资源描述
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相似三角形的性质及应用
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3. 相似三角形周长的比等于相似比
∽，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则分别作出与的高和，则
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
要点二、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
要点诠释：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典型例题】
类型一、相似三角形的性质
1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.
【答案】
设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.
(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，
从而x=cm，y=cm.
(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，
从而x=cm，y=cm.
(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，
从而x=cm，y=cm.
综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm
或cm， cm三种可能.
2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
【答案】∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，
∴ △AEH∽△ABC.
∵ AD⊥BC，
∴ AD⊥EH，MD=EF.
∵ 矩形两邻边之比为1：2，
设EF=xcm，则EH=2xcm.
由相似三角形对应高的比等于相似比，得，
∴ ，
∴ ，
∴.
∴ EF=6cm，EH=12cm.
∴
举一反三
1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.
【答案】在和中，
，
.
又∵
∽，相似比为.
的周长为，的面积是 .
2、 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.
∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2
且，，
∴，
∴.
3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）
A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21
【答案】B.
【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,
在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,
由△ADE∽△ACB得，
S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.
4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.
【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F，
∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△ADB∽Rt△CEB,
∴,
且∠B=∠B，
∴△EBD∽△CBA,
∴,
∴,
又∵DE=2，
∴AC=6，
∴
5、已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，
且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
【答案】∵DA∥BC， ∴△ADE∽△BCE．
∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．
∵AE︰BE=1:2， ∴S△ADE:S△BCE=1:4．
∵S△ADE=1， ∴S△BCE=4．
∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2， ∴S△ABC=6．
∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC．
∵AE:AB=1:3， ∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9． ∴S△AEF==．
6、如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上.
(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.
(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.
【答案】 (1)∵，
∽
.
(2)∵的周长与四边形的周长相等.
=6，
∽
.
类型二、相似三角形的应用
3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？
∵AB⊥BC，CD⊥BC
∴∠ABO=∠DCO=90°
又 ∵ ∠AOB=∠DOC
∴△AOB∽△DOC.
∴
∵BO=50m，CO=10m，CD=17m
∴AB=85m
即河宽为85m．
4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
【答案】(1)△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°
∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE
(2)由(1)得△ABC∽△ADE
∴
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
∴
∴DE=16m
即古塔的高度为16m。
举一反三
1、小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？
【答案】
如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,
根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，
∠BAP=∠DCP=90°，
∴ △ABP∽△CDP,
∴,
即,
∴DC=6.3米.
即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.
2、在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）
A.24m B.22m C.20m D.18m
【答案】 A.
【解析】过点D做DN⊥CD交光线AE于点N，则,DN=14.4，
又∵AM:MN=1.6:1，∴AM=1.6MN=1.6BD=1.6×6=9.6
∴塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24，所以选A.
3、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.
【答案】作EF⊥DC交AD于F.
∵AD∥BE，∴
又∵，
∴， ∴.
∵AB∥EF， AD∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴EF=AB=1.8m. ∴m.
【巩固练习一】
一、选择题
1．如图1所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是( )
A． B．
C． D．
（图1） （图2）
2. 如图2, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE : S△ABC为 ( )
A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:2
3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）．
A．24米 B．54米 C．24米或54米 D．36米或54米
4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( )
A．3 B．7 C．12 D．15
5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（ ）倍.
A.2 B.4 C.2 D.64
二、填空题
7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．
8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.
9．如图，小明为了测量一座楼MN的高，在离点N为20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到点C，正好从镜中看到楼顶M，若AC＝1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度是__________.（精确到0.1m）
10. 梯形ABCD中，AD∥BC,AC，BD交于点,若=4， =9，=________.
11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则________________.
12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的________倍.
三、解答题
13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？
14. 如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．
（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）．
（2）已知：MN=30m，MD=12m，PN=36m．求（1）中的点C到胜利街口的距离．
15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.
(1)找出与相似的三角形.
(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】D．
【解析】提示：相似比为1:3．
2．【答案】B．
【解析】提示：面积比等于相似比的平方．
3．【答案】C.
4．【答案】B.
5．【答案】B.
【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP．
6．【答案】C．
【解析】提示：面积比等于相似比的平方．
二．填空题
7．【答案】3.
8．【答案】45cm2.
9．【答案】21.3m．
10．【答案】25.
