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突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -1-惠州一中惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料届理科实验班数学寒假学习资料 突破压轴客观题突破压轴客观题【班级】【姓名】目录：目录：第一篇第一篇三角与向量三角与向量 题型一：三角函数性质的综合 题型二：三角中的不等关系问题 题型三：向量的数量积运算 第二篇第二篇数列数列 题型一：递推关系求通项 题型二：周期数列和分奇偶讨论的数列问题 题型三：数列创新题 第三篇第三篇立体几何立体几何 题型一：多面体与球 题型二：立体几何中的动态问题 第四篇第四篇解析几何解析几何 题型一：离心率问题 题型二：焦半径简化运算问题 第五篇第五篇函数函数、不等式不等式 题型一：灵活的线性规划问题 题型二：多元最值问题 题型三：不等式恒成立 第六篇第六篇新定义问题新定义问题 题型：定义新性质、新运算、新符号、新图形 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -2-第一篇三角与向量第一篇三角与向量 题型一：三角函数题型一：三角函数图像和图像和性质性质综合综合 题型特点题型特点 选择题中关于三角函数的图像和性质的问题是高考的热点，涉及y=Asin（x+）(0,|2)的图像的单调性、对称性、周期性、零点等综合问题，其中由函数在某范围内单调求最值的问题有一定难度，此问题有两个关键：1.“在某区间上单调”只能说明该区间为单调区间的子集，由此推出周期范围，进而推出的大致范围；2.“在某区间上单调”说明最值点不在此区间内，这也是分析出的大致范围后，将选择项逐个代入验证的标准。典型例题典型例题（2016全国全国.第第 12 题）题）已 知 函 数 为 的 零 点，为 图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为（）A.11 B.9 C.7 D.5【答案】B【解析】解：x=为 f（x）的零点，x=为 y=f（x）图象的对称轴，即，（nN）即=2n+1，（nN）即 为正奇数，f（x）在（，）则 =，即 T=，解得：12，当=11 时，+=k，kZ，|，=，此时 f（x）在（，）不单调，不满足题意；当=9 时，+=k，kZ，|，=，此时 f（x）在（，）单调，满足题意；故 的最大值为 9，故选：B.巩固练习巩固练习 1.将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 在 上为增函数，则 的最大值为（）A.2 .4 .6 D.8 2.已知函数 的图象在区间 上不单调,则 的取值范围为()A.D.突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -3-3.已知函数 f（x）=2sin（x）1（0，|）的一个零点是 x=，直线 x=函数图象的一条对称轴，则 取最小值时，f（x）的单调增区间是（）A.+3k，+3k，kZ .+3k，+3k，kZ.+2k，+2k，kZ D.+2k，+2k，kZ 4.已知函数 f（x）=sin（x+）（0，|），x=为 f（x）的零点，x=为 y=f（x）图象的对称轴，且 f（x）在（，）单调，则 的最大值为（）A.12 .11 .10 D.9 5.设函数 f（x）=Asin（x+），xR（其中 A0，0），在（，）上既无最大值，也无最小值，且f（）=f（0）=f（），则下列结论成立的是（）A.若 f（x1）f（x）f（x2）对xR 恒成立，则|x2x1|min=.y=f（x）的图象关于点（，0）中心对称.函数 f（x）的单调区间为：k+，k+（kZ）D.函数 y=|f（x）|（xR）的图象相邻两条对称轴之间的距离是 题型二：三角中的不等关系问题题型二：三角中的不等关系问题 题型特点题型特点 解三角形的问题中，常见求取值范围、最值的问题，这类问题的主要考查正余弦定理，函数思想、数形结合思想的灵活应用，主要解题思路为：1.利用正余弦定理，化边为角，利用三角函数的有界性解决问题，但要注意三角形背景下对角度的限制范围；2.利用正余弦定理，化边为角，转化为常见函数或不等式求最值；3.数形结合，构造几何图形，通过动态分析，得出范围。典型例题典型例题（2015全国全国.第第 16 题）题）在平面四边形 A.D 中，A=.=.=75，.=2，则 A.的取值范围是 【答案】（62，6+2）【解析】试题分析：如图所示，延长.A，.D 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，A.最长，在.E 中，.=.=75，E=30，.=2，由正弦定理可得sinsinBCBEEC=，即oo2sin30sin75BE=，解得BE=6+2，平移 AD，当 D 与.重合时，A.最短，此时与 A.交于 F，在.F 中，.=.F.=75，突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -4-F.=30，由正弦定理知，sinsinBFBCFCBBFC=，即oo2sin30sin75BF=，解得.F=62，所以 A.的取值范围为（62，6+2）.（2014新课标新课标.第第 16 题）题）已知 a，b，c 分别为A.的三个内角 A，.，.的对边，a=2 且（2+b）（sinAsin.）=（cb）sin.，则A.