微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法.doc

四川师范大学本科毕业论文

微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法

学生姓名
XXX
院系名称
数学与软件科学学院
专业名称
信息与计算科学
班 级
2006级 4 班
学 号
20060640XX
指导教师
Xxx

四川师范大学教务处
二○一○年五月

微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法

学生姓名：xxx 指导教师：xx

【内容摘要】微分方程是最有生命力的数学分支，在自然科学的许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具，利用计算机解微分方程主要使用数值方法，欧拉方法和龙格——库塔方法是求解微分方程最典型常用的数值方法。本文详细研究了这两类数值计算方法的构造过程，分析了它们的优缺点，以及它们的收敛性，相容性，及稳定性。讨论了步长的变化对数值方法的影响和系数不同的同阶龙格—库塔方法的差别。通过编制C程序在计算机上实现这两类方法及对一些典型算例的结果分析比较，能更深切体会它们的功能，优缺点及适用场合，从而在实际应用中能对不同类型和不同要求的常微分方程会选取适当的求解方法。
关键词：显式单步法 欧拉（Euler）方法 龙格—库塔（Runge—Kutta）方法 截断误差 收敛性

Two commonly used numerical solution of differential equations：Euler method and Runge - Kutta method
Student Name: Xiong Shiying Tutor：Zhang Li

【Abstract】The differential equation is the most vitality branch in mathematics. In many domains of natural science, we can meet the ordinary differential equation solution question. Currently, the development of computer has provided the extremely powerful tool for the ordinary differential equation application and the fundamental research, the computer solving differential equation mainly uses value method. The Euler method and the Runge—Kutta method are the most typical commonly value method to solve the differential equation. This article dissects the structure process of these two kinds of values commonly value method to solve the analyses their good and bad points, to their astringency, the compatibility, and the stability has made the proof. At the same time, the article discuss the length of stride to the numerical method changing influence and the difference of the coefficient different same step Runge—kutta method. Through establishing C program on the computer can realize these two kind of methods, Anglicizing some models of calculate example result can sincerely realize their function, the advantage and disadvantage points and the suitable situation, thus the suitable solution method can be selected to solve the different type and the different request ordinary differential equation in the practical application .
Keywords: Explicit single-step process Euler method Runge—Kutta method truncation error convergence

目 录

微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法

前言

常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关的。数学其他分支的新发展，如复变函数、群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量，微分方程也就成了最有生命力的数学分支。然而，我们知道，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。在常微分方程课中的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。这些方法可以给出解的近似表达式，通常称为近似解析方法。还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值，利用计算机解微分方程主要使用数值方法。
本文主要讨论一阶常微分方程初值问题
（1.1）
在区间上的数值解法，其中为关于，的已知函数，为给定的初始值，将上述问题的精确解记为。该问题常用的数值解法有：欧拉（Euler）方法、龙格—库塔（Runge—Kutta）方法及一些常用的线性多步法。本文重点介绍欧拉（Euler）方法和龙格—库塔（Runge—Kutta）方法。并对这两种方法编制程序，体会它们的功能、优缺点及适用场合，对不同类型常微分方程会选取适当的求解方法。

１ 基本概念和准备知识
一阶常微分方程初值问题是：

其中是平面上某个区域上的连续函数，式（1.1.1）的微分方程一般有无穷多个解，式（1.1.2）是确定解的初始条件，如果一元函数对一切满足
（1）；
（2）；
（3）存在而且；
则称是初值问题（1.1）在区间上的解。
误差：假定在计算时，用到的前一步的值是准确的即，把用计算得到的近似值记为，估计误差：= y(xn+1)，这种误差称为局部截断误差。如果不作这一假定，在每一步计算时除局部截断误差以外，还有由于前一步不准确而引起的误差，称为总体截断误差。
收敛性：对于解初值问题的数值方法，我们希望它产生的数值解收敛于初值问题的准确解，“收敛性”的一般定义为：
对于所有满足引理1.1条件的初值问题（1.1），如果有一种显式单步法：
产生的近似解，对于任意固定的，均有，则称该显式单步法是收敛的。
相容性：显式单步法（1.2.1）称为与原微分方程相容，如果
　　　　　　　　　（1.2.3）
成立。并称式（1.2.3）为相容性条件。
稳定性：在实际计算中，一方面初始值不一定精确，往往带有一定误差，同时由于计算机字长有限，在计算过程中有舍入误差，而且这种误差在式（1.2.1）的递推过程中会传递下去，对以后的结果产生影响。因此要考虑舍入误差的积累是否会得到控制，也即要考虑数值方法的稳定性。当时，若舍入误差引起的后果是有限的，则可以认为该方法是数值稳定的。

