全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数专项训练.docx

(名师选题)全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数专项训练

单选题
1、方程log2x=log42x+3的解为（    ）
A．-1B．1
C．3D．-1或3
答案：C
分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.
∵log2x=log42x+3=12log22x+3=log22x+3，∴x>02x+3>0x=2x+3，解得：x=3.
故选：C.
2、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（1010≈1.259）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
答案：C
分析：根据L,V关系，当L=4.9时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解.
由L=5+lgV，当L=4.9时，lgV=-0.1，
则V=10-0.1=10-110=11010≈11.259≈0.8.
故选：C.
3、log318-log32=（    ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
解析：利用对数的运算性质计算即可得答案.
log318-log32=log3182=log39=2.
故选：B.
4、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog21+SN.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）附：lg2≈0.3010
A．10%B．20%C．50%D．100%
答案：B
分析：根据题意，计算出log24000log21000的值即可；
当SN=1000时，C=Wlog21000，当SN=4000时，C=Wlog24000，
因为log24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2
所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了20%，
故选：B.
小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.
5、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为55，33，2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（    ）
A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学
答案：C
分析：判断出55，33，2的大小关系即可得出答案.
5510=52=25，210=25=32．∵25<32．∴55<2．
又∵336=33=9，26=23=8，∴33>2．
∴有55<2<33．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
6、下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）
A．y=1与y=x0B．y=x与y=x2
C．y=2log2x与y=log2x2D．y=ln1+x1-x与y=ln1+x-ln1-x
答案：D
分析：分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.
对于A：y=1定义域为R，y=x0定义域为x|x≠0，定义域不同不是同一个函数，故选项A不正确；
对于B：y=x定义域为R，y=x2的定义域为x|x≥0，定义域不同不是同一个函数，故选项B不正确；
对于C：y=2log2x的定义域为x|x>0，y=log2x2定义域为x|x≠0，定义域不同不是同一个函数，故选项C不正确；
对于D：由1+x1-x>0可得x+1x-1<0，解得：-1<x<1，所以y=ln1+x1-x的定义域为x|-1<x<1，由1+x>01-x>0可得-1<x<1，所以函数y=ln1+x-ln1-x的定义域为x|-1<x<1且y=ln1+x-ln1-x=ln1+x1-x，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D正确，
故选：D.
7、已知0<a<1,b<-1，则函数y=ax+b的图像必定不经过（    ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：A
解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.
因为0<a<1，故y=ax的图象经过第一象限和第二象限，
且当x越来越大时，图象与x轴无限接近.
因为b<-1，故y=ax的图象向下平移超过一个单位，故y=ax+b的图象不过第一象限.
故选：A．
8、计算：2lg5-lg4-12=（    ）
A．10B．1C．2D．lg5
答案：B
分析：应用对数的运算性质求值即可.
2lg5-lg4-12=lg(5)2+lg4=lg5+lg2=lg10=1.
故选：B
9、已知y1=13x，y2=3x，y3=10-x，y4=10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.
y2=3x与y4=10x是增函数，y1=13x与y3=10-x=110x是减函数，在第一象限内作直线x=1，

该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．
故选：A
10、下列式子的互化正确的是（    ）
A．6y2=y13y<0B．x-13=-3xx≠0
C．x-54=41x5x>0D．-x=-x12x>0
答案：C
解析：根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析.
根据分数指数幂的运算可知，
6y2=|y|13=-y13(y<0)，x-13=13xx≠0，x-54=41x5x>0，-x=-x12x>0，
故选：C
11、若函数y=m2-m-1⋅mx是指数函数，则m等于（    ）
A．-1或2B．-1
C．2D．12
答案：C
分析：根据题意可得出关于实数m的等式与不等式，即可解得实数m的值.
由题意可得m2-m-1=1m>0m≠1，解得m=2.
故选：C.
12、已知函数fx=logax-b（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）