面积的最大值为_ 【解析】因为：（2+b）（sinAsin.）=（cb）sin.（2+b）（ab）=（cb）c2ab2=c2bc，又因为：a=2，所以：，A.面积，而 b2+c2a2=bcb2+c2bc=a2b2+c2bc=4bc4 所以：，即A.面积的最大值为 故答案为：巩固练习巩固练习 1.在 中，设，分别表示角，所对的边，为边 上的高.若，则 的最大值是_ 2.在A.中，角 A，.，.所对的边分别为 a，b，c，且 bcos.=（3ac）cos.D为 A.边的中点，且.D=1，则A.D 面积的最大值为_ 3.如图所示，在平面四边形 中，为正三角形，则 面积的最大值为_ 4.已知A.的三个内角 A，.，.的对应边分别为 a，b，c，且 则使得 sin2.+sin2.=msin.sin.成立的实数 m 的取值范围是_ 5.在A.中若 sin2A+sin2.=sin2.sinAsin.，则 sin2Atan2.最大值是_ 6.数学九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隔，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即 S=现有周长为 2+的A.满足 sinA：sin.：sin.=（1）：（+1），试用以上给出的公式求得A.的面积为（）A.D.7.在锐角三角形A.中，a，b，c分别是角A，.，.的对边，（a+b+c）（a+cb）=，则 cosA+sin.的取值范围为（）A.D.突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -5-8.在A.中，A.=2，A.=.，则当A.面积最大值时其周长为（）A.2+2 .+3 .2+4 D.+4 题型三：向量的数量积运算题型三：向量的数量积运算 题型特点题型特点 向量的数量积运算是高考的高频考点，三种基本方法为：基底法、坐标法和几何法，在极化恒等式的结论下求数量积，也是解决向量客观题的妙招。而构造向量数量积，解决三个向量的线性组合问题，也是数量积的“隐形”考法 典型例题典型例题（2017新课标新课标）已知A.是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 A.内一点，则（+）的最小值是（）A.2 .D.1【答案】.【解析】解：建立如图所示的坐标系，以.中点为坐标原点，则 A（0，），.（1，0），.（1，0），设 P（x，y），则=（x，y），=（1x，y），=（1x，y），则（+）=2x22 y+2y2=2x2+（y）2 当 x=0，y=时，取得最小值 2（）=，故选：.（2009安徽理安徽理）给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点.在以 O 为圆心的圆弧 A.上变动.若,OCxOAyOB=+其中,x yR,则xy+的最大值是=_.【答案】2【解析】设=320AOC，则=32BOC，()()+=+=+=yxyxOBOByOAxOBOCOAOByOAxOAOC232cos2cos两式相加得+=+=+6sin32coscos2yx，当3=时，xy+的最大值为 2.突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -6-你还能想到其他解法吗？例如：坐标化，构造()2OC （2016江苏）如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E ，F 是 AD 上的两个三等分点，=4，=1，则 的值是_.【答案】【解析】解法一：令，则，则，则，由，可得，因此，因此 解法二：先证明常用的一个结论：极化恒等式 由极化恒等式得 巩固练习巩固练习 1.（2017新课标新课标）在矩形 A.D 中，A.=1，AD=2，动点 P 在以点.为圆心且与.D 相切的圆上若=+，则+的最大值为（）突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -7-A.3 .2 .D.2 2.（2015.福建）已知 ，若 点是 所在平面内一点，且，则 的最大值等于（）A13 .15 .19 D21 3.（2014.湖南）16在平面直角坐标系中，为原点，动点满足的最大值是 4.(2015.天津)（14）在等腰梯形ABCD 中,已知/,2,1,60ABDC ABBCABC=,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,9BEBC DFDC=则AE AF的最小值为 .5.(2014.天津)已知菱形ABCD的边长为 2，120BAD，点,E F分别在边,BC DC上，BEBC，DFDC.若1AE AF，23CE CF，则（）（A）12 （.）23 （.）56 （D）712 6.(2013.安徽)在平面直角坐标系中，o是坐标原点，两定点,A B满足2,OAOBOA OB=则点集,1,|POPOAOBR=+所表示的区域的面积是（A）2 2 （.）2 3 （.）4 2 （D）4 3 7.(2012.上 海)在 正 三 角 形ABC中，D是BC上 的 点，3,1ABBD=，则AB AD=。8(2007.重庆)如题（10）图，在四边形ABCD中，4ABBDDC+=，4AB BDBD DC+=，0AB BDBD DC=，则()ABDC AC+的值为（）2 2 2 4 4 2 1,ABAC ABACtt=PABC4ABACAPABAC=+PB PCO(1,0),(0,3),(3,0),ABCD|1,CDOA OBOD=+则D C A B 题（10）图 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -8-9.