微分几何试卷.doc

《微分几何》考试模拟卷（A卷）
1等距变换一定是保角变换
2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.
3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线.
4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的
5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量
1. × 2. √ 3. × 4.× 5. √
二、 填空题（每小题3分，共15分）
1、半径为的圆的曲率为_________.
2、曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________,
3、 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是______________.
4、在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足____________________,
5、使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向.
1、， 2、F=0 ，  3、， 4、， 5、主方向

三、计算题（第1小题各18分，，第2、3、4小题各10分，共48分）
1. 已知空间正则参数曲线
(1) 求基本向量.
(2) 求的曲率和挠率.
答：

求抛物面在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.
答：

设一个曲面的第一基本形式为求它上面两条曲线的交角.

o 解：有题意可知                          
   两曲线的交点为(0,0)，故由
得                                                      

4.确定螺旋面上的曲率线。

o 解  对于正螺面，

曲率线的方程为，                       
   化简得     ，
即     。                                          
积分得。
所求曲率线为，
。    　
四、 证明题((每小题各9分，共27分)

1. 证明挠曲线(的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.
o

2、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这曲线是直线或平面曲线.
证：设所给的常向量为，则。所以，
两边对求微商得，
即。
若，则曲线是直线。
若，则，于是，
，
由于，所以有。
由可知，从而，所以，即曲线为平面直线
3、设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。
证 设曲线Γ：=与：点s与一一对应，且对应点的切线平行，则=, 两端对s求微商得, 即 ，(这里k0，若k==0，则无定义)，所以∥，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。
一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分）
1、保角变换一定是等距变换
2、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.
3、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量
4、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.
5、测地曲率是内蕴量
1、´，2、´，3、√  ，4、Ö，  5、Ö
二、填空题（每空3分共30分）
1、 已知，，则 ① ， ② ， ③ ， ④
2、已知曲面，，，则它的第一基本形式为 ⑤ ，第二基本形式为 ⑥ ，高斯曲率⑦ ，平均曲率 ⑧ ，点处沿方向的法曲率⑨ ，点处的两个主曲率分别为 ⑩ .
· 答案：
o   ①        ，②       ， ③
④        ，⑤    ，⑥    ，⑦  
  ⑧                      ， ⑨        ， ⑩          　
三、计算题（每小题12分共36分）
1、求曲面的渐近曲线.
o

已知曲面的第一基本形式为，，求坐标曲线的测地曲率.

o 解 ，，，                       
u-线的测地曲率                               
v-线的测地曲率        　
3、求曲线 的曲率和挠率：
o 解：因为，
，
，
，
，
，
，
，
所以，
四、证明题（每小题12分，共24分）
1、设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角.
o

给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证是一条平面曲线.
证   设   ，，其中是的自然参数，记
，则，两边求导，得，     
由为曲率线知，即， 因此 .
若，则为平面曲线；                              
若，则因为曲面上的一条曲率线， 故. 而
，所以，即为常向量. 于是为平面曲线.
一、判断题(正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题2分，共10分)
1.、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. (　　　)
2、曲面上曲率线网一定存在. (　　　)
3、存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面 (　　　)
4、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。 (　　　)
5、曲面上的直线一定是测地线。 (　　　)
1、×，2√，3×，4×，5√
二、填空题(每小题3分，共15分)
1、向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是_____________。
2、曲线r=r(t)的挠率是_____________。
3、曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件_____________。
4、直纹曲面的高斯曲率值满足_____________。
5、球面上的测地线是_____________。
1、，2、，3、L=N=0，4、， 5、大圆。
三、计算题（每小题10分共50分）
1、 求曲线= { t,t,t} 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , (0)={ +t,- t,+t={0,1,1}，
{2+ t,- t,2+t ={2,0,2} ，
所以切线方程是  ，法面方程是 y + z = 0 ；
密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ，
主法线的方程是  即 ；
从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式
2、求曲面z = axy上坐标曲线x = x,y =的交角.
解 曲面的向量表示为={x,y,axy}, 坐标曲线x = x的向量表示为={ x,y,axy } ，其切向量={0，1，ax}；坐标曲线y =的向量表示为={x , ,ax}，其切向量={1，0，a}，设两曲线x = x与y =的夹角为，则有cos = 　
3、 求曲面的渐近线.
解：曲面的向量表示为,
,

