九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案.pdf

.相似三角形的性质及应用相似三角形的性质及应用 【学习目标学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理要点梳理】要点一、相似三角形的性质要点一、相似三角形的性质1 1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.3.相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比，则由比例性质可得：4.4.相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B CBC ADk B C k A DSkSB CA DB CA D 要点诠释：要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用要点二、相似三角形的应用1.1.测量高度测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：.平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.2.测量距离测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。1如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出 AB 的长.2如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长.要点诠释：要点诠释：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离;2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角【典型例题典型例题】类型一、相似三角形的性质类型一、相似三角形的性质1.ABCDEF，若ABC 的边长分别为 5cm、6cm、7cm，而 4cm 是DEF 中一边的长度，你能求出DEF 的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是 xcm，ycm，且 xy.(1)当DEF 中长 4cm 线段与ABC 中长 5cm 线段是对应边时，有，从而 x=cm，y=cm.(2)当DEF 中长 4cm 线段与ABC 中长 6cm 线段是对应边时，有，从而 x=cm，y=cm.(3)当DEF 中长 4cm 线段与ABC 中长 7cm 线段是对应边时，有，从而 x=cm，y=cm.综上所述，DEF 的另外两边的长度应是cm,cm 或cm，cm或cm，cm 三种可能.2.如图所示，已知ABC 中，AD 是高，矩形 EFGH 内接于ABC 中，且长边 FG 在 BC上，矩形相邻两边的比为 1：2，若 BC=30cm，AD=10cm.求矩形 EFGH 的面积.【答案】四边形 EFGH 是矩形，EHBC，AEHABC.ADBC，ADEH，MD=EF.矩形两邻边之比为 1：2，设 EF=xcm，则 EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，.EF=6cm，EH=12cm.举一反三举一反三1、如图，在和中，的周长是 24，面积是 48，求的周长和面积.【答案】在和中，.又.，相似比为.的周长为，的面积是.2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为 1200 和 1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为ABC，地块在甲图上为A1B1C1，在乙图上为A2B2C2.ABCA1B1C1A2B2C2且，.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8，按如图那样折叠，使点 A 与点 B重合，折痕为 DE，则 SBCE：SBDE等于（）A.2：5 B14:25 C16:25 D.4:21【答案】B.【解析】由已知可得 AB=10，AD=BD=5，设 AE=BE=x,则 CE=8-x,在 RtBCE 中，x2-(8-x)2=62,x=,由ADEACB 得，SBCE：SBDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选 B.4、在锐角ABC 中，AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于 18.和 2，DE=2,求 AC 边上的高.【答案】过点 B 做 BFAC,垂足为点 F，AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高，ADB=CEB=90，又B=B，RtADBRtCEB,BDABBDBEBECBABCB即,且B=B，EBDCBA,221189BEDBCADEACSS,13DEAC,又DE=2，AC=6，11862ABCAC BFS，BF=.5、已知：如图，在ABC 与CAD 中，DABC，CD 与 AB 相交于 E 点，且 AEEB=12，EFBC 交 AC 于 F 点，ADE 的面积为 1，求BCE 和AEF 的面积【答案】DABC，ADEBCE SADE:SBCE=AE2:BE2 AEBE=1:2，SADE:SBCE=1:4 SADE=1，SBCE=4.SABC:SBCE=AB:BE=3:2，SABC=6EFBC，AEFABCAE:AB=1:3，SAEF:SABC=AE2:AB2=1:9 SAEF=6、如图，已知中，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)，.