(2007.陕西)如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为 30,且且|OA|OB|1，|OC|32，若OCOA+OB（，R）,则+的值为 .10.（2012.浙江）在A.中，M 是.的中点，AM=3，.=10，则AB AC=_ _.11设ABC，P0是边 AB 上一定点，满足 P0B=14AB，且对于 AB 上任一点 P，恒有PBPCP0BP0C，则 AABC=90.BAC=90.AB=AC DAC=BC 12（2013.重庆）在平面上，12ABAB，121OBOB=,12APABAB=+.若12OP，则OA的取值范围是（）A、50,2 .、57,22 .、5,22 D、7,22 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -9-第二篇数列第二篇数列 题型一：递推关系求通项题型一：递推关系求通项 题型特点题型特点 递推关系求数列通项除了基础模型：()1nnaaf n+=累加法，()1nnaf na+=累积法，1nnapaq+=+待定系数法，配凑法外，再介绍如下几个特殊模型及相应方法：1.1nnnapaq+=+，两边同除以1nq+，转化为111nnnnaapqq qq+=+，构造新数列nnnabq=；2.1nnapaanb+=+，待定系数法，()()11nnax nyp axny+=+，解出,x y，转化为等比数列naxny+；3.21nnnapaqa+=+，；4.()()()1nnnf n aag n ah n+=+，取倒数 5.1nnnpaqarah+=+待定系数法：211()nnnnasat asa+=，其中stpstq+=，求得1nnasa+通项后再转化求 na通项 特征根法：突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -10-典型例题典型例题（2012.全国卷改编）全国卷改编）函数()223f xxx=，定义数列 nx如下：112nxx+=，是过两点()()4,5,nnnPQxf x（）、的直线nPQ与 x 轴交点的横坐标，数列 nx的通项公式为 巩固练习巩固练习 1.（2010.重庆卷改编）在数列 na中，1a=1，()()1121*nnnacacnnN+=+，其中实数0c na的通项公式为 2.（2007.全国 1 改编）若数列 nb中12b=，13423nnnbbb+=+，123n=，nb的通项公式为 1 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -11-3.（2011.广东卷改编）设0,b 数列 na满足111=,(2)22nnnnbaab anan=+,数列 na的通项公式 4.设数列 满足，且，若 表不不超过 的最大整数，则（）A.2015 .2016 .2017 D.2018 5.已 知 各 项 都 为 整 数 的 数 列 中，且 对 任 意 的 ，满 足，则 _ 题型二：题型二：周期数列和分奇偶讨论的数列问题周期数列和分奇偶讨论的数列问题 题型特点题型特点 周期数列和分奇偶讨论的数列问题也是常考的两种特殊数列，周期数列可结合函数的周期性，特别是三角函数，来思考；分奇偶讨论的数列，体现的是分类讨论的思想和特殊与一般的思维。典型例题典型例题 已知数列 na 满足10a=，()1331nnnaanNa+=+，则20a=【解析】本题最快速的解法是列举几项找到规律；观察递推式的结构特征，联想与两角差的正切公式结构类似，分析如下：突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -12-（2013湖南）.设nS为数列na的前 n 项和，1(1),2nnnnSanN=则（1）3a=_；（2）12100SSS+=_。【解析】巩固练习巩固练习 1.已知数列 的首项为 2，且数列 满足，设数列 的前 项和为，则（）A.D.2.在数列 中，已知，记 为数列 的前 项和，则 _.3.（2012.新课标）数列na满足1(1)21nnnaan+=，则na的前60项和为 4.数列an的通项公式cos12nnan=+，前 n 项和为 Sn，则 S2012=_。5.已知正项数列 na的前 n 项和为nS ，且 1161nnnnaSnSS+=+，1am=，现有如下说法：25a=；当 n 为奇数时，33nanm=+；224232naaann+=+则上述说法正确的个数为（）A.0 个 .1 个 .2 个 D.3 个 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -13-题型三：数列创新题题型三：数列创新题 题型特点题型特点 归纳猜想，找规律是解决数学创新题的常用方法。由于是客观题，归纳猜想后，可无需用数学归纳法证明，简化了解题过程。而猜想的过程中，尽量保留每种特殊情况的分析过程，寻求变量与 n 的关系才是解题关键所在。典型例题典型例题（2018.北京北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点()kkkP xy，处，其中11x=，11y=，当2k时，11121 5551255kkkkkkxxTTkkyyTT=+=+，()T a表示非负实数a的整数部分，例如(2.6)2T=，(0.2)0T=按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 【答案】【答案】:(1,2)(3,402)【解 析解 析】:T5251kTk组 成 的 数 列 为1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1(k=1,2,3,4)。