2019届年江西省九江市高三第三次高考模拟数学(理)试题(解析版).doc

2019届年江西省九江市高三第三次高考模拟数学（理）试题

一、单选题
1．已知复数是纯虚数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据复数除法运算化简，根据纯虚数定义求得.
【详解】
是纯虚数
，解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查纯虚数的定义，关键是利用复数的除法运算进行化简，属于基础题.
2．已知集合，，则( 　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】化简集合，，由集合之间的关系得答案.
【详解】
集合，
集合，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了集合的运算和集合之间的关系，也考查了不等式的解法，属于基础题.
3．若向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由平面向量数量积的坐标运算及二倍角公式可得：tan15°＝＝4即可．
【详解】
向量，，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算及二倍角正弦公式，也考查了三角函数的诱导公式，属于基础题．
4．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 ，则展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【详解】
在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，
令，得各项系数和为，二项式系数和为，，得，
故展开式的通项公式：，
令6﹣2r＝0，求得，可得展开式中常数项为：.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
5．在平面直角坐标系中，已知双曲线()的右顶点为，右焦点为，过点分别作的一条渐近线的垂线，垂足为，若和的面积比为，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意画出图形，利用已知条件结合三角形相似可得c＝，则曲线的渐近线方程可求．
【详解】
由题意可得，如图所示：

过点分别作的一条渐近线的垂线，垂足为，得，
且和的面积比为，得相似比为，即，
又a2+b2＝c2，联立可得a＝b．∴曲线的渐近线方程为．
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质和三角形相似性质的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．
6．已知某公司生产的一种产品的质量(单位：千克)服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取件产品，其中质量在区间内的产品估计有( )
附:若，则，.
A.件 B.件 C.件 D.件
【答案】A
【解析】产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64），得μ＝90，＝8，P（82≤X＜106）＝P（μ﹣≤X＜μ+2），代入计算即可．
【详解】
依题意，产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64），得，
，
质量在区间内的产品估计有件.
故选：A.
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的对称性，属于基础题．
7．如图1，已知正方体的棱长为，为棱的中点，分别是线段，，上的点，若三棱锥的俯视图如图2，则三棱锥的体积最大值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】通过俯视图可确定M，Q为所在棱中点，由线面关系可确定当N与C重合时，N到平面PQM的距离最大．由截面图形ACC1A1中的线线关系可知CE，再求出三角形PQM的面积，代入棱锥体积公式求解．
【详解】
由俯视图知，M为A1D1的中点，Q为A1B1的中点，N为CC1上任意一点，
如图1所示：由中位线可知：PQ∥AB1，MP∥AD1，且，，
∴平面PMQ∥平面AB1D1，由正方体中线面关系可知：A1C⊥平面AB1D1，∴A1C⊥平面PMQ，
∴当N与C重合，点N到平面PMQ的距离最大，截面ACC1A1如图2所示，其中平面ACC1A1∩平面PMQ＝PS，
平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AT，则，∴CE＝，
又A1C＝，∴最大值为CE＝A1C＝＝．
又，∴三棱锥P﹣MNQ的体积最大值为．
故选：D．
图1 图2
【点睛】
本题考查立体几何中点到面的距离问题的求解，涉及到三视图、面面平行和线面垂直的知识，关键是能够通过垂直关系确定最大值取得的点，属于中档题．
8．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论（素数即质数，）.根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入的值为，则输出的值应属于区间（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由流程图可知其作用为统计以内素数的个数，将代入可求得近似值，从而得到结果.
【详解】
该流程图是统计以内素数的个数
由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为
则以内的素数个数为
本题正确选项：
【点睛】
本题考查判断新定义运算的问题，关键是能够明确流程图的具体作用.
9．已知定义在上的函数满足：①对任意，存在正常数，都有成立；②的值域为()，则函数是（ ）
A.周期为2的周期函数 B.周期为4的周期函数
C.奇函数 D.偶函数
【答案】B
【解析】根据题意，可得f（x+4t）＝﹣f（x+2t）＝f（x），结合函数的值域可得，解得t＝1，则有f（x+4）＝f（x），据此分析可得答案．
【详解】
根据题意，定义在上的函数f（x）满足对任意的实数x，存在正常数t，都有f（x+2t）＝﹣tf（x）成立，
由的值域为()，
得﹣a≤f（x）≤a，则有﹣at≤f（x+2t）≤at，则有，解可得t＝1；
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
则有f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数；
故选：B．
【点睛】
本题考查函数周期性的判断，涉及函数的值域等问题，属于基础题．
10．若将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用辅助角化简，结合函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，即可求解.
【详解】
函数，
其中cosθ＝，sinθ＝，函数的图象向左平移φ个单位，
即y＝sin（x+φ﹣θ）＝g（x），而函数，
∴，，∴，
那么.
故选：C．
【点睛】
本题考查了辅助角化简能力和应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.
11．已知抛物线的焦点为为抛物线的准线上一点，线段分别交轴和抛物线于点.若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据可求得，代入抛物线方程得；利用得到所求斜率.
【详解】
由，为抛物线的准线上一点得：，