2 欧拉方法
2.1欧拉方法简介
对常微分方程初值问题（1.1）用数值方法求解时，我们总是认为（1.1）的解存在且唯一。
欧拉方法是解初值问题的最简单、最原始的数值方法，它是显式单步法。下面介绍几种导出欧拉法的途径，每个途径皆可以推导出更为有效的数值方法。
（1）Taylor展开
在点将作Taylor展开得：

当充分小时略去误差项，并注意到，得，以近似代替，以近似代替，且用“=”代替“”得差分方程初值问题：
，， (2.1.1)
用式(2.1.1)求解初值问题（1.1）的方法称为欧拉方法。
（2）数值微分
由导数的定义知，对于充分小的

整理得，对此作相似的处理也可以得到欧拉方法(2.1.1)。
（3）数值积分
在区间对积分得
（2.1.2）
用数值积分的左矩形公式计算式（2.1.2）右端的积分，得，于是同样可以得到欧拉方法(2.1.1)。
（4）多项式插值
利用解和其导数在点的值，作一次埃尔米特插值，得到关于的插值多项式：，用近似代替就得到欧拉方法。
（5）待定系数法
在第步，已知和，利用这两个值估计出下一步的，将已知的值与估计值作线性组合：，其中， 为待定系数。为确定这两个参数，要求这个估计值对和（为常数）精确成立。如果，则，得到方程：，得。如果，则，这样有：，说明，这样估计值为：，即为欧拉方法。
欧拉方法的几何意义：
由点斜式得切线方程

等步长为，则，可由切线方程算出：，逐步计算出在点的值：，，用分段的折线逼近函数为“折线法”而非“切线法”，除第一个点是曲线上的切线，其它都不是。

0

图1　　欧拉方法的几何意义

2.2欧拉方法的截断误差，收敛性，相容性，稳定性
设，把在处展开成泰勒级数，即

再由欧拉方法：

两式相减得欧拉方法的局部截断误差为：，若在上充分光滑，且令，则，故欧拉方法是一阶方法或具有一阶精度。
欧拉方法的增量函数就是，由引理1.3、引理1.4知当满足Lipschitz条件时欧拉方法是收敛的而且是相容的。
用欧拉方法求解典型方程（1.2.4）的计算公式为：，有 。要让，必须有，因此欧拉方法的绝对稳定域为 ：，当为实数时，绝对稳定区间为。在复平面上，是以1为半径、以为圆心的内部。

3 龙格—库塔法
3.1 龙格—库塔法的基本思想
为了导出龙格—库塔法的一般公式，我们取如下的线性组合形式：
（3.2.3）
其中 （3.2.4）
即
,；；a21,a31除c1=0外均为待定系数。显然用公式（3.2.3）每计算一个新值要计算函数的值s次，又因每个都能以一种明显的方式由,计算出来，故将公式（3.2.3）称为s级显式龙格—库塔法。s级显式龙格—库塔法又可以写成下面既简洁又直观的阵列形式：

0

3.2 二、三、四级龙格—库塔法
常见的二级二阶龙格—库塔法有：
中点方法（取）

二阶Heun方法（取）

取s = 3，完全仿照上述方法推导出三阶龙格—库塔公式。这时参数满足下列条件

这个方程组解也不唯一，从而可以得到不同的三级三阶龙格—库塔法。两个较为常见的三级三阶龙格—库塔法是：
Kutta方法（取=， = 1，a21 = ，a31 = ，a32 = 2， = ， = ， = ）
将它代入（3.2.3）得

