九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案.doc

. 相似三角形的性质及应用 【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3. 相似三角形周长的比等于相似比 ，则由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. ABCDEF，若ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案】设另两边长是xcm，ycm，且xy.(1)当DEF中长4cm线段与ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm.(2)当DEF中长4cm线段与ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm.(3)当DEF中长4cm线段与ABC中长7cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm.综上所述，DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm， cm三种可能.2.如图所示，已知ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】 四边形EFGH是矩形， EHBC， AEHABC. ADBC， ADEH，MD=EF. 矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得， ， ，. EF=6cm，EH=12cm. 举一反三1、如图，在和中，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，.又，相似比为.的周长为，的面积是.2、 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1200和1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为ABC，地块在甲图上为A1B1C1，在乙图上为A2B2C2. ABCA1B1C1A2B2C2且，.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则SBCE：SBDE等于（ ）A. 2：5 B14:25 C16:25 D. 4:21 【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,在RtBCE中，x2-(8-x)2=62,x=,由ADEACB得，SBCE：SBDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，ABC和BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.【答案】过点B做BFAC,垂足为点F， AD,CE分别为BC,AB边上的高，ADB=CEB=90，又B=B，RtADBRtCEB,且B=B，EBDCBA,又DE=2，AC=6，5、已知：如图，在ABC与CAD中，DABC，CD与AB相交于E点，且AEEB=12，EFBC交AC于F点，ADE的面积为1，求BCE和AEF的面积【答案】DABC， ADEBCE SADE:SBCE=AE2:BE2 AEBE=1:2， SADE:SBCE=1:4 SADE=1， SBCE=4 SABC:SBCE=AB:BE=3:2， SABC=6EFBC， AEFABCAE:AB=1:3， SAEF:SABC=AE2:AB2=1:9 SAEF=6、如图，已知中，点在上， (与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长. 【答案】 (1)， . (2)的周长与四边形的周长相等.=6，. 类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 【答案】如上图，先从B点出发与AB成90角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上那么A、B之间的距离是多少？ ABBC，CDBCABO=DCO=90又 AOB=DOCAOBDOC.BO=50m，CO=10m，CD=17mAB=85m 即河宽为85m4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m(1)图中ABC与ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度【答案】(1)ABCADE BCAE，DEAE，ACB=AED=90 A=A，ABCADE (2)由(1)得ABCADE AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m， DE=16m 即古塔的高度为16m。举一反三1、小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】如图，AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQAC,根据物理学原理知BPQ=QPD,则APB=CPD，BAP=DCP=90， ABPCDP,即,DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.2、在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）A.24m B.22m C.20m D.18m 【答案】 A.【解析】过点D做DNCD交光线AE于点N，则,DN=14.4，又AM:MN=1.6:1，AM=1.6MN=1.6BD=1.66=9.6塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24，所以选A.3、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC. 【答案】作EFDC交AD于F.ADBE，又， ， . ABEF， ADBE，四边形ABEF是平行四边形，EF=AB=1.8m. m.【巩固练习一】一、选择题1如图1所示，ABC中DEBC，若ADDB12，则下列结论中正确的是( )A BCD （图1） （图2）2. 如图2, 在ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DEBC. 若AD:DB = 2:1, 则SADE: SABC为 ( )A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:23某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为94，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）A24米 B54米 C24米或54米 D36米或54米4. 图为ABC与DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB/ DE.若ABC与DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( )A3 B7 C12 D155如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A6米 B8米 C18米 D24米6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍. A.2 B.4 C.2 D.64 二、填空题7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD20m，FD4m，EF1.8m，则树AB的高度为_m 8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为_.9如图，小明为了测量一座楼MN的高，在离点N为20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到点C，正好从镜中看到楼顶M，若AC1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度是_.（精确到0.1m） 10. 梯形ABCD中，ADBC,AC，BD交于点,若=4， =9，=_.11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则_.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的_倍.