弯曲内力图.pptx

Fs =Fs(x)M =M（x）即：即：一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图1.剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律规律，分别称作剪力方程和弯矩方程分别称作剪力方程和弯矩方程。弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在 x 轴轴下侧下侧，负值画在，负值画在 x 轴轴上侧上侧2.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图为正值画在剪力图为正值画在 x 轴轴上侧上侧，负值画在，负值画在 x 轴轴下侧下侧绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的 剪力方程剪力方程 和和 弯矩方程弯矩方程 ，然后根据它们作图。，然后根据它们作图。Fs 图的坐标系图的坐标系xFs(x)oM 图的坐标系图的坐标系xM(x)oAFBl例题例题1：图图 a 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用作用,试作此梁的剪力图和弯矩图。试作此梁的剪力图和弯矩图。AFBlx解解：将坐标原点取在梁的左端，将坐标原点取在梁的左端，写出写出梁的梁的剪力方程剪力方程 和和 弯矩方程弯矩方程：FsxFFlxMAFBlx解解：求得两个支反力求得两个支反力ABl例题例题2：图图示的简支梁示的简支梁，在全梁上受集度为，在全梁上受集度为 q 的均布荷载的均布荷载作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。ABl取距左端为取距左端为 x 的任意横截面。写出的任意横截面。写出 剪力方程剪力方程 和和 弯矩方程弯矩方程。x剪力图为一倾斜直线。剪力图为一倾斜直线。绘出剪力图。绘出剪力图。x=0 处，x=l 处，+ABlx弯矩图为一条二次抛物线弯矩图为一条二次抛物线,由由x =l ,M=0ABlx令令得驻点得驻点弯矩的极值弯矩的极值ABlx绘出弯矩图绘出弯矩图+ABlx梁跨中截面上的弯矩值为最大梁跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上但此截面上，Fs=0两支座内侧横截面上剪力两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大绝对值为最大ABlx+lFABcab解：求梁的支反力解：求梁的支反力例题例题3:图图示的简支梁在示的简支梁在 C 点处受集中荷载点处受集中荷载 F作用。作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。试作此梁的剪力图和弯矩图。因为因为 AC 段和段和 CB 段的内力方程不同，所以必须分段写段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程。剪力方程和弯矩方程。lFABcablFABcab将坐标原点取在梁的左端将坐标原点取在梁的左端 AC段：段：CB段：段：xx由（由（1），（），（3）两式可知）两式可知，AC，CB 两段梁的剪力图各是一条两段梁的剪力图各是一条平行于平行于 x 轴的直线。轴的直线。lFABcabxx+-由（由（2），（），（4）式可知，）式可知，AC，CB 两段梁的弯矩图各是一两段梁的弯矩图各是一条斜直线条斜直线+lFABcabxx在集中荷载作用处的左，在集中荷载作用处的左，右右 两侧截面上两侧截面上:剪力值（图）有突变剪力值（图）有突变剪力值（图）有突变剪力值（图）有突变,突突突突变变 值值等于集中荷等于集中荷等于集中荷等于集中荷载载F F。弯矩图形成尖角，弯矩图形成尖角，弯矩图形成尖角，弯矩图形成尖角，该处该处该处该处弯矩值最大弯矩值最大弯矩值最大弯矩值最大，lFABcabxx+-+（2）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束 处，处，及支座截面处为界点将梁分段及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方分段写出剪力方程和弯矩方 程，然后绘出剪力图和弯矩图。程，然后绘出剪力图和弯矩图。作剪力图和作剪力图和作剪力图和作剪力图和弯矩图的弯矩图的弯矩图的弯矩图的几条规律几条规律几条规律几条规律（1）取梁的左端点为座标原点，）取梁的左端点为座标原点，x 轴向右为正；剪力图向轴向右为正；剪力图向 上为正；上为正；弯矩图弯矩图向下为正。向下为正。（3）梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成弯矩图则形成一个尖角一个尖角。（4）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处但在此处剪力剪力图没有变化。