一一带入计算得：数列 nx为 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5；数列 ny为 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4.因此，第 6 棵树种在(1,2)，第 2008 棵树种在(3,402)。巩固练习巩固练习 1.定义在0，+）上的函数 f（x）满足：当 x1，2）时，；x0，+）都有 f（2x）=2f（x）设关于 x 的函数 F（x）=f（x）a 的零点从小到大依次为x1 ，x2 ，x3 ，xn ，若，则 x1+x2+x2n=_ 2.已知 f（x）=，设 f1（x）=f（x），fn（x）=fn1fn1（x）（n1，nN*），若 fm（x）=（mN*），则 m 等于（）A.9 .10 .11 D.126 3.数列an的前项和为 Sn ，且，用x表示不超过 x 的最大整数，如0.1=1，1.6=1，设bn=an，则数列bn的前2n项和b1+b2+b3+b4+b2n1+b2n=_ 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -14-4.已知函数f xsinx=（），若存在12 mxxx，满足1206mxxx，且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xn1）f（xn）|=12，（m2，mN*），则 m 的最小值为_ 5.（2016浙江）如图，点列An、Bn分别在某锐角的两边上且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1 ，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1 ，nN*，（PQ 表示点 P 与 Q 不重合）若 dn=|An.n|，Sn为An.n.n+1的面积，则（）A.Sn是等差数列 .Sn2是等差数列 .dn是等差数列 D.dn2是等差数列 6.如图，互不-相同的点12,nA AX和12,nB BB分别在角 O 的两条边上，所有nnA B相互平行，且所有梯形11nnnnA B BA+的面积均相等。设.nnOAa=若121,2,aa=则数列 na的通项公式是_*,23Nnnan=_。7.（03江苏）设,0a如图，已知直线axyl=:及曲线.：2xy=，.上的点 Q1的横坐标为1a，（aa 10）.从.上的点 Qn（n1）作直线平行于 x 轴，交直线 l 于点1+nP，再从点1+nP作直线平行于 y 轴，交曲线.于点 Qn+1.Qn（n=1，2，3，）的横坐标构成数列.na na的通项公式为 O c y l x Q1 Q2 Q3 r2 r1 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -15-第三篇立体几何第三篇立体几何 题型一：多面体与球题型一：多面体与球 题型特点题型特点 多面体与外接球问题，可分为两类：一类是可套入长方体、圆锥、圆柱模型的，转化为这三个基本模型的外接球；另一类是取多面体的某两个面所在的小圆，过两小圆的圆心作截面的垂线，垂线交点即为球心，进而通过垂径定理，勾股定理计算得球半径；多面体与内切球问题，类比多边形与内切圆，多面体体积=13多面体表面积内切球半径。典型例题典型例题 （2006 江西）.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC、DC分别截于E、F.如果截面将四面体分为体积相等的两部分,设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别为1S、2S,则必有（）A.12SS .12SS=D.1S、2S的大小关系不能确定 （2005全国）将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （A）3623+（.）2+362 （.）4+362 （D）36234+突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -16-巩固练习巩固练习 1.（2012.新课标）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC=；则此棱锥的体积为（）()A26 ()B 36 ()C 23 ()D22 2.（2006.山东）如图，在等腰梯形 A.D 中，A.=2D.=2，DA.=60，E 为 A.的中点，将ADE 与.E.分别沿 ED、E.向上折起，使 A、.重合于点 P，则三棱锥 PD.E 的外接球的体积为（A）4 327 （.）62 （.）68 （D）624 3.（2011.辽宁）已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB=3，30=BSCASC，则棱锥 SABC 的体积为（）A33 .32 .3 D1 4.（2008.宁夏）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为 3，则这个球的体积为 5.