.
渐近线的微分方程为,即一族为dy=0, 即,为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.
4、确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率.
解 曲面方程即，，
，， 。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,
N=2a .所以-4a+4=0 ，两主曲率分别为  = 2 a , = 2 a 　
5、求曲面上的曲率线的方程.
 解 
M=,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:
:
 .
四、 证明题(第1小题5分，2、3小题各10分，共25分)
1、证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.
证：  由H==0有==0或=-0 .
若==0,则沿任意方向,=0 ,
即对于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,对应的点为平点.
若=-0,则K=<0 ,即LN-M<0,对应的点为双曲点.
2、证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为＝，则曲线在任意点的切线方程是，由条件切线都过坐标原点，所以，可见∥，所以具有固定方向，故＝是直线
3、证明曲面=是可展曲面.
证： 已知曲面方程可改写为=+v，令=，=，则=+ v，且0，这是直纹面的方程 ，它满足
==0    ,所以所给曲面为可展曲面。
一、判断题(正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题2分，共10分)
1、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( )
2、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( )
3、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( )
4、LN-M2不是内蕴量。 ( )
5、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( )
1、√，2、×，3√，4、×，5、√ 　
二、填空题（每小题3分，共15分）
1、曲线r=r(s)的曲率定义是_____________。
2、空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_____________。
3、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是_____________。
4、坐标网是渐近线网的充要条件是 。
5、平面上的测地线一定是_____________。
1、，2、与一固定方向成定角，3、M=0，4、L=N=0，5、直线
三、计算题(每小题12分，共48分)
1、求双曲面z=axy上的曲率线.
解： N=0 .
 由=0
得,
积分得两族曲率线为.
　2、求第一基本形式为的曲面高斯曲率 。
 证：  因为 ，所以
=
-=4c 　
3、将圆柱螺线={a，a，b}化为自然参数表示。
解 = { -a,a,b}，s = ，所以，
代入原方程得 ={a, a, }
4、求曲线x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-的挠率，并求出它所在的平面方程 。
证 ={3+4t, -２+10t,-2t}， ={4，10，-２}，  ＝｛０，0，0｝
曲线的挠率是，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任一点的密切平面。对于ｔ=0,有
 =｛１,２,１｝，={3, -２,0}， ={4，10，-２}，  ＝｛０，0，0｝。
所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是　
即2x+3y+19z –27＝0．　
四、 证明题(每小题各9分，共27分)
1、证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.
证 若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的G—C—M公式，但，所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面。
2、证明曲面={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。
证： 曲面的方程可改写为 =+ u，其中={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，={-sinv, cosv,1} ，易见0，所以曲面为直纹面，又因为==0，所以所给曲面为可展曲面　
3、 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.
证 曲面上的给定点处两主曲率分别为 、，任给一方向及与其正交的方向+，则这两方向的法曲率分别为，
 ，即
为常数。
一、判断题(正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题2分，共10分)
1、曲线=(s)为一般螺线的充要条件为(,,)=0
2、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。
3、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。
4、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。
5、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。
1、√，2、√，3、×，4×，5、√
二、填空题(每小题3分，共15分)

1、当曲线参数是自然参数时，它的一阶导向量的长度是_____________。
2、螺旋线在点（1,0,0）处的单位切向量是_____________，法平面方程是_____________。
3、设为曲面上曲线，点P在上，在P点的测地曲率为1，又在P点沿切方向的法曲率为2，则在P点的曲率为 。
4、曲面的第一、二、三基本形式的关系是 。
1、1，2、，，3、，4、