(2)的周长与四边形的周长相等.=6，.类型二、相似三角形的应用类型二、相似三角形的应用3.如图，我们想要测量河两岸相对应两点 A、B 之间的距离(即河宽)，你有什么方法？【答案】如上图，先从 B 点出发与 AB 成 90角方向走 50m 到 O 处立一标杆，然后方向不变，继续向前走 10m 到 C 处，在 C 处转 90，沿 CD 方向再走 17m 到达 D 处，使得 A、O、D 在同一条直线上那么 A、B 之间的距离是多少？ABBC，CDBCABO=DCO=90又 AOB=DOCAOBDOC.BO=50m，CO=10m，CD=17mAB=85m 即河宽为 85m4.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔 18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是 2 m(1)图中ABC 与ADE 是否相似?为什么?(2)求古塔的高度【答案】(1)ABCADE BCAE，DEAE，ACB=AED=90 A=A，ABCADE (2)由(1)得ABCADE AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，DE=16m 即古塔的高度为 16m。举一反三举一反三1、小明把一个排球打在离他 2 米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是 1.8 米，排球落地点离墙的距离是 7 米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】.如图，AB=1.8 米，AP=2 米，PC=7 米，作 PQAC,根据物理学原理知BPQ=QPD,则APB=CPD，BAP=DCP=90，ABPCDP,ABAPDCPC,即1.827DC,DC=6.3 米.即球能碰到墙上离地 6.3 米高的地方.2、在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE留在坡面上。已知铁塔底座宽 CD=12m，塔影长 DE=18m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2m 和 1m，那么塔高 AB 为（）A.24m B.22m C.20m D.18m 【答案】A.【解析】过点 D 做 DNCD 交光线 AE 于点 N，则1.60.82DNDE,DN=14.4，又AM:MN=1.6:1，AM=1.6MN=1.6BD=1.66=9.6塔高 AB=AM+DN=14.4+9.6=24，所以选 A.3、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 1.5m 宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离 CE=1.2m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度 BC.【答案】作 EFDC 交 AD 于 F.ADBE，又，.ABEF，ADBE，四边形 ABEF 是平行四边形，EF=AB=1.8m.m.【巩固练习一巩固练习一】一、选择题一、选择题.1如图 1 所示，ABC 中 DEBC，若 ADDB12，则下列结论中正确的是()A BCD （图 1）（图 2）2.如图 2,在ABC 中,D、E 两点分别在 AB、AC 边上,DEBC.若 AD:DB=2:1,则 SADE:SABC为()A.9:4 B.4:9 C.1:4 D.3:2 3某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为 94，其中一块草坪的周长是 36 米，则另一块草坪的周长是（）A24 米 B54 米 C24 米或 54 米 D36 米或 54 米4.图为ABC 与DEC 重叠的情形，其中 E 在 BC 上，AC 交 DE 于 F 点，且 AB/DE.若ABC 与DEC 的面积相等，且 EF=9，AB=12，则 DF=()A3 B7 C12 D15 5如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知ABBD，CDBD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米，那么该古城墙的高度是（）A6 米 B8 米 C18 米 D24 米6.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的 8 倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍.A.2 B.4 C.2 D.64 二、填空题二、填空题7.如图所示，为了测量一棵树 AB 的高度，测量者在 D 点立一高 CD2m 的标杆，现测量者从 E 处可以看到杆顶 C 与树顶 A 在同一条直线上，如果测得.BD20m，FD4m，EF1.8m，则树 AB 的高度为_m 8.已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为 25，则较大三角形的面积为_.9如图，小明为了测量一座楼 MN 的高，在离点 N 为 20m 的 A 处放了一个平面镜，小明沿 NA 后退到点 C，正好从镜中看到楼顶 M，若 AC1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度是_.（精确到 0.1m）10.梯形 ABCD 中，ADBC,AC，BD 交于点O,若AODS=4，OCSB=9，S梯形ABC D=_.11.