（2016新课标）在封闭的直三棱柱 A.A1.1.1内有一个体积为 V 的球，若 A.，A.=6，.=8，AA1=3，则 V 的最大值是（）A.4 .6 D.6.将边长为 的正方形 沿对角线 折成一个直二面角.则四面体 的内切球的半径为（）A.1 .D.7.在三棱锥 中，平面，A E B C D 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -17-是边 上的一动点，且直线 与平面 所成角的最大值为，则三棱锥 的外接球的表面积为（）A.D.8.（2017新课标卷）已知三棱锥 SA.的所有顶点都在球 O 的球面上，S.是球 O 的直径，若平面 S.A平面 S.，SA=A.，S.=.，三棱锥 SA.的体积为 9，则球 O 的表面积为_ 9.半径为 R 的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个互相垂直的面都相切，若球心到墙角的距离是，则球的表面积是_ 题型二：题型二：立体几何中的动态问题立体几何中的动态问题 题型特点题型特点 空间中的动态问题是立体几何中的难点，具体分为：截面问题，折展问题、最值范围问题和轨迹问题。截面问题，常以正方体为背景，常用平行，相交，构建辅助面等方法，本质上是研究共面问题；折展问题，关键把握折叠前后的变与不变；最值范围问题，往往与折展问题结合，可通过建系量化，转化为函数问题；轨迹问题，则需结合解析几何求轨迹的方法，充分利用圆锥曲线等各种曲线类型的定义。典型例题典型例题 截面问题截面问题（2013.安徽安徽）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P 为.的中点，Q为线段1CC上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。当102CQ时，S 为四边形 当12CQ=时，S 为等腰梯形 当34CQ=时，S 与11C D的交点 R 满足1113C R=当314CQ时，S 为六边形 当1CQ=时，S 的面积为62【答案】【解析】CQDTPQATPQATTDD22/1=且，则相交于设截面与.对，时当210.CQ,则.10 DT所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -18-对,1 =DT,21.时当=CQ重合与1,DT，截面S为四边形.,11QDAPAPQD=所以截面S为等腰梯形.所以为真.对,时当43.=CQ.31.21,23,411111=RCTDDTQC利用三角形相似解得所以为真.对,2 DT23,143.时当CQ.截面S与线段1111CD,DA相交，所以四边形S为五边形.所以为假.对,AGAPCGDASCCQ111111,Q1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当=.对角线长度分别为.2632的面积为，和S 所以为真.综上，选 折展求范围问题折展求范围问题（2009.浙江浙江）如图，在长方形ABCD中，2AB=，1BC=，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD 平面ABC在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt=，则t的取值范围是 【答案】1,12 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 D.的中点时，1t=，随着 F 点到.点 时，因,CBAB CBDKCB平 面ADB，即 有CBBD，对 于2,1,3CDBCBD=，又1,2ADAB=，因此有ADBD，则有12t=，因此t的取值范围是1,12 折展求折展求最值最值问题问题（2017.新课标新课标）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为O。D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。【答案】4 cm3 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -19-【解析】由题意，连接 OD，交.于点 G，由题意得 OD.，OG=.，即 OG 的长度与.的长度成正比，设 OG=x，则.=2 x，DG=5x，三棱锥的高 h=，=3，则 V=，令 f（x）=25x410 x5 ，x（0，），f（x）=100 x350 x4 ，令 f（x）0，即 x42x30，解得 x2，则 f（x）f（2）=80，V=4 cm3 ，体积最大值为 4 cm3 故答案为：4 cm3 轨迹问题轨迹问题（2010.重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A直线 .椭圆 .抛物线 D双曲线 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -20-巩固练习巩固练习 1.（2007 安徽）在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.2.（2016浙江）如图，在A.中，A.=.=2，A.=120若平面 A.外的点 P 和线段 A.上的点 D，满足 PD=DA，P.=.A，则四面体 P.D 的体积的最大值是_ 3.如图，四边形 A.D 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ上，E、F 分别为 A.