正弦定理练习题(含答案).doc

正弦定理 复习

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于(　　)
A.　　　　　　B. C. D．2
解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝.
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)
A．4 B．4 C．4 D.
解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝4.
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4，b＝4，则角B为(　　)
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
解析：选C.由正弦定理＝得：sinB＝＝，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于(　　)
A．1∶5∶6　　　　　　　　 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c＝(　　)
A．1 B. C．2 D.
解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.
6．在△ABC中，若＝，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.∵＝，∴＝，
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.
7．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC，
∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.
再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)
A. B．2
C. D.
解析：选D.由正弦定理得＝，
∴sinC＝.
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，
△ABC为等腰三角形，a＝c＝.
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________.
解析：由正弦定理得：＝，
所以sinA＝＝.
又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝.
答案：
10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
解析：由正弦定理得＝
⇒sinB＝＝＝.
答案：
11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，
由＝得，a＝＝4，
∴a＋c＝8.
答案：8
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，
代入式子a＝2bcosC，得
2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，
所以sinA＝2sinB·cosC，
即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，
化简，整理，得sin(B－C)＝0.
∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，
∴－180°＜B－C＜180°，
∴B－C＝0°，B＝C.
答案：等腰三角形

13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴×12×sin60°×c＝18，
∴c＝6.
答案：12　6
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴2R＝＝＝2，
又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
∴＝＝2R＝2.
答案：2
15．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.
解析：依题意，sinC＝，S△ABC＝absinC＝4，
解得b＝2.
答案：2
16．在△ABC中，b＝4，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
解析：∵bsinC＝4×＝2且c＝2，
∴c<bsinC，∴此三角形无解．
答案：0

17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
解：在△ABC中，BC＝40×＝20，
∠ABC＝140°－110°＝30°，
∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，
所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，
由正弦定理得
AC＝
＝＝10(km)．
即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10 km.

18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝2，sincos＝，sin Bsin C＝cos2，求A、B及b、c.
解：由sincos＝，得sinC＝，
又C∈(0，π)，所以C＝或C＝.
由sin Bsin C＝cos2，得
sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]，
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，
即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得
cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，
A＝π－(B＋C)＝.
由正弦定理＝＝，得
b＝c＝a＝2×＝2.
故A＝，B＝，b＝c＝2.
19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝，sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝－1，求a，b，c的值．
解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝，
∴cos B＝＝.
又cos 2A＝1－2sin2A＝，∴sinA＝，cos A＝，
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝.
(2)由(1)知，C＝，∴sin C＝.
由正弦定理：＝＝得
a＝b＝c，即a＝b，c＝b.
∵a－b＝－1，∴b－b＝－1，∴b＝1.
∴a＝，c＝.
20．△ABC中，ab＝60，sin B＝sin C，△ABC的面积为15，求边b的长．
解：由S＝absin C得，15＝×60×sin C，
∴sin C＝，∴∠C＝30°或150°.
又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.
当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.
又∵ab＝60，＝，∴b＝2.
当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．
故边b的长为2.