆盖，则从中可选取有限个开区间来覆盖。
定理（聚点定理）实数系中任一有界无限点集至少有一个聚点。
推论 有界数列必有收敛子列。
定理（收敛准则）数列收敛的充要条件是：数列是列。
2 基本定理的循环证明
以上六个定理，都是描述实数集的连续性（完备性）的定理，只不过表现形式不同而已。在这六个定理中有限覆盖定理着眼于区间整体，而其它五个则着眼于一点的局部，这些点分别是定理中的确界点、定理和定理中的极限点、定理中的公共点和定理中的聚点。从这个方面说定理（有限覆盖定理）是其它五个定理的逆否形式。因此不论是用定理证明其它五个定理还是用其它五个定理证明定理都可以用反证法来完成，其它五个定理可以直接互推，只要抓住上述提到的那些点即可，方法是从已知出发构造某一点，然后证明这个点就是所要求的点。
通过上述方法虽然可以证明这六个定理的等价性，但这并不意味着它们就是正确的，若其中有一个命题是假命题，则全为假命题。因此在证明它们的等价性时起点是极其重要的。在证明过程中不同的教材和参考书对起点问题的处理也不尽相同。有的直接把其中的一个当作公理，如刘玉琏等所编的《数学分析讲义》就是把单调有界原理当作公理，并以此为起点证明这六个定理的等价性，很明显这样做是不够严密的。本文是基于华东师范大学数学系编著的《数学分析》，即用十进位小数定义证明确界原理作为起点（具体过程见[2]，第7页），然后用循环证明的方法证明它们的等价性。
2.1 第一个循环
①②③④⑤⑥①
2.1.1 ①② 参见[2]，35页
2.1.2 ②③ 参见[2]，161页
2.1.3 ③④ 参见[2]，165，166页
2.1.4 ④⑤
证 设为有界无穷点集，因此存在，使得。
反正法：若无聚点，即中任何一点都不是的聚点，则对于任意，必有相应的，使得内至多含有有限个(若，则中不含中的点)。所有这些邻域的全体形成的一个无限开覆盖：
。
由定理知，中存在有限个开区间能覆盖。记：

为的一个有限开覆盖，则也覆盖了。由于每个邻域中至多含有有限个点，故这个邻域的并集也至多有得有限个点，因此为有限点集，这与题设为无穷点集矛盾。
2.1.5 ⑤⑥
证 必要性显然下证充分性
若数列是列，则收敛。
即
对任意，存在，当时，有，则收敛。
(i)对于，存在，当时有
，即。
取时，则
。
记
，
则对于任意，有，即为有界数列。
(ii)有聚点定理的推论知，有界的数列必有收敛子列，故必有收敛子列。记
。
(iii)由数列是列，故对任意，存在，当时，有

而又由于，故存在，当时有

取，当时有

即

2.1.6 ⑥① 参见[2]，167页
2.2第二个循环
①③⑤④⑥②①
2.2.1 ①③
证 由于，构成一个区间套，于是有：

且

所以数列为单调递增的有界数列，为单调递减的有界数列。由定理可知数列必有上确界，数列必有下确界。
设
，则有对任意的，有
，则有对任意的，有
所以，
结合可得

又因为

所以

即

所以存在唯一的点使得
，
即定理成立。
2.2.2 ③⑤ 参见[2]，164页
2.2.3 ⑤④（也可参见[3]，34页）
证 假设不能用中有限个开区间来覆盖。
将二等分，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为(如果两个半区间都是如此，可任选其一)，则
，且。
再将二等分，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为，且。
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列，它满足

且
，
则每个，都不能用中有限个开区间来覆盖。
由的取法可知，数列单调递增有上界，数列单调递减有下界。
且每一个（）都是有界无限点集。由聚点定理可知，至少有一个聚点，设为。
又因为
故对任意的，存在，当时，有

再由的取法及的性质可得当时，有。这与的取法矛盾。故假设不成立。即有定理成立。
2.2.4 ④⑥
2.2.5 ⑥②
证 设数列为单调列，可改述为：“，存在，当时，满足”．这是因为它同时保证了对一切，恒有

