1、
数学中的恒成立与能成立问题
一、恒成立问题
1、由二次函数的性质求参数的取值范围
例题1.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
解题思路：结合二次函数的图象求解
解析：当时,不等式解集不为,故不满足题意;
当时,要使原不等式解集为,只需,解得
综上,所求实数的取值范围为
规律总结：
不等式对一切恒成立或
不等式对任意恒成立或
2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围
例题2：已知二次函数满足，而且，请解决下列问题
（1） 求二次函数的解析式。
（2） 若在区间上恒成立 ，求的取值范围。
解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.
解析
2、1)设.由得,故.
∵ ∴
即,所以,解得 ∴
(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.
令,则在上单调递减.所以在上的最小值为.所以的取值范围是.
规律总结：
对一切恒成立,则;对一切恒成立,则；注意参数的端点值能否取到需检验。
二、能成立问题
3、方程的能成立问题
例题3：题干与例题2相同
（1） 同例题2.
（2）若在区间上恒成立 ，求的取值范围。
解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围.
解析：(1)解法同例题2
(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.
令,则在上单调递减.所以在上的最大值为，最小值为，所以的取值范围是。
规律总结：
3、若方程在某个区间上有解只需求出在区间上的值域A使。
4、不等式的能成立问题
例题4题干与例题2相同
（1） 同例题2.
（2） 若在区间上有解 ，求的取值范围。
解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.
解析：(1)解法同例题2
(2)由(1)知在有解,即在有解
令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是。.
规律总结：
在区间内有解,则;在区间内有解,则；注意参数的端点值能否取到需检验。
强化练习
.1不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_______．
[解析]：不等式对一切R恒成立,
即 对一切R恒成立
若=0,显然不成
4、立
若0，则 ∴
2.若不等式x2＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，）成立，则a的取值范围是（ ）
A．0 B． –2 C．- D．-3
解析：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝,若³，即a£－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）³0Þ－£x£－1
若£0，即a³0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1>0恒成立，故a³0
若0££，即－1£a£0，则应有f（）＝恒成立，故－1£a£0． 综上，有－£a,故选C ．
高考真题再现：
1.(07上海)已知函数若在区间是增函数，求实数的取值范围。
解
5、 ，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，
故当时，在区间是增函数。
2. （07重庆理）已知函数在处取得极值，其中为常数．
（Ⅰ）试确定的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
.解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需解得或．
所以的取值范围为
3.（2009江西卷文）设
6、函数．
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
解析：(1) ,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值为
(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
4.（2009宁夏海南卷文）已知函数.
(1) 设，求函数的极值；
(2) 若，且当时，12a恒成立，试确
7、定的取值范围.
解析：（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得21世纪教育网
令
列表讨论的变化情况：
（-1，3）
3
+
0
—
0
+
极大值6
极小值-26
所以，的极大值是，极小值是
（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.
若上是增函数，从而
上的最小值是最大值是
由于是有
由
所以
若a>1,则不恒成立.
所以使恒成立的a的取值范围是
5.（08湖北卷理）若上是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解析：题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．
6
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