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 上一点，DE:CE=2:3，连接 AE,BE,BD,且AE,BD 交于点 F，则:DEFEFBAFSSSB_.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的_倍.三、解答三、解答题题13.一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 1.2m，又测得地面部分的影长 2.7m，他求得树高是多少？.14.如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为 AB，PQ，并且 ABPQ，建筑物的一端DE 所在的直线 MNAB 于点 M，交 PQ 于点 N，小亮从胜利街的 A 处，沿着 AB 方向前进，小明一直站在点 P 的位置等待小亮（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点 C 标出）（2）已知：MN=30m，MD=12m，PN=36m求（1）中的点 C 到胜利街口的距离 15.在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.(1)找出与相似的三角形.(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？【答案与解析答案与解析】一选择题一选择题1【答案】D【解析】提示：相似比为 1:32【答案】B【解析】提示：面积比等于相似比的平方3【答案】C.4【答案】B.5【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以ABPCDP.6【答案】C【解析】提示：面积比等于相似比的平方二填空题二填空题7【答案】3.8【答案】45cm2.9【答案】21.3m10【答案】25.【解析】ADBC，AODCOB，2AODBOC49SAOCOS，AO:CO2:3，又AODDOC23SAOSOC，COD6S，又 CODAOBSS，ABCD492 625S 梯形11.【答案】4:10:25【解析】平行四边形 ABCD，DEFBAF,2DEFAEBSDESAB，DE:EC=2:3,DE:DC=2:5,即 DE:AB=2:5，DEFBAFSSDEF 与BEF 是同高的三角形，DEFBEFSS24.51012【答案】22.三三.综合题综合题13【解析】作 CEDA 交 AB 于 E，设树高是 xm，长为 1m 的竹竿影长 0.9m 11.20.92.7x 即 x4.2m14【解析】(1)如图 1 所示，CP 为视线，点 C 为所求位置 (2)ABPQ，MNAB 于 M，CMDPND90又 CDMPDN，CDMPDN，.CMDMPNDN MN30m，MD12m，ND18m 123618CM CM24(m)点 C 到胜利街口的距离 CM 为 24m15【解析】(1)与BPC 相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：PDEBCP，PCEBCP，BPEBCP (2)如图(1)，当点 P 位于 CD 的中点时，若另一直角边与 AD 交于点 E，则12PDBC PDEBCP PDE 与BCP 的周长比是 1:2 BCP 的周长是 2a如图(2)，当点 P 位于 CD 的中点时，若另一直角边与 BC 延长线交于点E 时，则12PCBC，PCEBCP PCE 与BCP 的周长比是 1:2 BCP 的周长是 2a如图(2)，当点 P 位于 CD 的中点时，若另一直角边与 BC 延长线交于点E 时，52BPBC BPEBCP BPE 与BCP 的周长比是5:2，BCP 的周长是2 55a.【巩固练习二巩固练习二】一、选择题一、选择题1如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（）A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上，但有限 D有无数个2.若平行四边形 ABCD 中，AB10，AD6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，使CBFCDE，则 BF 的长为（）A1.8 B5 C6 或 4 D8 或 23.如图，已知 D、E 分别是的 AB、AC 边上的点，且 那么等于（）A1：9 B1：3 C1：8 D1：24如图 G 是ABC 的重心，直线 过 A 点与 BC 平行.若直线 CG 分别与 AB、交于 D、E两点，直线 BG 与 AC 交于 F 点，则AED 的面积：四边形 ADGF 的面积=()A1：2 B2：1 C2：3 D3：25.如图，将ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分.成四部分S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4等于（）A.1234 B.2345 C.1357 D.35796.如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，DE：CE=2：3，连结 AE、BE、BD，且 AE、BD交于点 F，则SDEF：SEBF：SABF等于()A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25二、填空题二、填空题7.如图，梯形 ABCD 中，ABCD,AC、BD 相交于点 E，1,2DECSSC EBDECSSAEB=_.8.如图，ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足ADC=ACB,若 AC=2，AD=1，则DB=_.9.如图，在PAB 中，M、N 是 AB 上两点，且PMN 是等边三角形，BPMPAN，则APB 的度数是_.10.