高等数学三线形方程组.pptx

一、一、向量的内积向量的内积定义定义1设 n 维向量=(x1,x2,xn),=(y1,y2,yn).定义数：x1 y1+x2 y2+xn yn为向量 与 的内积，记为(,).即(,)=x1 y1+x2 y2+xn yn.注注：定义了内积的 n 维向量空间Rn称为 n 维欧氏空间(Euclid Space)，仍记为 Rn.性质性质(1)交换律(,)=(,);(2)分配律(,)=(,)(,);(2)与(3)等价于(+,)=(,)(,);、R(4)非负性(,)0,且(,)=0=0.(3)内积满足如下结合律:(,)=(,)=(,);R定义定义2设 n 维向量=(a1,a2,an).称为向量 的模(或长度).特别：特别：|=1的向量 称为单位向量，为一单位向量称为 的单位化。当 0时，二、二、向量的长度与夹角向量的长度与夹角,Rn,R,则(2)正齐次性|=|;(3)三角不等式|.长度的性质长度的性质:(1)非负性|0,若|=0=0;定理定理 1(Chauchy-Schwarz不等式不等式)向量 和 线性相关.重要不等式定义定义 3记为.设,为Rn中两个向量，定义与的夹角为当(,)=0时，称与 垂直(正交)特别特别:定理定理2(勾股定理)设1,2,k为欧氏空间Rn中两两正交的向量，即(i,j)=0,ij，则|1+2+k|2=|1|2+|2|2+|k|2证证:=|1|2+|2|2+|k|2|1+2+k|2=(1+2+k,1+2+k)例例1 1 已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与的长度及它们的夹角.解：而(,)=18故1、正交向量组定义定义4若(a,b)=0，则称a与b是正交的，记作 ab。注：注：零向量与任何向量正交。定义定义5在欧氏空间中，一组两两正交的向量组称为正交向量组。三、标准正交基三、标准正交基定理定理4非零的正交组是线性无关的。证：设1,2,m是一组非零正交组，并设k11+k22+kmm=0用 1 与等式两边作内积，得0=(0,1)=k1(1,1)+k2(2,1)+ki(i,1)+km(m,1)类似地：用i(i=2,3,m)与等式两边作内积，得k1=0,得ki=0,(i=2,3,m),故1,2,m线性无关。设1,2,m是一组线性无关的向量，利用这组向量可构造出正交向量组。1.正交化(1)令1=1；(2)求2=211使0=(2,1)=(211,1)=(2,1)1(1,1).得1=(2,1)/(1,1),2、施密特(Schmidt)正交化(3)求3=31122,使=(3,1)1(1,1)+2(2,1)0=(3,1)=(31122,1)=(3,2)1(1,2)2(2,2)0=(3,2)=(31122,2)得(4)类似地，得：(i=1,2,m)1,2,m 是一组正交组。2.单位化取则1,2,m 是一组正交的单位向量组。以上方法称为施密特(schmidt)正交化方法它包括正交化和单位化两个过程。例例2将线性无关组1=(2,0),2=(1,1)化成正交的单位向量组解：解：(1)正交化令1=1=(2,0)(2)单位化则1,2是一组正交的单位向量组。定义定义6在 n 维欧氏空间 V 中若一个基的 n 个向量1,2,n 是两两正交的单位向量，即(i,j)=1.i=j0.ij则称该基为标准正交基。3、标准正交基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),en=(0,0,1)就是一个标准正交基。例如：例如：Rn中，证证:且故1,2,3,4为R4的标准正交基.例例3 为 R4 的标准正交基.证明即|i|=1,i=1,2,3,4注：注：利用施密特正交化方法，可从欧氏空间的任一个基出发，找到一个标准正交基。定理定理5 5若n维向量1,2,n 是一组标准正交基.则n维向量=(x1,x2,xn)在基1,2,n下的第j个分量为:证证:解解:例例4 4证明证明1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0),为R3的一组基并用施密特正交化方法构造R3的一组标准正交基。则r(A)=3.从而1,2,3 线性无关,构成R3的一个基.令1=1=(1,2,1),=(1,3,1)6(1,2,1)(1)正交化正交化1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0),(2)单位化单位化1=(1,2,1),3=(2,0,2).则1,2,3 是一组标准正交基。即 ATA=E，此时有,为列作矩阵以定理定理6A 是正交矩阵定义定义7若ATA=E(或AAT=E),则称 A 为一个正交矩阵.设 A 为 n 阶实矩阵，是 Rn 的一组标准正交基.A 的行(列)向量定理定理7由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，如果标准正交基到第二组基的过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基也是标准正交基。5 5 线性变换线性变换一、线性变换的定义一、线性变换的定义T(+)=T()+T()(2)对任意V,及任意实数 k，有T(k)=kT()则称T为V 的一个线性变换.