三、计算题（每小题12分共48分）
1、计算抛物面在原点的第一基本形式,第二基本形式.
解 曲面的向量表示为,
,,, ,, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,  = 1 \* ROMAN I=,  = 2 \* ROMAN II=
2、 求出抛物面在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.
,,,
,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率
3、确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率.
解 曲面方程，，，， 。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，两主曲率分别为  = 2 a , = 2 a
4、在xoz 平面上去圆周y = 0,,并令其绕轴旋转的圆环面,参数方程为 ={(b+acos)cos, (b+acos)sin, asin},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。
解：  E =, F= 0 , G=, L = a, M = 0, N = cos(b+acos),   
LN -=a cos(b+acos) , 由于b > a > 0 , b+acos > 0,所以LN - 的符号与cos的符号一致,当0≤<和 <<2时, LN ->0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-<<，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当=或 时，LN -=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。
四、 证明题(每小题9分，共27分)
1、如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
证 ：设一曲线为Γ：＝，则另一曲线的表达式为： ，为曲线Γ在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。
＝＋－与正交，即·＝０，于是＝０，为常数。＝－，＝k－－（－k＋）也与正交，即·＝-=0,而０,所以有＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线为平面曲线。
2、证明曲线＝为一般螺线的充要条件为
，
＝，其中k0.
曲线＝为一般螺线的充要条件为 为常数,即=0,也是   。
3、若曲线的主法线是曲线的副法线，的曲率、挠率分别为，求证，其中是常数。
证明：设曲线，曲线。在的主法线与在的副法线重合，则。于是有，。因为，于是，上式两边点乘，可得，从而是常数。设，则。
上式两边对求微商，可得
。
上式两边点乘，可得，即                   。
一、判断题(正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题2分，共10分)
1、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。
2、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. (　　　)
3、球面曲线的主法线必过球心 4、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. (　　　)
5、曲面上的渐进网一定存在. 1、×，2、√，3、×，4、×，5、×
二、填空题(每小题3分，共15分)
1、向量函数平行于固定平面的充要条件是_____________.
2、_____________是空间曲线的切向量对于弧长的旋转速度.
3、以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,_____________,平点.
4、曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的_____________的最大值和最小值.
5、曲面的第三基本形式是它的_____________的第一基本形式.
1、
2、曲率    3、抛物点      4、法曲率    5、球面表示　
三、计算题（每小题10分，共50分）
1、求三次曲线在点的切线和法平面。
解  ，切线为，
法平面为  。
2、求球面=上任意点的切平面和法线方程。
解： ，=
任意点的切平面方程为

即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；
法线方程为     
3、设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量，，，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为，，。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为，则有
cos= 。
4、求正交网的坐标曲线的测地曲率。
解： 因为坐标网是正交的，所以F=0，故
，
而对u-曲线来说，=0，故，
对v-曲线来说，= ，所以。
5、求双曲面z=axy上的曲率线.
解： N=0 .
 由
得,积分得两族曲率线为
四、证明题（第1小题5分，2、3小题各10分，共25分）
1、求证：如果测地线同时为渐近线，则它是直线；
证  因为所给曲线是测地线，所以； 又因为所给曲线是渐近线，所以，而 ，所以k=0， 故所给曲线是直线。
2．证明正螺面={vcosu,vsinu,au+b}(a0)不是可展曲面。
o
如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
证： 设一曲线为Γ：＝，则另一曲线的表达式为： ，为曲线Γ在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。
＝＋－与正交，即·＝０，于是＝０，为常数。＝－，＝k－－（－k＋）也与正交，即·＝-=0,而０,所以有＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线为平面曲线
一、判断题(正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题2分，共10分)
1、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 (　　　)
2、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。 (　　　)
3、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 (　　　)
4、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 (　　　)
5、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 (　　　)
1、√，2、×，3、√，4、×，5、×
二、填空题(每小题3分，共15分)
1、曲面上曲线的弧长是_______不变量。
2、球极投影给出（除北极外）到平面的一个变换是_______变换。
3、圆的曲率和挠率特征为_______。
4、曲率恒等于0的曲线是_______。
5、在曲面上的任意点，主方向的数目总为_______。
1、等距，2、保角，3、k=大于零的常数，τ=0，4、直线，5、2
三、计算题(每小题12分，共48分)
1、求曲线在平面　与y = 9a之间的弧长。
解：曲线的向量表示为＝，曲面与两平面　与y = 9a的交点分别为x=a 与x=3a , ＝，｜｜＝＝，所求弧长为　。
2、在曲线x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解： = {-cossint, coscost, sin } , ={ -coscost,- cossint , 0 }
{sinsint ,- sincost , cos }
新曲线的方程为={ coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos }
对于新曲线={-cossint+ sincost ，coscost+ sinsint，sin }={sin(-t), cos(-t), sin} ,  ={ -cos(-t), sin(-t),0} ,其密切平面的方程是

