高考数学恒成立与能成立问题.doc

数学中的恒成立与能成立问题一、恒成立问题1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当时,不等式解集不为,故不满足题意;当时,要使原不等式解集为,只需,解得 综上,所求实数的取值范围为规律总结：不等式对一切恒成立或不等式对任意恒成立或2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足，而且，请解决下列问题（1） 求二次函数的解析式。（2） 若在区间上恒成立 ，求的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)设.由得,故. 即,所以,解得 (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最小值为.所以的取值范围是.规律总结：对一切恒成立,则;对一切恒成立,则；注意参数的端点值能否取到需检验。二、能成立问题3、方程的能成立问题例题3：题干与例题2相同（1） 同例题2.（2）若在区间上恒成立 ，求的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最大值为，最小值为，所以的取值范围是。规律总结：若方程在某个区间上有解只需求出在区间上的值域A使。4、不等式的能成立问题例题4题干与例题2相同（1） 同例题2.（2） 若在区间上有解 ，求的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知在有解,即在有解令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是。.规律总结：在区间内有解,则;在区间内有解,则；注意参数的端点值能否取到需检验。强化练习.1不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_解析：不等式对一切R恒成立, 即 对一切R恒成立若=0,显然不成立若0，则 2.若不等式x2ax10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是（ ）A0 B 2 C- D-3解析：设f（x）x2ax1，则对称轴为x,若，即a1时，则f（x）在0，上是减函数，应有f（）0x1若0，即a0时，则f（x）在0，上是增函数，应有f（0）10恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0 综上，有a,故选C 高考真题再现：1.(07上海)已知函数若在区间是增函数，求实数的取值范围。解： ，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，故当时，在区间是增函数。2. （07重庆理）已知函数在处取得极值，其中为常数（）试确定的值；（）讨论函数的单调区间；（）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.解：（I）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需解得或所以的取值范围为3.（2009江西卷文）设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 解析：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.4.（2009宁夏海南卷文）已知函数.(1) 设，求函数的极值；(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.解析：（）当a=1时，对函数求导数，得21世纪教育网 令 列表讨论的变化情况：（-1，3）3+00+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是（）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而 上的最小值是最大值是由于是有 由所以 若a1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是 5.（08湖北卷理）若上是减函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 解析：题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故为正确答案6