图没有变化。（5）梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；）梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或或 Fs=0 的截面处。的截面处。ABF例题例题4：一一简支梁受移动荷载简支梁受移动荷载 P 的作用如的作用如图图所示。试求梁的所示。试求梁的最大弯矩为极大时荷载最大弯矩为极大时荷载 F 的位置。的位置。解：先设解：先设 F在距左支座在距左支座A 为为 x 的任意位置。求此情况下梁的的任意位置。求此情况下梁的最大最大弯矩为极大。弯矩为极大。lABFFAFB荷载在任意位置时，支反力为荷载在任意位置时，支反力为：C当荷载当荷载 F 在距左支座为在距左支座为 x 的任意位置的任意位置 C 时，梁的时，梁的弯弯矩值为矩值为：令令lABFFAFBC此结果说明：当移动荷载此结果说明：当移动荷载 F在简支梁的跨中时，在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大梁的最大弯矩为极大。得最大弯矩值得最大弯矩值将将 x=l/2 代入式代入式例题例题5：已知：已知 q=3kN/m,m=3kN.m，列内力方程并画内力图。，列内力方程并画内力图。ACBDqm2m2m4m解：解：FA=14.5 kN ，FB=3.5 kNxxFs(x)=-qx=-3x(0 x 2)AD:(2x 6)ACBDqm2m2m4m(0 x 2)CA:(2 x 6)xxxDB:(6 x 8)(6 x 8)ACBDqm2m2m4m画剪力图画剪力图+-CA:Fs(x)=-qx=-3xAD:DB:(0 x 2)(2x 6)(6 x 8)xxxACBDqm2m2m4m6kN8.5kN3.5kNx=4.83m由得14.5-3x=0 x=4.83m 为弯矩的极值点为弯矩的极值点AD:(2x 6)(2 x 6)+-xxxACBDqm2m2m4m6kN8.5kN3.5kNx=4.83m画弯矩图画弯矩图+-6.04(6 x 8)(2 x 6)(0 x 2)ACBDqm2m2m4m单位单位:kN.m467二、弯矩、剪力与分布荷载集度二、弯矩、剪力与分布荷载集度 间的微分关系及其应用间的微分关系及其应用 1.弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系设梁上作用有任意分布荷载其集度设梁上作用有任意分布荷载其集度 q=q(x)xyq(x)FMe规定规定：q q(x x)向上为正。向上为正。向上为正。向上为正。将将 x 轴的坐标原点取在梁的轴的坐标原点取在梁的 左端左端左端左端 。xyq(x)FMexyq(x)FMe假想地用坐标为假想地用坐标为 x 和和 x+dx 的两横截面的两横截面 m-m 和和 n-n 从梁从梁中取出中取出 dx 一段。一段。mmnnq(x)Cxmmnn dx由于由于dx 很小，略去很小，略去 q(x)沿沿 dx 的变化。的变化。mmnnq(x)Cm-m 截面上内力为截面上内力为 Fs(x)，M(x)Fs(x)M(x)nn 截面处内力分别为截面处内力分别为 Fs(x)+dFs(x),M(x)+dM(x)。Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)xyq(x)FMexmmnn dx Fy=0Fs(x)-Fs(x)+dFs(x)+q(x)dx=0得到得到 写出平衡方程写出平衡方程=q(x)dFs(x)dxmmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)写出平衡方程写出平衡方程略去二阶无穷小量即得略去二阶无穷小量即得mmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)得到得到mmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)公式的几何意义公式的几何意义公式的几何意义公式的几何意义剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小处荷载集度的大小处荷载集度的大小处荷载集度的大小弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。处剪力的大小。处剪力的大小。处剪力的大小。M(x)图为一向图为一向下下凸的二次抛物线凸的二次抛物线Fs(x)图为一向右下方倾斜的直线图为一向右下方倾斜的直线xFs(x)o2.q(x)、Fs（x）图、）图、M（x）图三者间的关系）图三者间的关系（1）梁上有向下的均布荷载，即）梁上有向下的均布荷载，即 q q(x x)0)0 时，向右下方倾斜。时，向右下方倾斜。当当 Fs(x)0 时，向右上方倾斜。时，向右上方倾斜。