又
直线的斜率为
本题正确选项：
【点睛】
本题考查抛物线性质的应用问题，关键是能够利用向量关系用表示出点的坐标.
12．已知函数（为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是（ ）（参考数据：，，）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】求导，判断的单调性，进而求出的值域，判断最大值的正负性，令，显然知道的取值范围，，利用的单调性，结合已知与的值域相同，可以得到，构造函数，，求导，判断单调性，再判断的正负性，结合单调性，最后求出的最小值.
【详解】
，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故，又当，所以函数的值域为，令
因此是单调递增函数，因此当时，
，令由上可知：，
，由上可知函数在时，单调递增，在时，单调递减，要想的值域为，只需，即，设，，，所以当时，函数单调递增，，
，所以的最小值是5，故本题选A.
【点睛】
本题考查了两函数值域相同时，求参问题，求出每个函数的单调性，结合一个函数的值域情况，确定参数的取值范围是解题的关键.

二、填空题
13．已知向量的夹角为，且，，则__________．
【答案】
【解析】利用数量积定义求解出，利用求解出结果.
【详解】

【点睛】
本题考查向量的模的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和夹角的运算问题.
14．已知不等式组表示的平面区域为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得|x﹣2y|max，即可得出实数t的取值范围．
【详解】
画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示：

由图形知，点B到直线x﹣2y＝0的距离最大，由，解得B（3，4），
所以|x﹣2y|max＝，所以不等式|x﹣2y|≤t恒成立时，实数t的取值范围是t≥5．
故答案为：[5，+∞）．
【点睛】
本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及简单应用问题，属于基础题．
15．已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为，则该圆锥外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】根据轴截面可求得圆锥底面半径和高，根据勾股定理构造出关于外接球半径的方程，解出后代入球的表面积公式可求得结果.
【详解】
依题意得，圆锥底面半径，高
设圆锥外接球半径为，则
即，解得：
外接球的表面积为
本题正确结果：
【点睛】
本题考查圆锥的外接球表面积求解问题，属于基础题.
16．在中，为的重心，，，则面积的最大值为____
【答案】
【解析】利用重心的性质和余弦定理，求出BG、AG，计算△ABC的面积，求出最大值即可.
【详解】
设D为BC的中点，DG＝x，由重心性质得，AG＝2x，
BG＝AG＝x；设∠BGD＝θ，则由余弦定理得，4＝2x2+x2﹣2•x2•cosθ，
∴cosθ＝；又S△BDG＝•x•x•sinθ＝x2sinθ；
∴＝＝﹣（x4﹣24x2+16），
当x2＝12时，取得最大值为288；则△ABC面积的最大值为12．
故答案为：12
【点睛】
本题考查了三角形重心性质和余弦定理的应用问题，也考查了运算与求解能力，属于中档题．

三、解答题
17．已知数列的前项和为，且满足，().
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)
【解析】（Ⅰ）首先利用数列的递推关系式求出相邻项之间的关系，进一步利用累乘法求出数列的通项公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【详解】
（Ⅰ）已知数列的前项和为，且满足，().
当时，，，，.
所以，故，两式相减得，
，，
所以，．
（Ⅱ）由于，所以＝．
.
【点睛】
本题考查了数列的通项公式求法及应用，累乘法的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．
18．如图所示，在三棱锥中，，，，，.

(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)为棱上一点，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) 为棱的中点
【解析】（Ⅰ）由余弦定理得AC＝，由勾股定理得PA⊥AC，由PA⊥BC，得PA⊥平面ABC，由此能证明平面ABC⊥平面PAC．
（Ⅱ）设BC的中点为D，连结AD，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出E为棱AC的中点．
【详解】
(Ⅰ)在中，由余弦定理得
，即，
又，，，，
又，，平面，平面，
平面，平面平面.
(Ⅱ)设的中点为，连接，，，又，.
如图所示，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
则，，，
，，，，
设()，则
设平面的法向量为，则，令，可得，
，设直线与平面所成角为，
则，
整理得，，，为棱的中点.

【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查点为线段的中点的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
19．已知椭圆()的左右焦点分别为，为椭圆上位于轴同侧的两点，的周长为，的最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若，求四边形面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)
【解析】（Ⅰ）由题意得2a+2c＝6，即a+c＝3，再由当A为椭圆C的上下顶点时，∠F1AF2的最大值为，此时△AF1F2为等边三角形，得a＝2c，结合隐含条件联立解得a，b的值，则可求椭圆方程；
（Ⅱ）由，得，延长交椭圆C于点，由（Ⅰ）知，，设，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求得四边形的面积S，再由换元法及函数的单调性求解．
【详解】
(Ⅰ)的周长为，，即.①
当为椭圆的上下顶点时，最大为，此时为等边三角形，.②
由①②及，解得，，，
椭圆的方程为；
(Ⅱ)， ，延长交椭圆于点，
由(Ⅰ)知，，设，，直线的方程为，
联立方程，消去并整理得，
，，设与的距离为，
则四边形面积，
，
令，则，，函数在上单调递减，
，故四边形面积的取值范围是.

