浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目及答案).doc

1.（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形。分别为的中点，。（I） 设是的中点，证明：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到,的距离。2.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，（）试确定m，使得直线AP与平面BDB1D1所成角的正切值为；（）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。3. 如图甲，ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点线段AG交线段ED于F点，将AED沿ED翻折，使平面AED平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。 （I）求证BC平面AFG；（II）求二面角BAED的余弦值.4在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，M是AB的中点（1）求证：；（2）求CM与平面CDE所成的角DABEFC（第18题）5. 如图，矩形和梯形所在平面互相垂直， （）求证：平面；（）当的长为何值时，二面角的大小为？6. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=沿直线EF将翻折成使平面平面BEF. （I）求二面角的余弦值； （II）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与重合，求线段FM的长.7. 如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。8. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的菱形，BAD=120，且PA平面ABCD，PA=, M，N分别为PB,PD的中点。（1）证明：MN平面ABCD；（2）过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。9. 如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且 （）证明：平面；（）若二面角的大小为，求的大小 10. （第16题图）FACDEB如图，在五面体中，已知平面，（1）求证：；（2）求三棱锥的体积11. 如图，在直三棱柱中，已知，（第22题图）ABCA1B1C1（1）求异面直线与夹角的余弦值；（2）求二面角平面角的余弦值ACDBN12(本小题14分)在等腰梯形中，是的中点将梯形绕旋转，得到梯形（如图）（1）求证：平面； （2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值PABCDQM13. （本题满分14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（I）求证：平面PQB平面PAD； （II）若二面角M-BQ-C为30，设PM=tMC，试确定t的值14如图，直角梯形ABCD中，AB/CD， = 90 , BC = CD = ,AD = BD：EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.(I )求证：AD丄BF :(II )若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角 B-MF-C的余弦值. 1.证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 解法：（）故。所以。又.故在，即.故当时，直线。（）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则依题意有：，解得.故当时，直线。（）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于即为的中点时，满足题设的要求.3. () 在图甲中，由ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DEAF，DEGF，DE/BC 2分在图乙中，因为DEAF，DEGF，AFFG=F，所以DE平面AFG又DE/BC，所以BC平面AFG 4分() 因为平面AED平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DEAF，DEGF，所以FA，FD，FG两两垂直以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，所以，0) 6分设平面ABE的一个法向量为则，即，取，则，则 8分显然为平面ADE的一个法向量，所以10分二面角为钝角，所以二面角的余弦值为12分4. 方法一：（1）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CMAB又EA 平面ABC，所以CMEM（2）解：过点M作MH平面CDE，垂足是H，连结CH并延长交ED于点F，连结MF、MD，FCM是直线CM和平面CDE所成的角因为MH平面CDE，所以MHED， 又因为CM平面EDM，所以CMED， 则ED平面CMF，因此EDMF设EAa，BDBCAC2a，在直角梯形ABDE中，AB2a，M是AB的中点，所以DE3a，EM，MD a，得EMD是直角三角形，其中EMD90所以MF在RtCMF中，tanFCM=1，所以FCM=45，故CM与平面CDE所成的角是45方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），C（2 a，0，a），A（0，2 a，2 a），A（a，a，0）.（1）证明：因为=（-a，a，-a），=（a，a，0），所以=0，故.（2）解：设向量n=（1，）与平面CDE垂直，则，即 =0，=0.