、.的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为，则的最大值为 .4.在正四棱柱 中，顶点 到对角线 和到平面 的距离分别为 和，则下列命题中正确的是（）A.若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为 .若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为 .若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为 D.若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为 5.如图，在棱长为 1 的正方体 中，点，分别是棱，的中点，是侧面 内一点，若，则线段 长度的取值范围是（）A.D.6.过正方体 的顶点 作平面，使棱、所在直线与cos突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -21-平面 所成的角都相等，则这样的平面 可以作（）A.1 个 .2 个 .3 个 D.4 个 7.如图，已知正方体 上、下底面的中心分别为，将正方体绕直线 旋转一周，其中由线段 旋转所得图形是（）A.D.8.已知直三棱柱 的侧棱长为 6，且底面是边长为 2 的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）A.3 .D.4 9.底面为正方形的四棱锥 SA.D，且 SD平面 A.D，SD=，A.=1，线段 S.上一 M 点满足=，N 为线段.D 的中点，P 为四棱锥 SA.D 表面上一点，且 DMPN，则点 P 形成的轨迹的长度为（）A.D.2 10 在我国古代数学名著九章算术中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵 A.A1.1.1中，A.=.，AA1A.，堑堵的顶点.1到直线 A1.的距离为 m，.1到平面 A1.的距离为 n，则 的取值范围是（）A.（1，）.（，）.（，）D.（，）11.将一张边长为 12cm 的正方形纸片按如图（1）所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图（2）所示放置如果正四棱锥的主视图是等边三角形，如图（3）所示，则正四棱锥的体积是（）A.cm3 .cm3 .cm3 D.cm3 12.在棱长为 6 的正方体 A.DA1.1.1D1中，M 是.的中点，点 P 是面 D.1D1内的动点，且满足APD=MP.，则三棱锥 P.D 的体积最大值是（）A.36 .12 .24 D.18 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -22-13.如图，边长为 a 的等边三角形 A.的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知ADE是ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）FADE；.平面 ADE；三棱锥 AFED 的体积有最大值 A.D.14.如图，在直三棱柱 A.A1.1.1中，A.=1，.=2，.1=3，A.=90，点D 为侧棱.1上的动点，当 AD+D.1最小时，三棱锥 DA.1的体积为_ 15.某几何体的一条棱长为 3，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 2 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为_ 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -23-第四篇解析几何第四篇解析几何 题型一：离心率问题题型一：离心率问题 题型特题型特点点 求离心率的本质是探求圆锥曲线中，a、b、c 之间的数量关系，知道 abc 任意两者间的齐次等式或不等式就可以解出 e 的值或范围。除了直接法，将题目条件转化为 a、b、c 关系外，我们还可以借助焦点三角形，第二定义焦半径，渐近线等基本问题模型来解决离心率问题。典型例题典型例题 直接法直接法（2009 江苏江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,A A B B为椭圆22221(0)xyabab+=的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1B F相交于点 T，线段OT与椭圆的交点恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 .学科网【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线12AB的方程为：1xyab+=；直线1B F的方程为：1xycb+=。二者联立解得：2()(,)ac b acTacac+，则()(,)2()acb acMacac+在椭圆22221(0)xyabab+=上，2222222()1,1030,1030()4()caccacaeeacac+=+=+=，解得：2 75e=焦点三角形焦点三角形模型模型（2014.