【解析】∵ AD∥BC，∴ △AOD∽△COB，∴ ，∴ AO:CO＝2:3，
又∵，∴ ，又 ，
∴ ．
11.【答案】4:10:25
【解析】∵ 平行四边形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴∵△DEF与△BEF是同高的三角形，∴
12．【答案】.
三.综合题
13．【解析】作CE∥DA交AB于E，设树高是xm，
∵ 长为1m的竹竿影长0.9m
∴
即 x＝4.2m
14．【解析】(1)如图1所示，CP为视线，点C为所求位置．
(2)∵ AB∥PQ，MN⊥AB于M，
∴ ∠CMD＝∠PND＝90°．
又∵ ∠CDM＝∠PDN，
∴ △CDM∽△PDN，
∴
∵ MN＝30m，MD＝12m，
∴ ND＝18m．
∴
∴ CM＝24(m)．
∴ 点C到胜利街口的距离CM为24m．
15．【解析】(1)与△BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：
△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP．
(2)①如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E，
则
∵ △PDE∽△BCP
∴ △PDE与△BCP的周长比是1:2
∴ △BCP的周长是2a．
②如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
则，
∵ △PCE∽△BCP
∴ △PCE与△BCP的周长比是1:2
∴ △BCP的周长是2a．
③如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
∴
∵ △BPE∽△BCP
∴ △BPE与△BCP的周长比是:2，
∴ △BCP的周长是．
【巩固练习二】
一、选择题
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限 D．有无数个
2. 若平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为（ ）．
A．1.8 B．5 C．6或4 D．8或2
3. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且 那么等于（ ）
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积=( )
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
5. 如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（ ）
A.1︰2︰3︰4 B.2︰3︰4︰5 C.1︰3︰5︰7 D.3︰5︰7︰9
6．.如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( )
A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25
二、填空题
7.如图，梯形ABCD中，AB∥CD,AC、BD相交于点E，=___________.
8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.
9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是
_______________.
10.如图，△ABC中，DE∥BC,BE,CD交于点F，且=3，则：=______________.
11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________
12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，
则AC边上的高为______________.
三、解答题
13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．
证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴ OE∥DC．∵ ＝，∴ ＝＝．∴ ＝．
……
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．
15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．
【答案与解析】
一．选择题
1.【答案】B.
【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.
2.【答案】A.
3.【答案】B.
4.【答案】D.
5.【答案】C.
【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由，
所以，又由，可得，下略．
6.【答案】 A.
【解析】 □ABCD中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，
(△DEF与△EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.
二、填空题
7.【答案】.
【解析】∵且△DEC与△CEB是同高不同底的两个三角形，即因为AB∥CD,
所以△DEC∽△BEA,所以=
8.【答案】3.
【解析】 ∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AB=
∴BD=AB-AD=4-1=3.
9. 【答案】120°.
【解析】∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A，
∵ △PMN是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，
∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．
10.【答案】1:9
【解析】∵=3，∴FC:DF=3:1，又∵DE∥BC,∴△BFC∽△EFD,即BC：DE=FC:FD=3:1，
由△ADE∽△ABC，即：=1:9.
11.【答案】30m.
12.【答案】 6.
【解析】∵AD,CE分别为BC,AB边上的高,
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC
∴Rt△ABD∽Rt△CBE
∴，
∴△ABC∽△DBE
∵相似三角形面积比为相似比的平方，
∴= 9, ∴=3 ,
∴AC=3DE=3×2=6
∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6
即AC边上的高是6 .
三、解答题
13.【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴，
又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米，
∴ AB=1.92米．即图1的树高为1.92米．
（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，
∵竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，
∴
解得x=1.5（m），
∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），
∴
解得h=3.44（m）．
14.【解析】（1）补全证明过程:
∵ FG⊥BC，DC⊥BC，
∴ FG∥DC．
∴ ＝＝．
∵ AB＝DC，
∴ ＝．
又 FG∥AB，
∴ ＝＝．
∴ 点G是BC的一个三等分点．
（2）如图，连结DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，则点I是线段BC的一个四等分点.
15.【解析】（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t=，
故当t=时，DE=2DF；
（2）∵矩形ABCD的面积为：12×6=72，S△ABE=×12×t=6t，
S△BCF=×6×（12-2t）=36-6t，
∴四边形DEBF的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t=36，
故四边形DEBF的面积为定值.
（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，
则或，
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，
代入解得：t=12（舍去）或t=6（舍去）或t=，
故当t=时，以点D、E、F为顶点的三角形与△BCD相似．
22
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