浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目及答案).doc

1.（本题满分15分）如图，平面⊥平面，是以为斜边的等腰直角三角形。分别为的中点，。
（I） 设是的中点，证明：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）证明：在内存在一点，使⊥平面，并求点到,的距离。

2.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，
（Ⅰ）试确定m，使得直线AP与平面BDB1D1所成角的正切值为；
（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。

3. 如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。
（I）求证BC⊥平面AFG；
（II）求二面角B－AE－D的余弦值．

.

4在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点．
（1）求证：；
（2）求CM与平面CDE所成的角

D
A
B
E
F
C
（第18题）
5. 如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？

6. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=沿直线EF将翻折成使平面平面BEF.
（I）求二面角的余弦值；
（II）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C
与重合，求线段FM的长.

7. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

8. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的菱形，
∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=, M，N分别为PB,PD的中点。
（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。

9. 如图，在四面体中，平面，
，，．是的中点，是的中
点，点在线段上，且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求的大小．

10. （第16题图）
F
A
C
D
E
B
如图，在五面体中，已知平面，，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

11. 如图，在直三棱柱中，已知，，．
（第22题图）
A
B
C
A1
B1
C1
（1）求异面直线与夹角的余弦值；
（2）求二面角平面角的余弦值．

A
C
D
B
N

12(本小题14分)在等腰梯形中，，，，是的中点．将梯形绕旋转，得到梯形（如图）．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．

P
A
B
C
D
Q
M
13. （本题满分14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（I）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（II）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，
试确定t的值
14．如图，直角梯形ABCD中，AB//CD， = 90° , BC = CD = ,AD = BD：EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.
(I )求证：AD丄BF :
(II )若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角 B-MF-C的余弦值.

1.证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面
（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2. 解法１：（１）

故。所以。
又.
故
在△，即.
故当时，直线。
（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.
可推测的中点即为所求的点。
因为，所以
又,故。
从而

解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,00),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),
D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
所以

又由的一个法向量.
设与所成的角为，
则
依题意有：，解得.
故当时，直线。
（２）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，
则。
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于

即为的中点时，满足题设的要求.

3. (Ⅰ) 在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．……………………………… 2分
在图乙中，因为DE⊥AFDE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．
又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．…………………………………………………… 4分
(Ⅱ) 因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，
所以FA，FD，FG两两垂直．
以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，所以，0)．…………………………………… 6分
设平面ABE的一个法向量为．
则，即，
取，则，，则．……………………………… 8分
显然为平面ADE的一个法向量，
所以．………………………………………………10分
二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．………12分
4. 方法一：
（1）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．
又EA ⊥平面ABC，所以CM⊥EM．
（2）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连结CH并延长交ED于点F，连结MF、MD，∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，所以MH⊥ED，
又因为CM⊥平面EDM，所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA＝a，BD＝BC＝AC＝2a，
在直角梯形ABDE中，AB＝2a，M是AB的中点，
所以DE＝3a，EM＝，MD＝ a，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD＝90°
所以MF＝．
在Rt△CMF中，tan∠FCM==1，所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．
方法二：
如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，则
A（2a，0，0）， B（0，2a，0）， C（2 a，0，a），
A（0，2 a，2 a）， A（a，a，0）.
（1）证明：因为=（-a，a，-a），=（a，a，0），
所以 ·=0，
故.
（2）解：设向量n=（1，，）与平面CDE垂直，
则，，
即 =0，0.
因为=（2a,0,a）, =(0,2a,2a),
所以y=2，z=-2，
即n=（1，2，-2），
，
直线CM与平面CDE所称的角是45°.
5. 方法一：
D
A
B
E
F
C
H
G
（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，
可得四边形为矩形，
又为矩形，
所以，从而四边形为平行四边形，
故．
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．
由平面平面，，得
平面，
从而．
所以为二面角的平面角．
在中，因为，，所以，．
D
A
B
E
F
C
y
z
x
又因为，所以，
从而．
于是．
因为，
所以当为时，二面角的大小为．
方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．
设，
则，，，，．
（Ⅰ）证明：，，，
所以，，从而，，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
故平面．
（Ⅱ）解：因为，，
所以，，从而

解得．
所以，．
设与平面垂直，
则，，
解得．
又因为平面，，
所以，
得到．
所以当为时，二面角的大小为．

6. 方法一：
（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结
因为及H是EF的中点，
所以
又因为平面平面BEF，及平面
所以平面BEF。

如图建立空间直角坐标系
则
故
设为平面的一个法向量
所以
取
又平面BEF的一个法向量
故
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）解：设
因为翻折后，C与A重合，所以CM=
故，
得
经检验，此时点N在线段BG上
所以
方法二：
（Ⅰ）解：取截段EF的中点H，AF的中点G，连结，NH，GH
因为及H是EF的中点，
所以H//EF。
又因为平面EF平面BEF，
所以H`平面BEF，
又平面BEF，
故，
又因为G，H是AF，EF的中点，
易知GH//AB，
所以GH，
于是面GH
所以为二面角—DF—C的平面角，
在中，
所以
故二面角—DF—C的余弦值为。
（Ⅱ）解：设，
因为翻折后，G与重合，
所以，
而

