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第四讲：旋转和圆的基础知识
一、旋转
（一）．概念：
1.旋转：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.
例：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A、B、C分别移动到什么位置？ [来源:学_科_网Z_X_X_K]
2 .中心对称图形：图形绕着中心旋转180°后与自身重合称中心对称图形（如：平行四边形、圆等旋转中心
）。旋转中心
（二）．性质
1．旋转的性质：[来源:学§科§网]
① 旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等).
② 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角).
③ 经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等
2. 旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度.
二、圆
（一）.圆的相关概念
1、圆的定义
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
(二).弦、弧等与圆有关的定义
（1）弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
（2）直径
经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）
直径等于半径的2倍。
（3）半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
三、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
四、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
第五讲：圆心角和圆周角
课堂练习：
1．如图，弦AD=BC，E是CD上任一点（C，D除外），则下列结论不一定成立的是（ ）
A. =
B. AB=CD
C. ∠ AED=∠CEB.
D. =
2. 如图，AB是 ⊙O的直径，C，D是 上的三等分点，∠AOE=60 ° ，则∠COE是（ ）
A． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °
3. 如图，AB是 ⊙O的直径，=,∠A=25°， 则∠BOD= °.
4.在⊙O中, =, ∠A=40°,则∠C= °.
5. 在⊙O中, = , ∠ACB=60°.求证: ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC.
课堂检测
1如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等。 B这两个圆心角所对的弧相等。
C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。 D 以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则 与 的关系是（ ）
A =2 B. ＞ C. ＜2 D. 不能确定
3. 在同圆中，=,则（ ）
A AB+BC=AC B AB+BC＞AC C AB+BC＜AC D. 不能确定
4．下列说法正确的是（ ）
A．等弦所对的圆心角相等 B. 等弦所对的弧相等
C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等
5．如图，在⊙O中，C、D是直径上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上。
求证：=
二、圆周角
课堂练习：
1．下列说法正确的是（ ）
A 相等的圆周角所对弧相等形 B直径所对的角是直角
C 顶点在圆上的角叫做圆周角 D 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为（ ）
A . 28° B. 56° C. 60° D. 62°
3.如图,在⊙O中, ∠ABC=40 ,则∠AOC= °.
4. 如图,AB是⊙O的直径,C,D,E都是圆上的点,则∠1+∠2= °.
5.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB.
求证:BD=CD.
三、课堂检测
1. 如图,AB是⊙O的直径, BC,CD,DA是⊙O的弦,且 BC=CD=DA,则∠BCD=( ).
A . 100° B. 110° C. 120° D130°
2. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,若∠BOD=80°,则∠A=( )
A . 60° B. 50° C. 40° D30°
3.如图,A,B,C是⊙O上三点, ∠AOC=100°, 则∠ABC= °.
4. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在劣弧AD上, 则∠BEC等于 °
5.. 如图,在⊙O中, ∠ACB=∠BDC=60°,AC=,(1)求∠BAC的度数;(2)求⊙O的周长.
四．小结
1,圆周角与圆心角的概念比较接近,因此容易混淆,要结合图形观察角的位置进行判断.
2.一条弦所对的 圆周角有两种(直角除外),一种是锐角，一种是钝角。
3．有关圆的计算常用勾股定理计算，因此构造直角三角形是解题的关键。
第六讲：圆的知识复习
一、圆的基本性质
1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。
3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。[来源:学科网ZXXK]
圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。
例1 如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( )
A、60° B、45° C、30° D、15°
例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
(1) (2)
例4：如图,AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F。
求证：CF=BF
练习：
1、已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于P，且∠APD＝60°，∠COB＝30°，求∠ABD的度数．
2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E．求所对圆心角的度数．
3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，∠P＝28°，
∠AQC＝92°，求∠ABC的度数．
4、已知：四边形ABCD内接于⊙O，且∠BOD＝100°．求∠A的度数．
第七讲：平面内点和圆的位置关系
一、点和圆的位置关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。
例 如图，在中，直角边，，点，分别是，的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在圆A的_________，点在圆A的_________．