三、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？ 14. 如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且ABPQ，建筑物的一端DE所在的直线MNAB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）（2）已知：MN=30m，MD=12m，PN=36m求（1）中的点C到胜利街口的距离 15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.(1)找出与相似的三角形.(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？ 【答案与解析】一选择题1【答案】D【解析】提示：相似比为1:32【答案】B【解析】提示：面积比等于相似比的平方3【答案】C.4【答案】B.5【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以ABPCDP6【答案】C【解析】提示：面积比等于相似比的平方二填空题7【答案】3.8【答案】45cm2.9【答案】21.3m10【答案】25.【解析】 ADBC， AODCOB， ， AO:CO2:3，又， ，又 ， 11.【答案】4:10:25【解析】 平行四边形ABCD，DEFBAF,DE:EC=2:3,DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，DEF与BEF是同高的三角形，12【答案】.三.综合题13【解析】作CEDA交AB于E，设树高是xm， 长为1m的竹竿影长0.9m 即 x4.2m14【解析】(1)如图1所示，CP为视线，点C为所求位置 (2) ABPQ，MNAB于M， CMDPND90又 CDMPDN， CDMPDN， MN30m，MD12m， ND18m CM24(m) 点C到胜利街口的距离CM为24m15【解析】(1)与BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况： PDEBCP，PCEBCP，BPEBCP (2)如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E， 则 PDEBCP PDE与BCP的周长比是1:2 BCP的周长是2a如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，则， PCEBCP PCE与BCP的周长比是1:2 BCP的周长是2a如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时， BPEBCP BPE与BCP的周长比是:2， BCP的周长是【巩固练习二】一、选择题1如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）A只有1个 B可以有2个 C有2个以上，但有限 D有无数个2. 若平行四边形ABCD中，AB10，AD6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长为（ ）A1.8 B5 C6或4 D8或23. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且那么等于（ ）A1：9 B1：3 C1：8 D1：24如图G是ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则AED的面积 ：四边形ADGF的面积=( )A1：2 B2：1 C2：3 D3：25. 如图，将ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4等于（） A.1234 B.2345 C.1357 D.35796.如图，在ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEF：SEBF：SABF等于( ) A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25二、填空题7.如图，梯形ABCD中，ABCD,AC、BD相交于点E，=_.8.如图，ABC中，点D在边AB上，满足ADC=ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_.9.如图，在PAB中，M、N是AB上两点，且PMN是等边三角形，BPMPAN，则APB的度数是_.10.如图，ABC中，DEBC,BE,CD交于点F，且=3，则：=_.11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_12.如图，锐角ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，ABC和BDE的面积分别等于18和2，DE=2，则AC边上的高为_.三、解答题13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OEBC于E，连结DE交OC于点F，作FGBC于G求证：点G是线段BC的一个三等分点证明：在矩形ABCD中，OEBC，DCBC，OEDC，（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0t6（1）当t为多少时，DE=2DF；（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由 【答案与解析】一选择题1.【答案】B.【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.2.【答案】A.3.【答案】B.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由，所以，又由，可得，下略6.【答案】 A.【解析】 ABCD中，ABDC，DEFABF，(DEF与EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.二、填空题7.【答案】.【解析】且DEC与CEB是同高不同底的两个三角形，即因为ABCD,所以DECBEA,所以=8.【答案】3.【解析】 ADC=ACB，DAC=BAC,ACDABC,AB=BD=AB-AD=4-1=3.9. 【答案】120.【解析】 BPMPAN， BPMA， PMN是等边三角形， A+APN60，即APN+BPM60， APBBPM+MPN+APN60+60=12010.【答案】1:9【解析】=3，FC:DF=3:1，又DEBC,BFCEFD,即BC：DE=FC:FD=3:1，由ADEABC，即：=1:9.11.【答案】30m.12.【答案】 6.【解析】AD,CE分别为BC,AB边上的高,ADB=BEC=90，ABD=EBCRtABDRtCBE，ABCDBE相似三角形面积比为相似比的平方，= 9, =3 ,AC=3DE=32=6h=2SABC/AC=218/6=6即AC边上的高是6 .三、解答题13.【解析】（1）CDEABE， 又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米， AB=1.92米即图1的树高为1.92米 （2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h， 竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米， 解得x=1.5（m），树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），解得h=3.44（m）14.【解析】（1）补全证明过程:FGBC，DCBC，FGDCABDC， 又FGAB， 点G是BC的一个三等分点（2）如图，连结DG交AC于点H，作HIBC于I，则点I是线段BC的一个四等分点.15.【解析】（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，6-t=22t，解得t=，故当t=时，DE=2DF；（2）矩形ABCD的面积为：126=72，SABE=12t=6t，SBCF=6（12-2t）=36-6t，四边形DEBF的面积=矩形的面积-SABE-SBCF=72-6t-36+6t=36，故四边形DEBF的面积为定值.（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与BCD相似，则或，由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，代入解得：t=12（舍去）或t=6（舍去）或t=，故当t=时，以点D、E、F为顶点的三角形与BCD相似.