倘若不收敛，由准则的否定陈述：存在，对一切，存在，使

依次取
，存在，使；
，存在，使；

，存在，使；
把它们相加,得到．
故当时，可使，矛盾．所以单调递增有上界数列必定有极限．
同理可证单调递减有下界的数列必定有极限。
2.2.6 ②①
证 设, 若有最大值，则最大值就是的上确界，下设无最大值。令为的一个上界．取，设
，且；
将二等分，若右半区间中含有中的点，则令它为，否则令左半区间为，如此得到且有
，；
如此无限进行下去，得到一闭区间列
，
其中
，，。
则有

于是数列为单调递增的有界数列。
由定理可知，数列必有极限。设
，
由的构造法则可知，的右边没有中的点。
则对任意，有，且任给，存在，有

所以为的上确界。
同理可证有下界的数集必有下确界。
2.3第三个循环
①④②⑤⑥③①
2.3.1 ①④
证 假设不能用中有限个开区间来覆盖。
将二等分，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为(如果两个半区间都是如此，可任选其一)，则
，且。
再将二等分，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为
，且。
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列，它满足

且
，
则每个，都不能用中有限个开区间来覆盖。
由的取法可知，数列单调递增有上界，数列单调递减有下界。
根据定理数列有上确界设为，数列有下确界设为，于是有

且对任意，都有：
，
且对任给，存在，使得
，
故令，当对任意时，有

于是再令，，则。
这表明当充分大时已被开区间所覆盖。这与的本质矛盾。故假设不成立，即可由中有限个开区间（至多有个）所覆盖。
2.3.2 ④②
证 设数列单调递增有上界，考虑区间，显然任给
(i)当是数列的上界时，必有更小的上界，因而有开邻域，其中的每一点都是的上界
(ii)当不是数列的上界时，必存在，使得。因而有的开邻域，其中的每一点都不是的上界。
对于数列中的每一点，及中的其它点都存在一个开邻域(对于的每一个开邻域除中心外与的交集为空集)它要么属于第一类，要么属于第二类。
那么，这一切邻域将覆盖，由定理可知，存在的有限个开区间将覆盖且必在其中。若不收敛，显然与有限个开区间的本质矛盾。（因为数列中有无限个点，而每个点的邻域，左边无限，右边有限，故必有除中心外与交集非空的点。）所以收敛。
2.3.3 ②⑤
证 设为有界无穷点集，因此存在，使得。记。
将二等分，因为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有的无穷多个点记此区间为 (如果两个半区间都是如此，可任选其一)，且
。
再将二等分，两个子区间中至少有一个含有的无穷多个点。记这个子区间为，且
。
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列，它满足
，
且每一个都含有中无穷多个点。
由的构造法则可知，为单调递增的有界数列，为单调递减的有界数列，且

由定理可知数列，极限都存在，设
，，
则有

所以

又

则有
，
即

所以，对任意的，存在，当时有。从而内含有的无穷多个点，按定义，是的一个聚点。
2.3.4 ⑤⑥ 见2.1.5
2.3.5 ⑥③
证 设是满足定理条件的区间列。
则
任给，存在正整数，当时有
，
由上式及数列与的单调性可得：

所以数列与都是列。故数列与都收敛。
又

所以
，且。
下证唯一性
设另有一点使得：
，
则有
，
这与矛盾，即存在唯一的点使得：
2.3.6 ③①
证 设, 有上界．取，令
，且；
将二等分，若右半区间中含有中的点，则令它为，否则令左半区间为，如此得到且有
，；
如此无限进行下去，得到一闭区间列，其中
， 。
由区间套定义可知，构成一区间套。
根据定理，存在唯一的实数．
下证：因恒为的上界，且，故任意，必有，则
这说明是的上界；又因，故任给，存在，使得，而都不是的上界，因此更不是的上界．所以成立．
2.4第四个循环
①⑤②④③⑥①
2.4.1 ①⑤
证 设为有界无穷点集，因此存在，使得。记
。
将二等分，因为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有的无穷多个点记此区间为 (如果两个半区间都是如此，可任选其一)，有
，
且
。
再将二等分，则两个子区间中至少有一个含有的无穷多个点。记这个子区间为，有