练习：在直角坐标平面内，圆的半径为5，圆心的坐标为．试判断点与圆的位置关系．
二、圆与三角形的关系
1、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。
2、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。
3、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。
4、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
例1 如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．
例2 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，
则∠BOC=（ ）
A．130° B．100° C．50° D．65°
例3 如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）．
A．5 cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
练习1：
1．下列说法：① 三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆； ③ 圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点； ⑤三角形的外心到三角形的各边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在三角形内。其中正确的个数为（ ）
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 三角形的外心具有的性质是( )
A. 到三边的距离相等 B. 到三个顶点的距离相等
C. 外心在三角形内 D. 外心在三角形外
3. 用反证法证明一个三角形任意两边之和大于第三边时，假设正确的是（ ）
A任意两边之和小于第三边 B 任意两边之和等于第三边
C任意两边之和小于或等于第三边 D任意两边之和不小于第三边
4．⊙O的半径为10cm, A，B，C三点到圆心的距离分别为8cm，10cm，12cm，则点A，B，C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 。
5．直角三角形的两直角边分别是3cm，4cm。则这个三角形的外接圆半径为 cm。
练习2：
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，以点B为圆心，4为半径作⊙B，则点A与⊙B的位置关系是（ ）
A 点A在⊙B上 B . 点A在⊙B外 C. 点 A在⊙B内 D.无法确定
2.以平面直角坐标系的原点O为圆心,5为半径作圆,点A的坐标为(-3,-4), 则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A 点A在⊙O上 B . 点A在⊙O外 C. 点 A在⊙O内 D.无法确定
3.如图,已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，
（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则B，C，D与⊙A的位置关系如何？
（2）以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，试判断：
（1） 点C与⊙A的位置关系
（2） 点B与⊙A的位置关系
（3） AB的中点D与⊙A的位置关系
四．小结
1．过三点作圆时，易忽略“过不在同一直线上的三点”这一前题条件，当三点在同一直线上时，无法确定一个圆。
2．判断点与圆的位置关系时，只需确定点与圆心的距离及圆的半径，然后进行比较即可
第八讲：直线和圆的位置关系
练习：
1．⊙O的半径为6。点O到直线的距离为6.5，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B 相切 C 相交 D 内含
2．设⊙O的半径为r，点O到直线的距离为d，若直线与⊙O至少有一个公共点，则r与d之间的关系是（ ）
A d＞r B d=r C d＜r D d≤r
3．当直线和圆有唯一公共点时，直线与圆的位置关系是 ，，圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系为 。
4．已知∠AOC=30°，点B在OA上，且OB=6，若以B为圆心，R为半径的圆与直线OC相离，则R的取值范围是 。
二、圆的切线的性质和判定
１．切线的判定定理：经过半径的 并且 的直线是圆的切线。
２．判断一条直线是否为圆的切线，现已有 种方法：一是看直线与圆公共点的个数；二看圆心到直线的距离ｄ与圆的半径之间的关系；三是利用 。
３．切线的性质定理：圆的切线 的半径。
练习1：
１．下面关于判定切线的一些说法：①与直径垂直的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 ；③与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；④经过半径外端的直线是圆的切线； ⑤经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，其中正确的是（ ）
Ａ ①②③ Ｂ②③⑤ Ｃ ②④⑤ Ｄ③④⑤
２．圆的切线（ ）
Ａ．垂直于半径 Ｂ．平行于半径 Ｃ．垂直于经过切点的半径 Ｄ．以上都不对
３．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C,若∠A=25°，
则∠D等于（ ）
Ａ４０° Ｂ５０° Ｃ６０° Ｄ７０°
４．如图，两个同心圆，弦AB，CD相等，AB切小圆于点E。
求证：CD是小圆的切线。
练习2：
1、如图，两个同心圆的半径分别为３ｃｍ和５ｃｍ，:弦AB与小圆相切于点C,则AB的长为（ ）
A 4cm B 5cm C 6cm D 8cm
2、如图，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D,且的半径为2，则CD的长为（ ）
A B 4 C 2 D 4
3如图，∠MAB=30°，Ｐ为ＡＢ上的点，且ＡＰ＝６，圆Ｐ与ＡＭ相切，则圆Ｐ的半径为 。
4．如图 ，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D 作DE⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F。求证：直线DE是⊙O的切线。
三、圆的切线长性质
1． 切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这
，叫做圆的切线长。
2切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 。这一点和圆心的连线 。
3．三角形的内切圆：与三角形各边 ，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 。
练习1：
1.如图，从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别A、B,如果∠APB=60°，PA=10，则弦AB的长（ ）
A．5 B. C.10 D.
