高考数学新课直线和圆的方程教案(20).doc

课 题：7.6圆的方程（二）
教学目的：
1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；
3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；
4．渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新、勇于探索
教学重点：圆的一般方程的形式特征
教学难点：对圆的一般方程的认识 直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
遵循从特殊到一般的原则，在学习圆的标准方程的基础上，再过渡到学圆的一般也就不难，它们可以通过形式上的互相转化而解决 直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线） 由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F，对它的理解带来一定的困难，因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用 突破难点的关键是抓住一般方程的特点，把握住求圆的方程的两个基本要素：圆心坐标和半径
本节为第二课时讲解圆的一般方程
教学过程：
一、复习引入：
1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
2．求曲线方程的一般步骤为：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
3．建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程
4. 圆的标准方程 ：圆心为，半径为，
若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是
5．圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了 这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件 确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决
二、讲解新课：
圆的一般方程： 将圆的标准方程的展开式为：

取得
①
再将上方程配方，得
②
不难看出，此方程与圆的标准方程的关系
（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；
（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;
（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆
只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程
圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而 一般方程突出了方程形式上的特点：
（1）和的系数相同，且不等于0；
（2）没有这样的二次项
但要注意：以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条
看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数就可以了
三、讲解范例：
例1求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：
∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）.
或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)
例2 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出
解：在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合
即,
整理得：
所求曲线方程即为：
将其左边配方，得
∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示
例3求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程
解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为

则其圆心坐标为
∵所求圆的圆心在直线上，
∴
∴所求圆的方程为
说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程
例4 如图，已知定点A(2，0)，点Q是圆上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程
解：由三角形的内角平分线性质，得，∴.
设M、Q的坐标分别为、，则

∵Q在圆上，∴＝１，
∴
∴动点M的轨迹方程为
说明：注意三角形内角平分线性质的应用.
四、课堂练习：课堂练习
1.下列方程各表示什么图形？
（1）;
解：此方程表示一个点O（0，0）
（2）;
解：可化为:
∴此方程表示以点（1，-2）为圆心，为半径的圆
（3）
解：可化为：，
∴此方程表示以(-,0)为圆心，为半径的圆
2.求下列各圆的半径和圆的坐标：
(1) 答案：即，圆心为（3，0），半径为3
(2) 答案：即，圆心为（0，-b），半径为｜b|
（3）
答案：即，圆心为(, ),半径为｜｜
五、小结 ：
1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．方程表示一个圆的充要条件
3．与标准方程的互化
4．用待定系数法求圆的方程
5．圆与圆的位置关系
六、课后作业：
补充：若实数x、y满足等式 ，那么的最大值为( )
A. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
解：∵实数满足，
∵()是圆上的点，记为P，
∵是直线OP的斜率，记为
∴OP:,代入圆方程，消去，得
直线OP与圆有公共点的充要条件是≥0,
∴，所以，选Ｄ
七、板书设计（略）
八、课后记：