梁上最大弯矩可能发生在梁上最大弯矩可能发生在 Fs(x)=0 的截面上的截面上，或梁段边界的或梁段边界的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图的相应处形成尖角。弯矩图的相应处形成尖角。在集中力偶作用处弯矩图有突变在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。值，但剪力图无变化。q0向下的均布向下的均布荷载荷载无荷载无荷载集中力集中力FC集中力偶集中力偶MeC向下倾斜的向下倾斜的直线直线 或或下凸的二次下凸的二次抛物线抛物线在在Fs=0的截面的截面水平直线水平直线+一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突变处有突变F在在C处有尖角处有尖角或或在剪力突变在剪力突变的截面的截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变Me在紧靠在紧靠C的某的某一侧截面一侧截面一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在最大弯矩所在截面的可能位截面的可能位置置表表表表 4-1 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征例题例题6：一简支梁受均布荷载作用，其集度：一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100KN/m,如图如图 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。解：计算梁的支反力解：计算梁的支反力EqABCD0.2m1.6m1m2mFAFB将梁分为将梁分为 AC、CD、DB 三段。三段。AC和和 DB上无荷载，上无荷载，CD 段有向下的均布荷载。段有向下的均布荷载。EqABCD0.2m1.6m1m2mFAFB+80KN80KNDB段段：水平直线：水平直线CD段段：向右下方的斜直线向右下方的斜直线AC段段：水平直线：水平直线 FsA右右 =FA=80 KN剪力图剪力图EqABCD0.2m1.6m1m2mFAFB最大剪力发生在最大剪力发生在 CD 和和 DB 段的任一横截面上。段的任一横截面上。+80KN80KNEqABCD0.2m1.6m1m2mFAFB弯矩图弯矩图AC段段：向下倾斜的直线：向下倾斜的直线CD段段：向下凸的二次抛物线：向下凸的二次抛物线+80KN80KNEqABCD0.2m1.6m1m2mFAFB其极值点在其极值点在 Fs=0 的中点的中点 E处的横截面上。处的横截面上。DB段段：向上倾斜的直线：向上倾斜的直线 MB =0+80KN80KNEqABCD0.2m1.6m1m2m+161648单位：单位：KN.m全梁的最大弯矩梁跨中全梁的最大弯矩梁跨中 E点的横截面上。点的横截面上。MB =0EqABCD0.2m1.6m1m2m例题例题7：作梁的内力图：作梁的内力图解：支座反力为解：支座反力为3m4mABcDE4m4m将梁分为将梁分为 AC、CD、DB、BE 四段四段3m4mABcDE4m4m剪力图剪力图AC：向下斜的直线：向下斜的直线（）3m4mABcDE4m4mCD：向下斜的直线：向下斜的直线()3m4mABcDE4m4mDB：水平直线：水平直线(）FsB左=F2-FB=-3KNEB：水平直线：水平直线(）3m4mABcDE4m4m7KN1KN+-3KN3KN2KNFsB左=-3KN3m4mABcDE4m4m7kN1kN+-3kN3kN2kNF点剪力为零点剪力为零,令令其距其距 A点为点为 x=5mx=5mFx弯矩图弯矩图AC：()（CD：()（3m4mABcDE4m4m7KN1KN+-3KN3KN2KN=5mFxDB：()BE：()3m4mABcDE4m4m2020.5+-单位单位:kN.m16663m4mABcDE4m4m2.分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系若在若在 x=a 和和 x=b 处两个横截面处两个横截面 A，B 间无集中力则间无集中力则等号右边积分的几何意义是，上述等号右边积分的几何意义是，上述 A、B 两横截面间两横截面间分布荷载图的面积分布荷载图的面积。式中，式中，FsA、FsB 分别为在分别为在 x=a,x=b 两处各横截面两处各横截面 A、B 上的剪力。上的剪力。若横截面若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得式中，式中，MA，MB 分别为在分别为在 x=a,x=b 处两个横截面处两个横截面 A 及及 B 上的弯矩上的弯矩。等号右边积分的几何意义是，等号右边积分的几何意义是，A，B 两个横截面间两个横截面间剪力图的面积剪力图的面积。例题例题8：计算梁的：计算梁的 C、E 两横截面上的剪力和弯矩。两横截面上的剪力和弯矩。