　　　　　　　　(3.3.2)
三阶Heun方法（取=， = ，a21 = ，a31 = 0，a32 = ， = ， = ， =）将它代入（3.2.3）得

通常人们所说的龙格—库塔法是指四阶而言的。取s=4，我们同样可以仿照二阶的情形推导出此公式。这样就得到如下含12个未知数但仅有10个方程的方程组

此方程组的解同样不是唯一的，从而有许多不同的四级四阶龙格—库塔法，最常用的两个四阶公式是：
经典龙格—库塔法
　（3.3.3）
RKG(Runge-Kutta-Gill)方法
　　(3.3.4)
经典龙格—库塔方法的几何解释：
将（3.3.3）式中的改记为，从而得到经典龙格—库塔方法的计算公式为

只考虑区间上的解曲线。由(3.3.3)式可知，曲线在处的斜率，在处的斜率，而和则是在中点处的斜率的两个近似值，如图2：

图2

另一方面有：，用Simpson积分公式逼近此式右端的积分，得

上式右端要计算的三个值。由前面的结果，可取，，，见图3：

图3

代入后得到
（3.3.5）
另外，从(3.3.3)式容易看出，当与无关时，公式(3.3.5)实际上就是用标准的Simpson积分公式计算积分得到的，因此，可以将经典龙格——库塔方法视为是用Simpson积分公式的推广形式计算积分而得到的数值方法。
经典龙格—库塔法的稳定性：
增量函数：，其中

代入后得

于是有
=
从而得出龙格—库塔方法的绝对稳定区间为
1

经典龙格—库塔方法的算法框图：
开 始
读入

输出

=
结 束
图4 经典龙格—库塔法算法框图

4 应用举例建模及其分析
4.1 欧拉方法解题及其数学模型

4.1.1 问题提出

例4.1.1 假定某公司的净资产因资产本身产生了利息而以4%的年利率增长，同时，该公司以每年100万的数额支付职工工资。净资产的微分方程为
（t以年为单位）
分别以初始值
问题：用Euler公式预测公司24后的净资产趋势。

4.1.2 模型建立
分析：这是求微分方程的数值积分，为的是预测公司24年后的净资产趋势。
确定变量：设净资产是时间的微分函数，不妨设变量t为时间（以年为单位）。
设为第n年的净资产，为第n+1年的净资产，利息以每年4%的速度增长，且公司每年支付职工工资为100万，则第n+1年的净资产增长数额为，由于已得第n年的净资产为，则第n年的净资产加上第n+1年的净资产增长数额就得到第n+1年的净资产。
归纳公式： （4-1）
确定其微分方程的标准形式，这就是例4.1.1的微分方程模型。

4.1.3 解决问题
分别以代入，x表示利息赢利低于工资支出的数额，y表示利息赢利与工资支出平衡的数额，z表示利息赢利高于工资支出的数额，计算结果见表1.
表1
n