3、求正螺面={ucosv,usin,av}上的测地线。
解：易计算出E=1，F=0，G=，所以测地线的微分方程化为，对第一式积分得（常
数）。于是，将此式代入第二式并积分，则得所求测地线为
 。
4、求曲面上的曲率线的方程.
解  可算得
M=,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:
:

四、证明题(每小题9分，共27分)
1、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么曲线是直线或平面曲线。
证 ：根据已知，若是常向量，则k==0 ，这时曲线是直线。否则在两边微分得·=０，即 k·=０,所以·=０，又因，所以∥，而为单位向量，所以可知为常向量，于是，即，此曲线为平面曲线。
2、证明过原点平行于圆柱螺线={a，a，b}的副法线的直线轨迹是锥面.
证 ={ -a,a, },  ={-a,- a,0 } ，×=为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是 ，消去参数t得。
3、 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线
证 设曲线Γ与在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：＝ ，则：，０，其切向量为＝＋＋k应与平行，所以k＝０，从而曲线Γ为直线。同理曲线为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。
一、判断题
1、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( )
2、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( )
3、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( )
4、LN-M2是内蕴量。
5、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网 ( )
1、√，2、√，3、╳，4、√，5、╳
二、填空题（每空3分，共15分 ）
1、若曲面和曲面等距，则的高斯曲率K= 。
2、柱面的第一基本形式为 。
3、设若曲面上的曲线，若既是渐近线又是测地线，则是 。又若曲面上的曲线既是渐近线又是曲率线，则是 。
4、曲面在点A（1，3，4）的切平面方程是 。
1、K=0；2、；3、直线，平面曲线；4、　

三、计算题（每小题12分，共48分）
1、求曲线的曲率k和挠率。
解：因为   ，，                    =                                 

2、求曲线的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。
解：设曲线（s为弧长参数）的切线曲面为
   ，                                         
则有，                                            
，，                   
E=1+，F=1，G=1
L=M=0，N=0                                                   

H=                                                             
曲率线方程为=0，即s=常数，或v=-s+c
3、求曲面高斯曲率。 解：
 可得K=0
4、求正交网的坐标曲线u-曲线的测地曲率。
解因为坐标网是正交的，所以F=0，         故
，                    
而对u-曲线来说，=0，      故
四、证明题(第1小题6分,2，3，4小题各7分，共27分)

1、是否存在曲面使得E=1，F=0，G=1， L=-1，M=0，N=0？为什么？
解：存在,        因为E=1，F=0，G=1， L=-1，M=0，N=0满足高斯-柯达齐方程 
2、设非直线曲线和另一条曲线之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线的切线是的主法线，证明是平面曲线。
解：设曲线：（s为弧长参数）则为
      两边对s求导有
     （1）                                    
因为，上式两边点积有
  代入（1）      
即有
            （2）再求导有     
 （3）       （4）      
（4）再两边点积有
 由题意有，即证。  　
3、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。
证：因为是极小曲面，所以，为非平面，即有 则K<0,所以极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。 设两族渐近曲线主方向的交角为，则由欧拉公式有=            两族渐近曲线正交
4、若两曲面、相交于定角，若交线是的曲率线，则也是的曲率线
证：设，的单位法向量为，则由题意有    ；  两边微分得  由交线是的曲率线，则有                 因为，所以       
又因为为单位法向量，即有    所以有                                               
，，所以有||                              
即，所以也是的曲率线。

20