且
。
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列，它满足
(i)
(ii)，
所以每一个都含有中无穷多个点且，
，
由的构造法则可知，，为有界数列，且

由定理，可知数列必有上确界，数列下确界，设
，
则有
①对任意的，总有；
②对任意的，存在，使得。
当时有

所以，对任意的，存在，当时有。从而内含有的无穷多个点，按定义，是的一个聚点。
2.4.2 ⑤②
证 设数列单调递增有上界，则。将二等分，如果右半区间中含有的点，则记此区间为，单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列的有限个点。如果右半区间中不含的点，则记左半区间为，则。
再将二等分，如果右半区间中含有的点，则记此区间为，由数列单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列的有限个点。如果右半区间中不含的点，则记左半区间为，则。
如此继续下去，则得到一闭区间列，且

则每个中都含有的无限个点，即每个都是有界无限点集。
由聚点定理可知每个都有聚点。
由的性质可知，，有唯一的公共聚点，设为。
又
，
所以对任意的，存在，当时，有

所以之外至多含有数列的有限个点。所以数列收敛于。
2.4.3 ②④
证 用反证法 假设不能用中有限个开区间来覆盖。
将二等分，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为(如果两个半区间都是如此，可任选其一)，则
，且。
再将二等分，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为，则，且。
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列，它满足
(i)，；
(ii)。
且中每个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖。
由(i)可知：

则数列单调递增有上界，数列单调递减有下界。
由单调有界原理，数列，都有极限。设，
则对任意的，存在，
当时，有
；
当时，有
；
又由(ii)知

所以对任意的，存在，当时，有

故
。
这表明当充分大时，只须用中一个开区间就能覆盖，与构造时的假设“不能用中有限个开区间来覆盖”相矛盾。从而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖。
2.4.4 ④③ 参见[5]，56页
2.4.5 ③⑥ 参见[2]，162页
2.4.6 ⑥① 见2.1.6
2.5第五个循环
①⑤③②⑥④①
2.5.1 ①⑤ 见2.4.1
2.5.2 ⑤③
证 由于，构成一个区间套，于是有：

且

所以数列单调递增有上界，数列单调递减有下界。
故为有界无限点集，由聚点定理可知
存在一点为的一个聚点，即对任意的，对于邻域都含有中的无穷多个点。
由，的性质可知它们都有无穷个点包含在内，也就是说：

下证的唯一性
设也满足上式，即
，
所以有
，
又由定理条件(ii)得
，
故

所以唯一。
2.5.3 ③②
证 设数列单调递增有上界，则。将二等分，如果右半区间中含有的点，则记此区间为，由数列单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列的有限个点。如果右半区间中不含的点，则记左半区间为，则
。
再将二等分，如果右半区间中含有的点，则记此区间为，由数列单调递增有上界数列可知，左半区间中至多含有由数列的有限个点。如果右半区间中不含的点，则记左半区间为，则
。
如此继续下去，则得到一闭区间列，且

则每个外只含有的有限个点，且构成区间套。
由定理可知，存在唯一的点。
又由定理的推论可知，对任意的，存在，当时，有

即外最多只有数列有限项。故收敛于。
同理可证对于单调递减又下界的数列也收敛。
2.5.4 ②⑥
证 必要性容易证明，下证充分性
由数列为列，即对任给的，存在，使得对一切有

即在区间内含有的几乎所有项(这里及以下，为叙述方便，我们用“中几乎所有项”表示“中出有限项外的所有项”)。
据此，令，则存在，在区间内含有的几乎所有项。记这个区间为。
再令，则存在，在区间内含有的几乎所有项。记
。
它也含有的几乎所有项，且及。
继续依次令，按照上面的方法得到一闭区间列，其中每一个区间都含有的几乎所有项，且满足

故数列单调递增有上界，数列单调递减有下界。
由单调有界原理可得，的极限都存在，分别设为和。
又由 可得

下证就是数列的极限。事实上，由定理的推论可知，对任给的，存在，使得对一切时有
。
因此在内含有中出有限项外的所有项，这就证得。
2.5.5 ⑥④
证 设闭区间被开区间集所覆盖，记为，在中取中的一点记作，得到新的区间。
在中取中的一点记作，得到新的区间。
如此继续下去可以得到一无穷点列记作：
，且。
下证数列为列。
若从某一项开始恒为一个值，则必定满足条件。
下设不是从某开始开始恒为一个值的数列，由取法可知，数列随着的增大并趋近于无穷，对于任意的，从某项起之后各项（不只是相邻项）之间的差值都会小于，即对于任意的，存在(设为)当时有