n

1
1460.
2500
3540..
13
834.926
2500
4165.07
2
1418.4
2500
3581.6
14
768.324
2500
4231.68
3
1375.14
2500
3624.86
15
699.056
2500
4300.94
4
1330.14
2500
3669.86
16
627.019
2500
4372.98
5
1283.35
2500
3716.65
17
552.1
2500
4447.9
6
1234.68
2500
3765.32
18
474.183
2500
4525.82
7
1184.07
2500
3815.93
19
393.151
2500
4606.85
8
1131.43
2500
3868.57
20
308.877
2500
4691.12
9
1076.69
2500
3923.31
21
221.232
2500
4778.77
10
1019.76
2500
3980.24
22
130.081
2500
4869.92
11
960.546
2500
4039.45
23
35.2845
2500
4964.72
12
898.968
2500
4101.03
24
-63.3042
2500
5063.3
从表1可以看到当利息赢利低于工资的支出，公司的净资产逐年减少，以致净资产为负值；当利息赢利与工资的支出平衡时，公司的净资产每年保持不变；当利息赢利超过工资的支出，公司的净资产稳步增长。
再用欧拉方法求解，每计算一步，依次需要计算1次、2次和4次函数的值，为了比较在计算量相同的条件下近似解的精度，步长分别取0.025、0.05、0.1。我对欧拉的C程序做了一些优化，加入了计算误差，计算结果如下（表示近似解、表示准确解、表示误差）：
This is Euler method:
please input a b and y0：0 1 1 please input N：40
x[0]=0.000000 y[0]=1.000000 y1[0]=1.000000 e[0]=0.000000
x[1]=0.025000 y[1]=1.025000 y1[1]=1.024695 e[1]=-0.000305
x[2]=0.050000 y[2]=1.049405 y1[2]=1.048809 e[2]=-0.000597
x[3]=0.075000 y[3]=1.073258 y1[3]=1.072381 e[3]=-0.000878
x[4]=0.100000 y[4]=1.096596 y1[4]=1.095445 e[4]=-0.001151
x[5]=0.125000 y[5]=1.119451 y1[5]=1.118034 e[5]=-0.001417
x[6]=0.150000 y[6]=1.141854 y1[6]=1.140175 e[6]=-0.001679
x[7]=0.175000 y[7]=1.163832 y1[7]=1.161895 e[7]=-0.001937
x[8]=0.200000 y[8]=1.185410 y1[8]=1.183216 e[8]=-0.002194
x[9]=0.225000 y[9]=1.206609 y1[9]=1.204159 e[9]=-0.002450
x[10]=0.250000 y[10]=1.227451 y1[10]=1.224745 e[10]=-0.002706
x[11]=0.275000 y[11]=1.247954 y1[11]=1.244990 e[11]=-0.002964
x[12]=0.300000 y[12]=1.268134 y1[12]=1.264911 e[12]=-0.003223
x[13]=0.325000 y[13]=1.288009 y1[13]=1.284523 e[13]=-0.003486
x[14]=0.350000 y[14]=1.307593 y1[14]=1.303841 e[14]=-0.003753
x[15]=0.375000 y[15]=1.326900 y1[15]=1.322876 e[15]=-0.004024
x[16]=0.400000 y[16]=1.345941 y1[16]=1.341641 e[16]=-0.004300
x[17]=0.425000 y[17]=1.364730 y1[17]=1.360147 e[17]=-0.004583
x[18]=0.450000 y[18]=1.383278 y1[18]=1.378405 e[18]=-0.004873
x[19]=0.475000 y[19]=1.401594 y1[19]=1.396424 e[19]=-0.005170
x[20]=0.500000 y[20]=1.419689 y1[20]=1.414214 e[20]=-0.005475
x[21]=0.525000 y[21]=1.437572 y1[21]=1.431782 e[21]=-0.005790
x[22]=0.550000 y[22]=1.455251 y1[22]=1.449138 e[22]=-0.006113
x[23]=0.575000 y[23]=1.472735 y1[23]=1.466288 e[23]=-0.006447
x[24]=0.600000 y[24]=1.490032 y1[24]=1.483240 e[24]=-0.006792
x[25]=0.625000 y[25]=1.507149 y1[25]=1.500000 e[25]=-0.007149
x[26]=0.650000 y[26]=1.524093 y1[26]=1.516575 e[26]=-0.007518
x[27]=0.675000 y[27]=1.540872 y1[27]=1.532971 e[27]=-0.007900
x[28]=0.700000 y[28]=1.557490 y1[28]=1.549193 e[28]=-0.008297
x[29]=0.725000 y[29]=1.573955 y1[29]=1.565248 e[29]=-0.008708
x[30]=0.750000 y[30]=1.590273 y1[30]=1.581139 e[30]=-0.009134
x[31]=0.775000 y[31]=1.606449 y1[31]=1.596872 e[31]=-0.009577
x[32]=0.800000 y[32]=1.622489 y1[32]=1.612452 e[32]=-0.010037
x[33]=0.825000 y[33]=1.638397 y1[33]=1.627882 e[33]=-0.010515
x[34]=0.850000 y[34]=1.654180 y1[34]=1.643168 e[34]=-0.011013
x[35]=0.875000 y[35]=1.669842 y1[35]=1.658312 e[35]=-0.011530
x[36]=0.900000 y[36]=1.685388 y1[36]=1.673320 e[36]=-0.012068
x[37]=0.925000 y[37]=1.700823 y1[37]=1.688194 e[37]=-0.012629
x[38]=0.950000 y[38]=1.716151 y1[38]=1.702939 e[38]=-0.013212
x[39]=0.975000 y[39]=1.731376 y1[39]=1.717556 e[39]=-0.013820
x[40]=1.000000 y[40]=1.746504 y1[40]=1.732051 e[40]=-0.014453
this is improve Euler method
please input a b and y0:：0 1 1 please input N：20
x[0]=0.000000 y[0]=1.000000 y1[0]=1.000000 e[0]=0.000000
x[1]=0.050000 y[1]=1.048869 y1[1]=1.048809 e[1]=-0.000060
x[2]=0.100000 y[2]=1.095561 y1[2]=1.095445 e[2]=-0.000116
x[3]=0.150000 y[3]=1.140345 y1[3]=1.140175 e[3]=-0.000169
x[4]=0.200000 y[4]=1.183437 y1[4]=1.183216 e[4]=-0.000221
x[5]=0.250000 y[5]=1.225017 y1[5]=1.224745 e[5]=-0.000272
x[6]=0.300000 y[6]=1.265236 y1[6]=1.264911 e[6]=-0.000325
x[7]=0.350000 y[7]=1.304219 y1[7]=1.303841 e[7]=-0.000378
x[8]=0.400000 y[8]=1.342074 y1[8]=1.341641 e[8]=-0.000433
x[9]=0.450000 y[9]=1.378896 y1[9]=1.378405 e[9]=-0.000492
x[10]=0.500000 y[10]=1.414766 y1[10]=1.414214 e[10]=-0.000553
x[11]=0.550000 y[11]=1.449756 y1[11]=1.449138 e[11]=-0.000618
x[12]=0.600000 y[12]=1.483927 y1[12]=1.483240 e[12]=-0.000687
x[13]=0.650000 y[13]=1.517337 y1[13]=1.516575 e[13]=-0.000762
x[14]=0.700000 y[14]=1.550035 y1[14]=1.549193 e[14]=-0.000841
x[15]=0.750000 y[15]=1.582066 y1[15]=1.581139 e[15]=-0.000927
x[16]=0.800000 y[16]=1.613472 y1[16]=1.612452 e[16]=-0.001020
x[17]=0.850000 y[17]=1.644289 y1[17]=1.643168 e[17]=-0.001121
x[18]=0.900000 y[18]=1.674551 y1[18]=1.673320 e[18]=-0.001230
x[19]=0.950000 y[19]=1.704288 y1[19]=1.702939 e[19]=-0.001349
x[20]=1.000000 y[20]=1.733529 y1[20]=1.732051 e[20]=-0.001478