A．a>0，b<-1B．a>0，-1<b<0
C．0<a<1，b<-1D．0<a<1，-1<b<0
答案：D
分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.
因为函数fx=logax-b为减函数，所以0<a<1
又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=1+b>0，即b>-1
又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以-1<b<0，
故选：D
填空题
13、函数f（x）＝3x-3-x3x+3-x+2，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.
答案：（1，＋∞）
分析：构造函数F（x）＝f（x）－2，则f（a）＋f（a－2）＞4等价于F（a）＋F（a－2）＞0，分析F(x)奇偶性和单调性即可求解.
设F（x）＝f（x）－2，则F（x）＝3x-3-x3x+3-x，易知F（x）是奇函数，F（x）＝3x-3-x3x+3-x＝32x-132x+1＝1－232x+1在R上是增函数，
由f（a）＋f（a－2）＞4得F（a）＋F（a－2）＞0，
于是可得F（a）＞F（2－a），即a＞2－a，解得a＞1.
（1，＋∞）
14、已知lg2=a，10b=3，用a、b表示log56=______．
答案：a+b1-a
分析：根据给定条件用常用对数表示b，再利用换底公式及对数运算法则计算作答.
因10b=3，则lg3=b，而lg2=a，
所以log56=lg6lg5=lg2+lg31-lg2=a+b1-a.
所以答案是：a+b1-a
15、log23-log83log32+log92=______．（用数字作答）
答案：1
分析：利用对数换底公式及性质计算作答.
log23-log83log32+log92=(log23-log23log28)(log32+log32log39)
=(log23-13log23)(log32+12log32)=23log23×32log32=1.
所以答案是：1
16、设实数x满足logx4-log2x=1，则x=________．
答案：14或2
分析：结合对数的换底公式整理得(log2x)2+log2x-2=0，求出log2x，结合对数和指数式的互化即可求出x.
由于logx4=2logx2=2log2x，所以原式转化为2log2x-log2x=1，
即(log2x)2+log2x-2=0，解得log2x=-2或log2x=1，所以x=14或x=2．
故答案为: 14或2.
17、已知fx=2-x-1,-1<x≤0fx-1+1,x>0，则函数gx=fx-3+14x-32零点的个数为___________.
答案：4
分析：函数gx=fx-3+14x-32零点的个数可转化为函数fx=2-x-1,-1<x≤0fx-1+1,x>0与函数y=-14x-32+3的图像交点个数，画出两个函数图像观察交点个数即可.
解：对于函数fx=2-x-1,-1<x≤0fx-1+1,x>0，
当-1<x≤0时，fx=2-x-1，
当0<x≤1时，fx=fx-1+1=2-x+1-1+1=2-x+1
当1<x≤2时，fx=fx-1+1=2-x+2+1，
当2<x≤3时，fx=fx-1+1=2-x+3+2，
当3<x≤4时，fx=fx-1+1=2-x+4+3，
⋯⋯⋯⋯，
函数gx=fx-3+14x-32零点的个数可转化为函数fx=2-x-1,-1<x≤0fx-1+1,x>0与函数y=-14x-32+3的图像交点个数，
在同一个直角坐标系中画出两个函数图像如图：

观察图像可得：两个函数有4个交点，即函数gx=fx-3+14x-32零点的个数为4.
所以答案是：4.
小提示：关键点点睛：本题主要考察零点个数问题，我们可以把零点个数问题转化为函数图像的交点个数，这里准确的画出函数图像是关键。另外本题函数fx=2-x-1,-1<x≤0fx-1+1,x>0中带有fx=fx-1+1结构，这里需要分类讨论求函数在不同区间上的解析式，并及时发现规律，可使问题变简单.
解答题
18、（1）证明对数换底公式：logbN=logaNlogab（其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，N>0）
（2）已知log32=m，试用m表示log3218.
答案：（1）证明见解析；（2）log3218=2+m5m.
分析：（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.
（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
（1）设logbN=x，写成指数式bx=N.
两边取以a为底的对数，得xlogab=logaN.
因为b>0，b≠1，logab≠0，因此上式两边可除以logab，得x=logaNlogab.
所以，logbN=logaNlogab.
（2）log3218=log318log332=log332+log32log325=2+log325log32=2+m5m.
小提示：本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.
19、计算：
(1)lg14-2lg73+lg7-lg18；
(2)log535+2log52-log515-log514；
(3)12lg3249-43lg8+lg245.
答案：(1)0
(2)2
(3)12
分析：直接利用对数的运算性质进行运算即可.
(1)
原式=lg2×7-2lg7-lg3+lg7-lg32×2
=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.
(2)
原式=log535+log52-log515-log514=log535×215×14=log535014=log525=2.
(3)
原式=125lg2-2lg7-43×32lg2+122lg7+lg5
=52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5=12lg2+12lg5=12lg2+lg5=12lg10=12.
20、已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
答案：(1)见解析；
(2)12﹒
分析：(1)由对数函数的性质，得函数的定义域{x|-3<x<1}，再由f(x)=loga(1-x)(x+3)，能求出函数f(x)的值域．
(2)由题设知：当0<a<1时，函数有最小值，由此能求a的值．
（1）由1-x>0x+3>0，得-3<x<1，
∴函数的定义域{x|-3<x<1}，
f(x)=loga(1-x)(x+3)，
设t=(1-x)(x+3)=4-(x+1)2，
∴t⩽4，又t>0，
则0<t⩽4．
当a>1时，y⩽loga4，值域为{y|y⩽loga4}．
当0<a<1时，y⩾loga4，值域为{y|y⩾loga4}．
（2）由题设及(1)知：
当0<a<1时，函数有最小值，
∴loga4=-2，
解得a=12．