定义定义1 1向量空间V到自身的一个映射T，称为V的一个变换。若T满足：(1)对任意,V,有向量 在 T 下的像，记为T()或T.注2：用粗体大写字母T,A，B，C，表示线性变换，它构成一个线性空间，定义变换T：全体的集合，设表示定义在R上次数不超过的多项式例例1 1：故T 为 的一个线性变换.对注1：定义式中（1），（2）可表示为证：证：T(+)=(+)A=A+A=T+T例例2 2：设A为一n阶实矩阵，对任意Rn，令 T=A,则T为Rn 中的线性变换.T(k)=(k)A=k(A)=k(T)故 T 为 Rn 中的线性变换.V 中两类特殊的线性变换：1.恒等变换 EE=,V2.零变换 OO=0,V定理定理1 1设 T 是V 的一个线性变换，则(1)T把零向量变到零向量，把 的负向量变到 的像的负向量，即T 0=0；T()=T.(2)T保持向量的线性组合关系不变,即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.(3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组.定义定义2 2设 L(V)是向量空间V的全体线性变换的集合,定义 L(V)中的加法，数乘与乘法如下：加法:(T1+T2)=T1+T2;数乘:(kT)=kT乘法:(T1T2)=T1(T2)对 V,kR.可证；若 T1,T2 均为 V 的线性变换，则T1+T2，T1T2，均为 V 的线性变换.二、线性变换的矩阵二、线性变换的矩阵T=k1 T 1+k2 T 2+km T m设 V 为向量空间,dim(V)=m.1,2,m 为V 的一组基，T 为 V 的一个线性变换.=k11+k22+kmmT1=a111+a212+am1mT2=a121+a222+am2mTm=a1m1+a2m2+ammm 即(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A其中简记为(1,2,m)=(1,2,m)A设（1）（2）称矩阵A为线性变换T在基1,2,m下的矩阵.给定V的基1,2,m,线性变换T矩阵A定理定理3 3设 V 的线性变换 T有(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A向量在基1,2,m下的坐标为(x1,x2,xm)，T T在此基下的坐标为(y1,y2,ym),则=(1,2,m)A=x11+x22+xmmT=x1 T 1+x2 T 2+xm T m=(1,2,m)证明：所以例例3 3：设 R3 的线性变换TT(x1,x2,x3)=(a11x1+a12x2+a13x3,a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3)求 T 在标准基1,2,3下的矩阵.解：解：T1=T(1,0,0)=(a11,a21,a31)=a111+a21 2+a31 3T2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)=a121+a22 2+a32 3T3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)=a131+a23 2+a33 3故 T 在标准基 1,2,3 下的矩阵为特例：特例：线性变换 T=k 数量矩阵kE恒等变换 T=单位矩阵E零变换 T=0 零矩阵O三、线性变换在新基下的矩阵三、线性变换在新基下的矩阵1,2,m；1,2,m定理定理4 4 设向量空间V有两组基，分别为则B=C1AC证明：(1,2,m)B=T(1,2,m)(1,2,m)=(1,2,m)C且T(1,2,m)=(1,2,m)AT(1,2,m)=(1,2,m)T=(1,2,m)C=(1,2,m)AC=(1,2,m)C1AC故B=C1AC定义定义5 5设 A,B 为两 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 C，使 B=C1AC,则称方阵 A 与 B 相似，记为AB.(1)AA(反身性)(2)AB BA(对称性)(3)AB,BC AC(传递性)AC1BC=B=(FD)-1 C(FD)A=D-1DCF)=D-1D(F-1性质：性质：解：解：从e1,e2,e3 到1,2,3的过渡矩阵例例5 5线性变换T在R3中基e1,e2,e3下的矩阵为求T在基1=2e1+3e2+e3,2=3e1+4e2+e3,3=e1+2e2+2e3 下的矩阵.故线性变换 T 在 1,2,3 下的矩阵B=C1AC三、线性变换的特征值与特征向量三、线性变换的特征值与特征向量问题问题:线性变换在何种基下对应对角矩阵?定义定义6 6设 T 是向量空间 V 的一个线性变换,如果存在数 及 n 维非零向量 ，使得T =成立，则称 为T的一个特征值，而 称为 T 对应于特征值 的一个特征向量。注：若 为 T的属于特征值 的一个特征向量,则k(k0)也为T的属于特征值 的特征向量.T(k)=kT=k =(k)若 1,2,m为T 的特征向量，且构成 V 的基由Ti=i iT（1,2,m）=（1,2,m）T在特征向量这组基下对角矩阵定理定理5 5设 V 为 m 维向量空间，T为 V 的一个线性变换.