4.1.4 结论
这道题用普通的微分方程也能列式求解，关键在于如何预测若干年后的净资产趋势，用普通的微分方程就无法进行预测，且人工计算量相当大，这里我使用欧拉方法可以计算出精度以及误差，通过电脑运行程序就可以预测出若干年后的净资产情况，欧拉方法的使用使得解题更加方便且精确。

4.2 龙格—库塔解题及其数学模型
4.2.1 问题提出
例4.2.1 两种果树寄生虫，其数量分别是其中一种寄生虫以吃另一种寄生虫为生，两种寄生虫的增长函数如下列常微分方程组所示：

问题：预测3年后这一对寄生虫的数量。

4.2.2 模型建立
分析：这是一个典型的常微分方程例题，要求预测出3年后这对寄生虫的数量。
确定变量：假定时间是寄生虫数量的积分函数，不妨设变量t为时间（以年为单位）。
由题知有两种寄生虫u和v，u寄生虫年增长函数为，v寄生虫年增长函数为，初始值：u寄生虫为1.6，v寄生虫为1.2，由于其中一种寄生虫以吃另一种寄生虫为生，我们可建立u和v的关联函数f(u,v),g(u,v)。
归纳后得到公式：
（4-2）
（4-2）即为例4.2.1所述问题的微分方程模型。