所以数列为列。
由此可知，无论何种情况，数列为列，所以收敛。
从的选法知，
设
，
即对任意的，存在，使得当时有

也就是

下设，，
则

也就是说可以由中的有限个开区间来覆盖（至多个）。
2.5.6 ④①
证 设，对于任意的，存在，使得，任给，考虑区间。假设没有上确界，那么任意对于
i）当是的上界时，必有更小的上界。因而有开邻域，其中的每一点都是的上界;
ii）当不是的上界时，有中的点，于是有开邻域，其中的每一点都不是的上界。
必居其一而且只能据其一。这些邻域将覆盖。
由定理可得，存在的有限个子开区间将覆盖。
注意：所在的开区间应为第一类的，相邻接的区域有公共点也应为第一类的，经过有限次邻接可知所在的邻域也是第一类的。这便得出矛盾，即假设不成立有上确界。
2.6第六个循环
①⑥⑤④③②①
2.6.1 ①⑥
证 必要性显然下证充分性
若由数列为列，即对任意，存在，当时，有
则收敛。
由2.1.5知，数列为有界数列。
根据定理令
，
，
得

因由数列为列，即任给，存在，当时，有，则收敛，故有

结合，
可得

依，得

由得任意性可得
故

即

所以数列收敛。
2.6.2 ⑥⑤
证 设为实数域上的有界无限点集，我们来证它有聚点。
不妨设的一个上界，一个下界为。在中取中的一点记作，得到新的区间。
在中取中的一点记作，得到新的区间。
如此继续下去可以得到一无穷点列记作：
由的取法可知，总存在，当，有
。
下证数列是列。
若从某一项开始恒为一个值，则必定满足条件。下设不是从某开始开始恒为一个值的数列，由取法可知，数列随着的增大并趋近于无穷，对于任意的，从某项起之后各项（不只是相邻项）之间的差值都会小于，即对于任意的，存在(设为)当时有

所以数列是列。
由此可知，无论何种情况，点列都满足条件，所以收敛，
设
。
对于任意的，存在 ，当时有

即有无穷多项都落在邻域内，也就是说在邻域内有的无穷个点。有定义知为的一个聚点。
2.6.3 ⑤④ 见2.2.3
2.6.4 ④③ 见2.4.4
2.6.5 ③②
证 设为一递增且有上界的数列．为此令。
将二等分，若右半区间中含有中的点，则令它为，否则令左半区间为，如此得到且有
，；
如此无限进行下去，得到一闭区间列，其中
， 。
由区间套定义可知，构成一区间套。
根据 构造可知，每个都含有的项，且右边没有中的项。
根据定理，存在唯一的实数．
下面用数列极限定义证明：
由定理的推论可知，对任给的，存在，使得对一切时有
。
由为递增且有上界的数列，且右边没有中的项，可知数列只有有限项落在之外。所以。
同理可证单调递减有下界的数列极限也存在。
2.6.6 ②① 见2.2.6
3 总结
以上六个循用环虽说都是从确界原理开始，却从不同的角度证明了实属完备性六大基本定理的等价性和正确性，而且包含了从其中一个定理出发到其它五个定理的直接证明，摆脱了单一循环需要间接证明的缺点。
另外，通过本文可以使我们对实数集上这几个基本定理和极限理论为何建立在实数集上有了更深层次的理解。为我们能更好的学好《数学分析》和《实变函数》等课程奠定了基础。

参考文献：
[1]刘玉琏等.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2003:35
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001:7-176
[3]江泽坚 吴智泉.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，1994:34
[4]裴礼文.数学分析的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006:120-124
[5]孙清华 孙昊.数学分析内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2003:56
[6]朱仲义.浅论实数完备性[J].水利电力机械电子技术，1992(3):67

指导教师：…副教授
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