因为=（2a,0,a）, =(0,2a,2a),所以y=2，z=-2，即n=（1，2，-2），直线CM与平面CDE所称的角是45.5. 方法一：DABEFCHG（）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面，所以平面（）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，DABEFCyzx又因为，所以，从而于是因为，所以当为时，二面角的大小为方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面（）解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为6. 方法一： （）解：取线段EF的中点H，连结因为及H是EF的中点，所以又因为平面平面BEF，及平面所以平面BEF。如图建立空间直角坐标系则故设为平面的一个法向量所以取又平面BEF的一个法向量故所以二面角的余弦值为 （）解：设因为翻折后，C与A重合，所以CM=故，得经检验，此时点N在线段BG上所以方法二： （）解：取截段EF的中点H，AF的中点G，连结，NH，GH因为及H是EF的中点，所以H/EF。又因为平面EF平面BEF，所以H平面BEF，又平面BEF，故，又因为G，H是AF，EF的中点，易知GH/AB，所以GH，于是面GH所以为二面角DFC的平面角，在中，所以故二面角DFC的余弦值为。 （）解：设，因为翻折后，G与重合，所以，而得经检验，此时点N在线段BC上，所以7. 解：（）证： ABAC，D为BC的中点，BCAD PO平面ABC POBC，而POAD=OBC平面ADP APBC（）当CMAP时，二面角A-MC-B为直二面角，AM平面MBC平面AMC平面MBC方法二：8. （）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以 又因为平面，所以 平面（）方法一： 连结交于，以为原点，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示 在菱形中，得 ， 又因为平面，所以 在直角中，得 ， 由此知各点坐标如下， ， ， ， ， 设为平面的法向量 由，知 取，得 设为平面的法向量 由，知 取，得 于是 所以二面角的平面角的余弦值为 方法二： 在菱形中，得 ， 有因为平面，所以 ， 所以 所以 而，分别是，的中点，所以 ，且 取线段的中点，连结，则 ， 所以为二面角的平面角 由，故 在中，得 在直角中，得 ， 在中，得 在等腰中，得 在中，得 所以二面角的平面角的余弦值为9. 方法一：（）取中点，在线段上取点，使得，连结， 因为，所以，且 因为，分别为，的中点，所以是的中位线，所以，且又点是的中点，所以，且从而，且所以四边形为平行四边形，故又平面，平面，所以平面（）作于点，作于点，连结 因为平面，平面，所以， 又，故平面，又平面，所以 又，故平面，所以， 所以为二面角的平面角，即 设 在中， ， 在中， 在中， 所以 从而，即方法二：（）如图，取中点，以为原点，所在射线为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系 由题意知， 设点的坐标为，因为，所以 因为是的中点，故又是的中点，故 所以 又平面的一个法向量为，故 又平面，所以平面（）设为平面的一个法向量由，知，取，得又平面的一个法向量为，于是 ，即 （1）又，所以，故，即 （2）联立（1），（2），解得（舍去）或H（第16题图）FACDEB所以又是锐角，所以10（1）因为，平面，平面， 所以平面， 3分又平面，平面平面，所以 6分（2）在平面内作于点， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，所以是三棱锥的高 9分在直角三角形中，所以，因为平面，平面，所以，又由（1）知，且，所以，所以，12分所以三棱锥的体积 14分11. 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系（第22题图）ABCA1B1C1则，所以，（1）因为，所以异面直线与夹角的余弦值为 4分（2）设平面的法向量为，则 即取平面的一个法向量为； 所以二面角平面角的余弦值为 10分12. （1）证明：因为，是的中点所以，又所以四边形是平行四边形，所以又因为等腰梯形，xzyACDBN所以 ，所以四边形是菱形，所以所以，即由已知可知 平面平面，因为 平面平面所以平面 4分（2）证明：因为， 所以平面平面又因为平面,所以 平面 8分（3）因为平面,同理平面，建立如图如示坐标系设，则, ，9分则，设平面的法向量为，有 ，得 设平面的法向量为，有 得 12分所以 13分由图形可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为 14分13. （I）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 即QBAD又平面PAD平面ABCD 且平面PAD平面ABCD=AD， BQ平面PAD BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 5分（II）PA=PD，Q为AD的中点， PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；， 设，则， 7分 ， 10分在平面MBQ中， 平面MBQ法向量为 二面角M-BQ-C为30， ， 14分14. 20解：（）证明：，且，且； 1分 又由，可知，是等腰三角形，且，即； 3分 底面ABCD于D，平面ABCD， 4分 平面DBF.又平面DBF，可得. 6分 （）解：如图，以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x、y、z轴建系.可得， 8分 B20题解答又 N恰好为BF的中点， . 9分 设，.又，可得.故M为线段CE的中点. 11分 设平面BMF的一个法向量为，且，由可得，取得. 13分 又平面MFC的一个法向量为， 14分 .故所求二面角B-MF-C的余弦值为. 15分