那么存在 V 的一组基，使得 T在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 T 有 m 个线性无关的特征向量.特征值，特征向量 的求法：设1,2,m为V 的一组基(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A=(1,2,m)A=x11+x22+xmmT=x1T1+x2T2+xmTm=(1,2,m)=(1,2,m)满足：A=即 (A E)X=0定定义义7设 A R nn，如果存在数 及 n 维非零向量 X，使得A X=X成立，则称 为矩阵 A 的一个特征值，而 X称为矩阵 A 对应于特征值 的一个特征向量。注：T =A X=X(A E)X=0其中A 为在基1,2,m下的矩阵.X为的坐标定义定义3 3欧氏空间 V 的线性变换T称为正交变换，若对任意,V,均有(T,T)=(,)定理定理2 2设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：(1)T是正交变换；(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的 V,|T|=|;(3)如果1,2,m是V的标准正交基,则T1,T2,Tm也是V的标准正交基；(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.一、非齐次线性方程组的解的存在性一、非齐次线性方程组的解的存在性m 个方程，n 个未知量的非齐次线性方程组(1)a11 x1+a12 x2+a1n xn=b1a21 x1+a22 x2+a2n xn=b2 am1 x1+am2 x2+amn xn=bm1 1 线性方程组的线性方程组的消元法消元法称为方程组(1)的系数矩阵为方程组(1)的增广矩阵A=定义定义1若非齐次线性方程组(1)有解，则称该方程组是相容的。否则，则称不相容。例例1解方程组2x1 x2+3x3=14x1+2x2+5x3=42x1 +2x3=6解：解：用消元法2x1 x2+3x3=14x1+2x2+5x3=42x1+2x3=62x1 x2+3x3=14x2 x3=2x2 x3=5r2 2r1r3 r1(2)2(1)(3)(1)2x1x2+x3=13x3=18x2x3=5(2)(2)(3)2x1x2+x3=1x2x3=5x3=6r2 4r3r2r2r3(2)4(3)x1=9x2=1x3=6此时(未知数的个数)是方程组的唯一解例例2讨论方程组是否有解。2x1+x2+x3=2x1+3x2+x3=5x1+x2+5x3=72x1+3x2 3x3=15解：解：r(A)=3,r(A)=4初等行变换1对应的方程组化成x1+3 x2+x3=5x2 2x3=62x3=20 x1+0 x2+0 x3=1方程组无解!例例3 3讨论方程组是否有解x1+x2+x3 x4=1x1 x2 x3+x4=02x1 2x2+2x3 2x4=2解解r2 r1r(A)=r(A)=2 4(未知量个数)对应的方程组化成对应的方程组化成x1 x2+x3 x4=1 2x3+2x4=1x1+x3=1+x2+x4 有两个自由未知量任取r(A)=r(A)=2 4(未知量个数)得方程组解其中c1,c2 可任意选定x2=c1x4=c2在非齐次线性方程组(1)中，若定理定理 2(1)若r=n 则方程组(1)有唯一组解(2)若r n 则方程组(1)有无穷多个解定理定理 1非齐次线性方程组(1)有解例例4 4讨论，取何值时，方程组 无解？有唯一解？有无穷多个解？x1+2x3=1x1+x2 3x3=22x1 x2+x3=解：解：r2+r1r3 2 r1r3+r2(I)=5,3 时，无解.(II)=5,=3 时,有无穷多个解.(III)5 时,有唯一解.二、齐次线性方程组的非零解的存在性二、齐次线性方程组的非零解的存在性设有设有 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组a11 x1+a12 x2+a1n xn=0a21 x1+a22 x2+a2n xn=0 am1 x1+am2 x2+amn xn=0(3)简记为(4)A X=0方程组(3)总有解。x1=x2=xn=0.称为零解或平凡解。齐次线性方程组(3)有非零解r(A)n定理定理3齐次线性方程组(3)，当 m n 时，有非零解推论推论 1(方程个数 未知量个数)推论推论 2 齐次线性方程组(3)，当 m=n 时，有非零解|A|=0例例5:5:判定下列齐次线性方程组是否有非零解。(1)x1+2x2+5x3 =0 x1+3x2 2x3 =03x1+7x2+8x3=0 x1+4x2 9x3 =0解：解：A=r2 r1r3 3r1r4 r1r1 2r2r(A)=2 方程组有非零解进一步:还可得：x1=17x3x2=7x3(2)x1+x2 +x3 =0 x1+2x2+3x3=0 x1+3x2+6x3=0解法一：|A|=1 0所以方程只有唯一的一组零解。r(A)=3 方程组无非零解，只有唯一的一组零解.A=r2 r1r3 r1r3 2r2解法二：