2. 如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°, 则∠BOC等于( )
A. 130° B.100° C.50° D.65°
3． 如图, ⊙O与∠ACB两边都相切,切点分别为A,C,且∠ABC=90°, 那么四边形ABCO是
4．.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°，求∠APB的度数。
练习2：
1．已知直角三角形的斜边长为了13ｃｍ，内切圆的半径是２ｃｍ，则这个三角形的周长是（ ）
Ａ ３０ｃｍ Ｂ２８ｃｍ Ｃ２６ｃｍ Ｄ２４ｃｍ
2．如图，△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，且∠FOD=∠EOD=135°，则△ABC是（ ）
A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形
3如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，⊙O的切线EF分别交PA，、、PB于E、F，切点C在上，若PA的长为2，则△PEF的周长是
四．小结
１．在利用数量关系判断直线与圆的位置关系时，易忽略条件“圆心到直线的距离“，盲目选择圆心到直线上某一点的距离进行判定，导致出现错误的结论，应引起注意。
２．要判断直线与圆的位置关系有两种方法：一看直线与圆公共点的个数；二看圆心到直线的距离ｄ与圆的半径之间的关系。
3．在证明圆的切线问题时，常作两种辅助线：若已知一直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得半径，证明该直线与半径垂直；若不知直线与圆有无公共点，则过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径。
4．已知一条直线是圆的切线时，常作辅助线为连接圆心与切点，得半径，那么半径垂直于这条切线。
5. 切线长与切线是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。注意区别和联系。
第九讲：点及直线和圆的位置综合练习
1.如图，已知ＰＡ是⊙O的切线，Ａ是切点，ＰＣ是过圆心的一条割线，点Ｂ，Ｃ是它与⊙O的交点，且ＰＡ＝８，ＰＢ＝４，则⊙O的半径为 。
2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与X轴相切于B,与Y轴交于C(0,1) D(0,4)两点，则点A的坐标是（ ）
A.(,) B.(,2) C.(2, ) D.(,)
3．如图，ＡＢ为半圆Ｏ的直径，点Ｃ在半圆Ｏ上，过点Ｏ作ＢＣ的平行线交ＡＣ于点Ｅ，交过点Ａ的直线于点Ｄ，且∠Ｄ＝∠ＢＡＣ。
求证：ＡＤ是半圆Ｏ的切线。
D
E
4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD若AB＝AC，∠ADE＝65°，试求∠BOC的度数．
5、 在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？
6．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
7. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点。求证：∠AOB=∠APB。
8.如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝4，BC＝9，CD＝13，以AB为直径作⊙O，是判断⊙O与CD的位置关系并证明你的结论.
9. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P为直径MN上一动点，求PA＋PB的最小值．
10. 如图，ＡＢ为半圆Ｏ的直径，点Ｃ在半圆Ｏ上，过点Ｏ作ＢＣ的平行线交ＡＣ于点Ｅ，交过点Ａ的直线于点Ｄ，且∠Ｄ＝∠ＢＡＣ。求证：ＡＤ是半圆Ｏ的切线。
第十讲、圆与圆的位置关系
一、圆与圆的位置关系：
重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．
难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
Ø 相离：
外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：
内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
Ø 相切：
外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
Ø 相交：两圆只有两个公共点。
设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离d>r1+r2
外切d=r1+r2
相交│r1－r2│<d<r1+r2
内切d=│r1－r2│
内含0≤d<│r1－r2│（其中d=0，两圆同心）
练习1：
1．如图是一个五环图案，下排两个圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．外离
2．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm，两圆的圆心距O1 O2=８ｃｍ，则两圆的位置关系是 。
３．已知两圆半径分别为４和５，若两圆相交，则圆心距ｄ应满足 。
４．已知⊙Ａ，⊙Ｂ相切，圆心距为１０ｃｍ，其中⊙Ａ的半径为４ｃｍ，求⊙Ｂ的半径。
练习2：
１．如果⊙O1和⊙O2外切，⊙O1的半径为３，O1 O2=５，则⊙O2的半径为（ ）
Ａ．８ Ｂ．２ Ｃ．６ Ｄ．７
２．已知两圆半径分别为４和３，圆心距为８，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B 外切 C 相交 D外离
３．已知⊙O1的半径为３ｃｍ，⊙O2的半径为７ｃｍ，若⊙O1和⊙O2的公共点不超过一个，则两圆的圆心距不可能为（ ）．
Ａ ０ｃｍ Ｂ４ｃｍ Ｃ８ｃｍ Ｄ１２ｃｍ
４．设Ｒ，ｒ为两圆半径，ｄ为圆心距，若，则两圆的位置关系是 ．
５．如果，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B，过A作直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D，过B作作直线分别交⊙O1、⊙O2于E、F，求证：CE∥DF.