4.2.3 解决问题
在本题中用Euler预估—校正公式

取h=1，计算结果如表2.
表2
t/年
u(t)
v(t)
1
1.6
1.2
2
1.02457
1.26834
3
0.640912
1.3366
4
0.391211
1.41077
我把龙格—库塔的C程序进行编辑后得到结果:（e[i]表示误差）
please input a b and y0:：0 1 1 please input N： 10
x[0]=0.000000 y[0]=1.000000 y1[0]=1.000000 e[0]=0.000000
x[1]=0.100000 y[1]=1.095446 y1[1]=1.095445 e[1]=-0.000000
x[2]=0.200000 y[2]=1.183217 y1[2]=1.183216 e[2]=-0.000001
x[3]=0.300000 y[3]=1.264912 y1[3]=1.264911 e[3]=-0.000001
x[4]=0.400000 y[4]=1.341642 y1[4]=1.341641 e[4]=-0.000001
x[5]=0.500000 y[5]=1.414215 y1[5]=1.414214 e[5]=-0.000002
x[6]=0.600000 y[6]=1.483242 y1[6]=1.483240 e[6]=-0.000002
x[7]=0.700000 y[7]=1.549196 y1[7]=1.549193 e[7]=-0.000003
x[8]=0.800000 y[8]=1.612455 y1[8]=1.612452 e[8]=-0.000004
x[9]=0.900000 y[9]=1.673324 y1[9]=1.673320 e[9]=-0.000004
x[10]=1.000000 y[10]=1.732056 y1[10]=1.732051 e[10]=-0.000005

4.2.3 结论
从上面的结果可以分析，用每一种方法计算节点=0.1、0.20.9、1.0，上的值都需要计算4次的值，即它们的计算量基本相同，其结果是经典的龙格—库塔方法的精度最好，龙格—库塔方法的推导是基于Taylor级数方法的，因而在使用高阶龙格—库塔方法计算时可以很精确的推算出寄生虫每一年的数量。

4.3 分别使用二阶、三阶龙格—库塔法解初值问题
对一些特殊的微分方程，使用欧拉方法和低阶的龙格—库塔方法也能达到很高的精度，例如：微分方程的解析解是一次函数，则用欧拉方法求得的数值解与准确解相符，微分方程的解析解是二次函数，则用二阶龙格—库塔方法求得的数值解与准确解相符。微分方程的解析解是三次多项式，用三阶龙格—库塔方法求得的数值解与准确解相符。

4.3.1 建立模型
建立初值问题模型：
(4.1)

4.3.2 用不同的龙格—库塔法解（4.1）初值问题模型
（1）用二阶龙格库塔方法求解初值问题（4.1）
结果如下：
this is the second-order Runge-Kutta(Heun) method
please input a b and y0： 0 1 1 please input N：10
x[0]=0.000000 y[0]=1.000000 y1[0]=1.000000 e[0]=0.000000
x[1]=0.100000 y[1]=1.110000 y1[1]=1.110000 e[1]=0.000000
x[2]=0.200000 y[2]=1.240000 y1[2]=1.240000 e[2]=0.000000
x[3]=0.300000 y[3]=1.390000 y1[3]=1.390000 e[3]=0.000000
x[4]=0.400000 y[4]=1.560000 y1[4]=1.560000 e[4]=0.000000
x[5]=0.500000 y[5]=1.750000 y1[5]=1.750000 e[5]=0.000000
x[6]=0.600000 y[6]=1.960000 y1[6]=1.960000 e[6]=0.000000
x[7]=0.700000 y[7]=2.190000 y1[7]=2.190000 e[7]=0.000000
x[8]=0.800000 y[8]=2.440000 y1[8]=2.440000 e[8]=0.000000
x[9]=0.900000 y[9]=2.710000 y1[9]=2.710000 e[9]=0.000000
x[10]=1.000000 y[10]=3.000000 y1[10]=3.000000 e[10]=0.000000
this is improve Euler method
please input a b and y0：0 1 1 please input N：10
x[0]=0.000000 y[0]=1.000000 y1[0]=1.000000 e[0]=0.000000
x[1]=0.100000 y[1]=1.110000 y1[1]=1.110000 e[1]=0.000000
x[2]=0.200000 y[2]=1.240000 y1[2]=1.240000 e[2]=0.000000
x[3]=0.300000 y[3]=1.390000 y1[3]=1.390000 e[3]=0.000000
x[4]