得
经检验，此时点N在线段BC上，
所以
7. 解：（Ⅰ）证： AB＝AC，D为BC的中点，BC⊥AD
PO⊥平面ABC PO⊥BC，而PO∩AD=OBC⊥平面ADP AP⊥BC
（Ⅱ）当CM⊥AP时，二面角A-MC-B为直二面角，
，，，
AM⊥平面MBC平面AMC⊥平面MBC

方法二：

8. （Ⅰ）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以

又因为平面，所以
平面．
（Ⅱ）方法一：
连结交于，以为原点，，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示
在菱形中，，得
，．
又因为平面，所以
．
在直角中，，，，得
，．
由此知各点坐标如下，
，，
，，
，，
，．
设为平面的法向量．
由，知

取，得

设为平面的法向量．
由，知

取，得

于是
．
所以二面角的平面角的余弦值为．
方法二：
在菱形中，，得
，，
有因为平面，所以
，，，
所以．
所以．
而，分别是，的中点，所以
，且．
取线段的中点，连结，，则
，，
所以为二面角的平面角．
由，，故
在中，，，得
．
在直角中，，得
，，，
在中，，得
．
在等腰中，，，得
．
在中，，，，得
．
所以二面角的平面角的余弦值为．
9. 方法一：
（Ⅰ）取中点，在线段上取点，使得，连结，，
因为，所以，且．
因为，分别为，的中点，所以是的中位线，
所以，且．
又点是的中点，所以，且．
从而，且．
所以四边形为平行四边形，故
又平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）作于点，作于点，连结
因为平面，平面，所以，
又，，故平面，
又平面，所以．
又，，故平面，所以，．
所以为二面角的平面角，即．
设．
在中，，
，
．
在中，．
在中，．
所以．
从而，即．
方法二：
（Ⅰ）如图，取中点，以为原点，，
所在射线为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
由题意知，，．
设点的坐标为，因为，所以．
因为是的中点，故．又是的中点，故．
所以．
又平面的一个法向量为，故．
又平面，所以平面．
（Ⅱ）设为平面的一个法向量．
由，知，
取，得．
又平面的一个法向量为，于是
，
即． （1）
又，所以，故，
即． （2）
联立（1），（2），解得（舍去）或．
H
（第16题图）
F
A
C
D
E
B
所以．
又是锐角，所以．
10（1）因为，平面，平面，
所以平面， ………………………………3分
又平面，平面平面，
所以． ………………………………6分
（2）在平面内作于点，
因为平面，平面，所以，
又，平面，，
所以平面，
所以是三棱锥的高． ………………9分
在直角三角形中，，，所以，
因为平面，平面，所以，
又由（1）知，，且，所以，所以，……12分
所以三棱锥的体积． ……14分
11. 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．

（第22题图）
A
B
C
A1
B1
C1
则，，，，所以，，
，．
（1）因为，
所以异面直线与夹角的余弦值为．
…………………………4分
（2）设平面的法向量为，
则 即
取平面的一个法向量为；

所以二面角平面角的余弦值为． …………………………10分
12. （1）证明：因为，是的中点
所以，又
所以四边形是平行四边形，所以
又因为等腰梯形，，
x
z
y
A
C
D
B
N

所以 ，所以四边形是菱形，所以
所以，即
由已知可知 平面平面，
因为 平面平面
所以平面 ……………………4分
（2）证明：因为，，

所以平面平面
又因为平面,所以 平面 ………………8分
（3）因为平面,同理平面，建立如图如示坐标系
设，
则,, ，，…………………9分
则，
设平面的法向量为，有 ，得
设平面的法向量为，有
得 ………………12分
所以 ………………13分
由图形可知二面角为钝角
所以二面角的余弦值为． …………………14分
13. （I）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………5分
（II）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为；，，
，．
设，则，，
∵， …………7分
∴ ， ∴ ……………………10分

在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量为．
∵二面角M-BQ-C为30°， ，
∴ ． ……………………14分
14. 20．解：（Ⅰ）证明：∵，且，
∴且； …1分
又由，可知
∵，∴是等腰三角形，且，
∴，即； …3分
∵底面ABCD于D，平面ABCD，∴， …4分
∴平面DBF.又∵平面DBF，∴可得. …6分
Ⅱ）解：如图，以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x、y、z轴建系.
可得， …8分
B
20题解答
又∵ N恰好为BF的中点，∴ . …9分
设，∴.
又∵，∴可得.
故M为线段CE的中点. …11分
设平面BMF的一个法向量为，
且，
，由可得，
取得. …13分
又∵平面MFC的一个法向量为， …14分
∴.
故所求二面角B-MF-C的余弦值为. …15分