EqABCD0.2m1.6m1m2mFAFB在在AC段中段中 q=0，且，且 FsA 右右=FA解：解：在在 CE 段中段中EqABCD0.2m1.6m1m2mFAFB在在 AC 段中段中 FsC=80KN，剪力图为矩形。剪力图为矩形。+80KN80KNEqABCD0.2m1.6m1m2mMA=0FAFB在在 CE 段中，剪力图为三角形段中，剪力图为三角形FsC=80kN，MC=16kN.m+80KN80KNEqABCD0.2m1.6m1m2mFAFB1m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKB解：解：支座力为支座力为FA =81 kNFB =29 kNMA=96.5 kN.m例题例题9：用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图。用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图。FAFBMA将梁分为将梁分为 AE，EC，CD，DK，KB 五段。五段。1m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMA剪力图剪力图AE段段：水平直线：水平直线FsA右右 =FsE左左 =FA=81kN1m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMAED 段段：水平直线水平直线FsE右右=FA-F=31kNDK 段：向右下方倾斜的直线段：向右下方倾斜的直线FsK=-FB=-29kN1m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMAKB 段：水平直线段：水平直线FsB左左=-FB=-29 kN1m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMA+81KN31KN29KN1m0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMAx设距设距 K 截面为截面为 x 的截面上的截面上剪力剪力 Fs=0。即。即=1.45m+81KN31KN29KN1m 0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMA弯矩图弯矩图AE，EC，CD 梁段均梁段均为向下倾斜的直线为向下倾斜的直线x=1.45m+81KN31KN29KN1m 0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMADK段：向下凸的二次抛段：向下凸的二次抛 物线物线在在 Fs=0 的截面上弯矩有的截面上弯矩有极值极值x=1.45m+81KN31KN29KN1m 0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMAKB 段：向下倾斜的直线段：向下倾斜的直线x=1.45m+81KN31KN29KN1m 0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKBFAFBMAx9615.531553451m 0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKFAFBMA单位单位:kN.m+中间铰链传递剪力中间铰链传递剪力（铰链左，右两侧的（铰链左，右两侧的剪力相等）；剪力相等）；但不传递弯矩但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零（铰链处弯矩必为零）。）。1m 0.5m1m1m3mF=50kNMe=5kN.mAECDKx9615.53155345单位单位:kN.m+x=1.45m+81KN31KN29KN+abcd18kN2kN14kN3m3m6m补充例题补充例题：已知简支梁：已知简支梁，的剪力图作梁的弯矩图的剪力图作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。有集中力偶作用。CABDCABD解：解：画荷载图画荷载图AB 段：没有荷载，在段：没有荷载，在B处处有集中力，有集中力，F=20kN。因为因为所以所以F()F=20kN+abcd18kN2kN14kN3m3m6mCABDF=20kNBC 段：无荷载段：无荷载CD 段：有均布荷载段：有均布荷载 q()q=2kN+abcd18kN2kN14kN3m3m6m弯矩图弯矩图AB段段：向右下倾斜的直线：向右下倾斜的直线dabc+abcd18kN2kN14kN3m3m6m54kN.m弯矩图弯矩图dabc+abcd18kN2kN14kN3m3m6mBC段段：向右上倾斜的直线：向右上倾斜的直线CD段段：向下凸的二次抛物线。：向下凸的二次抛物线。该段内弯矩没有极值。该段内弯矩没有极值。+54kN.m48kN.m补充例题补充例题：已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图。