【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题．
20．2019年某饮料公司计划从两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.

从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在的受访者中有会购买，评分在的受访者中有会购买，评分在的受访者中有会购买.
(Ⅰ)在受访的100万人中，求对款饮料评分在60分以下的人数（单位:万人）；
(Ⅱ)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买款饮料的可能性高于购买款饮料的可能性的概率；
(Ⅲ)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由.
【答案】(Ⅰ)20万人； (Ⅱ) ；(Ⅲ) 主推款饮料，理由见解析
【解析】（Ⅰ）由对A㰪饮料的评分饼状图，得到对A款饮料评分在60分以下的频率为0.2，由此对A款饮料评分在60分以下的人数；
（Ⅱ）设受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性为事件C，记购买A款饮料的可能性为20%为事件A1，购买A款饮料的可能性为60%为事件A2，购买A款饮料的可能性为90%为事件B1，由此能求出该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率；
（Ⅲ）从受访者对A，B两款饮料的购买期望角度分别求出A款饮料购买期望X的分布列和B方案“选择倾向指数”Y的分布列，由此能求出新品推介应该主推B款饮料．
【详解】
(Ⅰ)由对款饮料的评分饼状图，得对款饮料评分在60分以下的频率为为，
对款饮料评分在60分以下的人数为（万人）
(Ⅱ)设受访者购买款饮料的可能性高于购买款饮料的可能性为事件.
记购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件.购买款饮料的可能性为为事件.
则，，，
由用频率估计概率得：，，
事件与相互独立，其中.

该受访者购买款饮料的可能性高于购买款饮料的可能性的概率为 ；
(Ⅲ)从受访者对，两款饮料购买期望角度看：款饮料购买期望的分布列为：

0.2
0.6
0.9

方案“选择倾向指数”的分布列为：

0.2
0.6
0.9

，，
根据上述期望可知，故新品推介应该主推款饮料.
【点睛】
本题考查频数、概率、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
21．已知函数()的导函数为.
(Ⅰ)当时，求的最小值；
(Ⅱ)若函数存在极值，试比较，，的大小，并说明理由.
【答案】(Ⅰ) 最小值为2； (Ⅱ) 见解析
【解析】（Ⅰ）先对求导，再令新函数，再求导，根据导数和函数最值的关系即可求出；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得m＞2，再分类讨论，比较em与me的大小，即比较m与elnm的大小，考察函数g（x）＝x﹣3lnx，利用导数与函数的单调性即可求出．
【详解】
(Ⅰ) ，令，则
在上单调递增，且，当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
当时，即，当且仅当时取等号，的最小值为2；
(Ⅱ)函数存在极值，在有实数解，由(Ⅰ)知，
又，，，即，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
下面比较与的大小，即比较与的大小，
考察函数()，，
当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，
，即，(当且仅当时取等号)
综上：当时，，当时，，当时，.
【点睛】
本题考查导数的运用：单调区间、极值和最值，考查大小比较，注意运用转化思想转化为求函数的最值问题，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
22．在极坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的方程为．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．
（1）求曲线，的直角坐标方程；
（2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于，两点，求的值．
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为；曲线的直角坐标方程为；（2）.
【解析】（1）根据，，即可化简两个极坐标方程，从而得到所求直角坐标方程；（2）根据的直角坐标方程可得其参数方程的标准形式，代入的直角坐标方程中，利用的几何意义，将所求问题变为求解，根据韦达定理得到结果.
【详解】
（1）由，得
曲线的直角坐标方程为
由，得
曲线的直角坐标方程为：
（2）由（1）知曲线为直线，倾斜角为，点的直角坐标为
直线的参数方程为（为参数）
代入曲线中，并整理得
设对应的参数分别为，则，

【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化、利用直线参数方程的几何意义求解线段之和或积的问题.解题关键是明确直线参数方程标准形式中所具有的几何意义，从而可利用韦达定理来解决.
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）采用绝对值的零点分段的方式，得在每一段的解析式，进而构造出不等式，求解不等式得到解集；（2）当时，显然成立；当时，采用绝对值的零点分段的方式，得到的解析式，从而可确定，验证与的值，均大于，故结论可证.
【详解】
（1）当时，由得
当时，，解得
当时，，解得
当时，，无实数解
故原不等式的解集为：
（2）当时，
当时，

又，
，即
综上，
【点睛】
本题考查分类讨论解绝对值不等式、不等式的证明问题，关键是能够采用零点分段的方式，去除绝对值符号，从而得到每一段的解析式.

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