二、正多边形和圆
重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．[来源:学,科,网]
正多边形的中心：所有对称轴的交点；
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
练习1：
1．下列叙述正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形 D．轴对称图形是正多边形
2.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）
A．60° B45° C30° D22.5°
3.有一个正多边形的中心角是60°，则是 边形。
4．已知一个正六边形的半径是r，则此多边形的周长是 。
5．如图所示，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E。
求证：五边形ABCDE是正五边形。
练习2：
1．圆内接正五边形ABCDE中对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）
A．60° B.36° C.72° D.108°
2．已知正三角形的边长为，其内切圆半径为，外接圆半径为R，则：：R等于（ ）
A．1：：2 B．1： ：2 C．1：2： D．1：
3．若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3,r4,r5则r3：r4 ：r5等于（ ）
A．1：： B．：：1 C．1 ：2 ：3 D．3 ：2 ：1
4．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm,求这个正六边形的半径 R,边心距r6，面积S6
三、弧长和扇形、圆锥侧面积面积
重点：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=、圆锥侧面积面积及其它们的应用．
难点：公式的应用．
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
3．圆锥的侧面积公式：S侧=rl，期中r是底面圆的半径，l是母线长。
4．圆锥的全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=（rL+r2）．
例1．操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
四．小结
1.在研究两圆相切时，要考虑内切或外切；在研究两圆没有公共点时，要考虑外离或内含，记住不要漏解。
2.要彻底弄清正多边形的半径、边心距、中心角和边长。
3．在有关正多边形与圆的计算问题时，一般找由半径、边心距、边长的一半构成的直角三角形，将所求问题转化为解直角三角形的问题。
第十一讲、圆的综合练习
一、选择题
1.下列命题中正确的有( )个
(1) 平分弦的直径垂直于弦
（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半
（4）平面内三点确定一个圆
A
B
P
O
（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
2.如图，直线是的两条切线，分别为切点，， 厘米，则弦的长为（ ）
A．厘米 B．5厘米 C．厘米 D．厘米
3.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（ ）
4.已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（ ）
A． B． C．2 D．3
5.若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑，则该铅球的直径约为( )
A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm
二.填空题
6.一扇形的圆心角为150°，半径为4，用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的表面积是_____________
7.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=300，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件 时，⊙P与直线CD相交．
8.已知是半径为的圆内的一条弦，点为圆上除点外任意一点，若，则的度数为 ．
9.⊙0的半径为5，A、B两动点在⊙0上，AB=4,AB的中点为点C,在移动的过程中，点C始终在半径为_______的一个圆上，直线AB和这个圆的位置关系是______
10. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为________
三、解答题
11.已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。
（1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：
图1 图2
① ；② ；③ 。
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线。
12.求作一个⊙O，使它与已知∠ABC的边AB，BC都相切，并经过另一边BC上的一点P．
13.如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P=60°，PB=2cm，求AC的长．
14.图，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直线的半圆O与以BC为直径的半圆O相切于点D．求图中阴影部分面积．
15. 如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线的解析式。
第十二讲、圆的综合练习
一、选择题（每题3分，共24分）
1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径
B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C．⊙O上有两点到点P的距离最小
D．⊙O上有两点到点P的距离最大
2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（ ）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不确定
3．半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）
A．R B．R C．R D．2R
4．已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm
5．下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
6．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
7．⊙O内最长弦长为m，直线ι与⊙O相离，设点O到ι的距离为d，则d与m的关系是（ ）
A．d=m B．d＞m C．d＞ D．d＜
8．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．
10．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是 cm．
11．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．
12．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ．
13．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．
14．⊙O中，若弦AB长2cm，弦心距为cm，则此弦所对的圆周角等于 ．
15．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为6，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是 ．
16．已知⊙O1和⊙O2外切，半径分别为1 cm和3 cm，那么半径为5 cm与⊙O1、⊙O2都相切的圆一共可以作出 个．
三、解答题（40分）
17（6分）.如图：由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
18（8分）. ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围．
19（10分）.如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD； （2）求OD的长；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
20（8分）. 东海某小岛上有一灯塔A，已知A塔附近方圆25海里范围内有暗礁，我110舰在O点处测得A塔在其北偏西60°方向，向正西方向航行20海里到达B处，测得A在其西北方向．如果该舰继续航行，是否有触礁的危险？请说明理由．（提示=1．414，=1．732）
21（8分）. 设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2x＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．
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