湖北湖北）已知12,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且123FPF=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.4 33 .2 33 .3 D.2【答案】A 【解析】设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1 ，（aa1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1 ，|PF2|=r2 ，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为 e1 ，e2F1PF2=，由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，M突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -24-在椭圆中，化简为即 4c2=4a23r1r2 ，即，在双曲线中，化简为即 4c2=4a12+r1r2 ，即，联立得，=4，由柯西不等式得（1+）（）（1+）2 ，即（）=即，d 当且仅当 时取等号，另法：椭圆的焦点三角形中，结合椭圆定义和余弦定理，我们可以证明如下结论，请试试：椭圆的焦点三角形中，结合椭圆定义和余弦定理，我们可以证明如下结论，请试试：12,F F为椭圆22221xyab+=的左右焦点，P 是椭圆上的动点，若12FPF=，则椭圆离心率e的取值范围为sin12e。椭圆和双曲线的焦点三角形中，结合定义和正弦定理，还可以证明如下结论，请试试：椭圆和双曲线的焦点三角形中，结合定义和正弦定理，还可以证明如下结论，请试试：（1）12,F F为椭圆22221xyab+=的左右焦点，P 是椭圆上的动点，若12PFF=，21PF F=则椭圆离心率sin()sinsine+=+。（2）12,F F为双曲线22221xyab=的左右焦点，P 是椭圆上的动点，若12PFF=，21PF F=则椭圆离心率sin()sinsine+=。运用以上结论，再重新思考上面例题，是否有更快的方法？设 PF1|=m，|PF2|=n，则，则 a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -25-即=sin（120）=故选：A 焦半径焦半径模型模型 (2010四川四川)椭圆22221()xyabab+=的右焦点F，其右准线与x轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 A20,2 .10,2 .)2 1,1 D1,12 常用结论：常用结论：椭圆焦半径取值范围,ac ac+；动点在双曲线右支时，焦半径取值范围),ca，动点在双曲线左支时，焦半径取值范围),ca+渐近线渐近线模型模型（2006.福建福建）已知双曲线22221(0,0)xyabab=的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）(1,2 （.）(1,2)（.）2,)+（D）(2,)+本例由直线与双曲线位置关系几何判断方式，得到渐近线斜率范围，进而得离心率范围 突破压轴客观题 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料 -26-巩固练习巩固练习 1.（2004 全国 改编）设双曲线.：1:)0(1222=+=yxlayax与直线相交于两个不同的点 A、.，求双曲线.的离心率 e 的取值范围 2.（2004 重庆）已知双曲线22221,(0,0)xyabab=的左，右焦点分别为12,F F,点 P 在双曲线的右支上，且12|4|PFPF=,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：()A 43 .53 .2 D 73 3.（2009 重庆）已知双曲线22221(0,0)xyabab=的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcF c，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPF Fc=，则该双曲线的离心率的取值范围是 4.（2010 全国）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且FDBF2=，则的离心率为 .5.（2012 浙江）如图，F1,F2分别是双曲线.：（a,b0）的在左、右焦点，.是虚轴的端点，直线 F1.与.的两条渐近线分别教育 P,Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M，若|MF2|=|F1F2|,则.的离心率是 A.D.6.（2009 浙江）过双曲线22221(0,0)xyabab=的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C若12ABBC=，则双曲线的离心率是()A2 .3 .5 D10 7.（2009 全国）.已知双曲线2222:1(yCaab=0，b0)的右焦点为 F 且斜率为3的 直线交.于 A、.两点，若4AFFB=，则.的离心率为（）（A）65 （.）75 （.）85 （D）95 8.（2013浙江）如图 F1、F2是椭圆.1：2214xy+=与双曲线.2的公共焦点，A、.分别是.1、.2在第二、四象限的公共点，若四边形 AF1.F2为矩形，则.2的离心率是（）FCBBFCDC22221xyab=2 336223突破压轴客观题