如图，ABC 中，DEBC,BE,CD 交于点 F，且SEFC=3SEFD，则SAD E：SABC=_.11.如图，丁轩同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD，当他走到点 P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 AC 的底部，当他向前再步行 20m 到达 Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯之间的距离是_12.如图，锐角ABC 中，AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于18 和 2，DE=2，则 AC 边上的高为_.三、解答三、解答题题13.为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图（1）：测得竹竿 CD 的长为 0.8 米，其影 CE 长 1 米，树影 AE 长 2.4 米图（2）：测得落在地面的树影长 2.8 米，落在墙上的树影高 1.2 米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？.14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OEBC于E，连结DE交OC于点F，作FGBC于G求证：点G是线段BC的一个三等分点证明证明：在矩形ABCD中，OEBC，DCBC，OEDC，（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）15.已知如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 E 自 A 点出发，以每秒 1cm 的速度向 D 点前进，同时点 F 从 D 点以每秒 2cm 的速度向 C 点前进，若移动的时间为 t，且0t6（1）当 t 为多少时，DE=2DF；（2）四边形 DEBF 的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由（3）以点 D、E、F 为顶点的三角形能否与BCD 相似？若能，请求出所有可能的 t 的值；若不能，请说明理由.【答案与解析答案与解析】一选择题一选择题1.【答案】B.【解析】x 可能是斜边，也可能是直角边.2.【答案】A.3.【答案】B.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由，所以，又由，可得，下略6.【答案】A.【解析】ABCD 中，ABDC，DEFABF，(DEF 与EBF 等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选 A.二、填空题二、填空题7.【答案】14.【解析】1,2DECECBSS且DEC 与CEB 是同高不同底的两个三角形，即1.2DEEB因为 ABCD,所以DECBEA,所以DECAEBSS=221124DEEB8.【答案】3.【解析】ADC=ACB，DAC=BAC,ACDABC,ACADABACAB=22241ACAD，.BD=AB-AD=4-1=3.9.【答案】120.【解析】BPMPAN，BPMA，PMN 是等边三角形，A+APN60，即APN+BPM60，APBBPM+MPN+APN60+60=12010.【答案】1:9【解析】EFCS=3EFDS，FC:DF=3:1，又DEBC,BFCEFD,即BC：DE=FC:FD=3:1，由ADEABC，即ADES：ABCS=1:9.11.【答案】30m.12.【答案】6.【解析】AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高,ADB=BEC=90，ABD=EBCRtABDRtCBEABBDBCBE，ABCDBE相似三角形面积比为相似比的平方，2182ACDE=9,ACDE=3,AC=3DE=32=6h=2SABC/AC=218/6=6即 AC 边上的高是 6.三、解答三、解答题题13.【解析】（1）CDEABE，CECDAEAB，又竹竿 CD 的长为 0.8 米，其影 CE 长 1 米，树影 AE 长 2.4 米，AB=1.92 米即图 1 的树高为 1.92 米 （2）设墙上的影高落在地面上时的长度为 x，树高为 h，竹竿 CD 的长为 0.8 米，其影 CE 长 1 米，1=0.81.2x解得 x=1.5（m），树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），.14.3=0.8h解得 h=3.44（m）14.【解析】（1）补全证明过程:FGBC，DCBC，FGDCABDC，又FGAB，点G是BC的一个三等分点（2）如图，连结 DG 交 AC 于点 H，作HIBC于I，则点I是线段 BC 的一个四等分点.15.【解析】（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，6-t=22t，解得 t=65，故当 t=65时，DE=2DF；（2）矩形 ABCD 的面积为：126=72，SABE=1212t=6t，SBCF=126（12-2t）=36-6t，四边形 DEBF 的面积=矩形的面积-SABE-SBCF=72-6t-36+6t=36，故四边形 DEBF 的面积为定值.（3）设以点 D、E、F 为顶点的三角形能与BCD 相似，则EDDFBCDC或EDDFDCBC，由 ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，代入解得：t=12（舍去）或 t=6（舍去）或 t=32，.故当 t=32时，以点 D、E、F 为顶点的三角形与BCD 相似