：已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图。abcd解：解：作剪力图作剪力图AB段：因为段：因为 M(x)=常量，常量，剪力剪力图为水平直线，且图为水平直线，且 Fs(x)=0。40kN.m+abcd2m2m2mabcd20kNBC段段：Fs(x)=常量常量,剪力图为剪力图为水水 平直线平直线CD段段：剪力图为水平直线且剪力图为水平直线且 Fs(x)=040kN.m+abcd2m2m2mabcd20kN作荷载图作荷载图ABCDAB段段：无荷载。：无荷载。Me=40kN.m ()Me在在A处有集中力偶。处有集中力偶。40kN.m+abcd2m2m2mabcd20kN作荷载图作荷载图ABCDMe40kN.m+abcd2m2m2mFF=20kN ()B 处有集中力。处有集中力。集中力集中力abcd20kN作荷载图作荷载图ABCDMe40kN.m+abcd2m2m2mFBC段段：无荷载。：无荷载。C处有集中力。处有集中力。集中力集中力 :F=20kN ()CD段段：无荷载。无荷载。F三、按叠加原理作弯矩图三、按叠加原理作弯矩图当梁上受几项荷载共同作用时，某一横截面上的当梁上受几项荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面上弯矩的代数和。上弯矩的代数和。F=ql/3qxl臂梁受集中臂梁受集中荷载荷载 F 和均布荷载和均布荷载 q 共同作用，在距左端共同作用，在距左端为为 x 的任一横截面上的弯矩为的任一横截面上的弯矩为FxqxF 单独作用单独作用q 单独作用单独作用F，q 作用该截面上的弯矩等于作用该截面上的弯矩等于F，q 单独作用该截面上的弯矩单独作用该截面上的弯矩的代数和的代数和F=ql/3qxl-+FxqxF=ql/3qxl+-+-+例题例题：图 示一外伸梁示一外伸梁，a=425mm,F1、F2、F3 分别为分别为 685 kN，575 kN，506 kN。试按叠加原理作此梁的弯矩图，。试按叠加原理作此梁的弯矩图，求梁的最大弯矩。求梁的最大弯矩。BCF2F3aDEF1Aaaa解：将梁上荷载分开解：将梁上荷载分开BCaDEF1Aaaa-291adcbeBCF2F3aDEF1Aaaa+adcbe122BCaDEF2AaaaBCF2F3aDEF1AaaaBCaDEF3Aaaa-adcbe215BCF2F3aDEF1Aaaa-adcbe215+adcbe122-291adcbe291215131-adcbeBCF2F3aDEF1Aaaa4-3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图平面刚架的内力平面刚架的内力：剪力剪力剪力剪力，弯矩弯矩弯矩弯矩，轴力轴力轴力轴力ABC平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构。相互刚性连结而组成的结构。一、平面刚架的弯矩图，轴力图一、平面刚架的弯矩图，轴力图弯矩图：弯矩图：弯矩图：弯矩图：画在各杆的受压一側，不注明正，负号。画在各杆的受压一側，不注明正，负号。剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一側（通常正值画在可画在刚架轴线的任一側（通常正值画在 刚架的外側）。注明正，负号。刚架的外側）。注明正，负号。例题例题：图示为下端固定的刚架。在其轴线平面内受集中力：图示为下端固定的刚架。在其轴线平面内受集中力F1 和和 F2 作用，作此刚架的弯矩图和轴力图作用，作此刚架的弯矩图和轴力图。alF1F2ABC解：将刚架分为解：将刚架分为 CB，AB 两段两段CB 段：段：FN(x)=0M(x)=F1x (0 x a)CxM(x)xFN(x)Fs(x)Fs(x)=F1 (+)(0 x a)alF1F2ABCCBaBA 段段：FN(x)=F1 （）(0 x l)M(x)=F1a+F2 x (0 x l)xFs(x)Fs(x)=F2 (+)(0 x l)alF1F2ABCF1FN图图CB段：段：FN(x)=0 BA段：段：FN(x)=F1（）alF1F2ABCFs图图CB段：段：BA段：段：F2+F1Fs(x)=F2 (+)Fs(x)=F1 (+)alF1F2ABCM图图CB段：段：M(x)=F1x (0 x a)BA段：段：M(x)=F1a+F2 x (0 x l)F1aF1aF1a+F2lalF1F2ABC二、平面曲杆的弯曲内力二、平面曲杆的弯曲内力引起拉伸的轴力为正引起拉伸的轴力为正使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩。使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩。产生顺时针转动趋势的剪力为正产生顺时针转动趋势的剪力为正oPtn oCFoR FNM FsFoR+FRM作 业利用三者之间的微分关系作弯曲内力图 4-3(b,e,g),4-4(a)