弯曲变形3.pptx

Chapter7 Deflection of Beams(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)本章基本要求：本章基本要求：1 1、理解梁变形时的挠度及转角的定义；、理解梁变形时的挠度及转角的定义；2 2、掌握挠曲线近似微分方程及其建立过程；、掌握挠曲线近似微分方程及其建立过程；3 3、会用积分法和叠加法求梁的变形、会用积分法和叠加法求梁的变形;4 4、掌握确定积分常数的边界条件和连续性条件；、掌握确定积分常数的边界条件和连续性条件；5 5、了解简单静不定梁的求解方法；、了解简单静不定梁的求解方法；6 6、掌握梁的刚度条件和合理刚度设计、掌握梁的刚度条件和合理刚度设计本章重点：本章重点：1、挠曲线近似微分方程及其建立过程、挠曲线近似微分方程及其建立过程 2、确定积分常数的边界条件和连续性条件、确定积分常数的边界条件和连续性条件本章难点：本章难点：1、建立挠曲线近似微分方程过程、建立挠曲线近似微分方程过程 2、边界条件和连续性条件的确定、边界条件和连续性条件的确定本章计划讲解本章计划讲解4学时学时(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)7-1 基本概念及工程实例基本概念及工程实例（Basic concepts and example problems）一、工程实例一、工程实例一、工程实例一、工程实例（Example problemExample problem）(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)但但但但在另外一些情况下在另外一些情况下在另外一些情况下在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变有时却要求构件具有较大的弹性变有时却要求构件具有较大的弹性变有时却要求构件具有较大的弹性变形形形形,以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要.例如例如例如例如,车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形要求有足够大的变形要求有足够大的变形要求有足够大的变形,以缓解车辆受以缓解车辆受以缓解车辆受以缓解车辆受到的冲击和振动作用到的冲击和振动作用到的冲击和振动作用到的冲击和振动作用.(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)弯曲问题的分析过程：弯曲问题的分析过程：弯曲内力弯曲内力 弯曲应力弯曲应力 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形 解决刚度问题解决刚度问题尽量从理论上分析尽量从理论上分析 一般一般 然后实验上验证然后实验上验证 个别个别(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)拉压拉压伸长量伸长量扭转扭转转角转角弯曲弯曲挠度挠度deflection转角转角rotation工程上的梁变形问题不容忽视工程上的梁变形问题不容忽视影响使用影响使用引发破坏引发破坏产生不安全感产生不安全感减少冲击、振动减少冲击、振动利用变形作为开关利用变形作为开关 提高性能提高性能(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)1.1.1.1.挠度挠度挠度挠度（Deflection Deflection）二、基本概念二、基本概念二、基本概念二、基本概念（Basic conceptsBasic concepts）w挠度挠度CCAB w x 横截面形心横截面形心横截面形心横截面形心 C C（即轴线上的点）在垂直于（即轴线上的点）在垂直于（即轴线上的点）在垂直于（即轴线上的点）在垂直于 x x 轴方向的线位移轴方向的线位移轴方向的线位移轴方向的线位移,称为该截面的称为该截面的称为该截面的称为该截面的挠度挠度挠度挠度.用用用用w w表示表示表示表示.(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)2.2.2.2.转角转角转角转角 （SlopeSlope）转角转角 ACCwB xw挠度（挠度（横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的称为该截面的称为该截面的称为该截面的转角转角转角转角.用用用用 表示表示表示表示(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)3.3.3.3.挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线 （Deflection curveDeflection curve）梁变形后的轴线称为梁变形后的轴线称为梁变形后的轴线称为梁变形后的轴线称为挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线 .式中式中式中式中,x x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w w 为该点的挠度为该点的挠度为该点的挠度为该点的挠度.挠曲线挠曲线wAB x转角转角 w挠度（挠度（CC 挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程（equation of deflection curveequation of deflection curve）为为为为(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)杆的拉压杆的拉压杆的拉压杆的拉压梁的挠度和转角梁的挠度和转角梁在梁在梁在梁在xwxw平面内弯曲平面内弯曲平面内弯曲平面内弯曲。1.1.1.1.挠曲线：弯曲后梁的轴线。挠曲线：弯曲后梁的轴线。挠曲线：弯曲后梁的轴线。挠曲线：弯曲后梁的轴线。伸长或缩短伸长或缩短伸长或缩短伸长或缩短 D D D DL L轴的扭转轴的扭转轴的扭转轴的扭转单位扭转角单位扭转角单位扭转角单位扭转角 梁的弯曲梁的弯曲梁的弯曲梁的弯曲变形变形变形变形如何描述如何描述如何描述如何描述？x xw wo o挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线2.2.2.2.挠度挠度挠度挠度w w：横截面横截面形心形心沿垂直于轴线方向的线位移沿垂直于轴线方向的线位移，w=w(x)。与坐标与坐标 w 同向为正，反之为负同向为正，反之为负.c cc c x x挠度挠度挠度挠度3.3.3.3.转角转角转角转角 ：横截横截面面绕其中性轴转动的角度绕其中性轴转动的角度(角位移角位移角位移角位移)，=(x)。即。即。即。即 x x处挠曲线的切线与处挠曲线的切线与处挠曲线的切线与处挠曲线的切线与x x轴的夹角。轴的夹角。轴的夹角。轴的夹角。逆时针转逆时针转动为正，动为正，反之为负。反之为负。转角转角转角转角w w 为正为正为正为正 截面截面截面截面 正正正正快乐快乐理解理解(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)4.4.4.4.挠度与转角的关系挠度与转角的关系挠度与转角的关系挠度与转角的关系（Relationship betweenRelationship between deflection deflection and slopeand slope）：）：）：）：wAB x转角转角 w挠度挠度CC挠曲线挠曲线在小变形情况下，在小变形情况下，任一截面的转角任一截面的转角等于挠曲线在该等于挠曲线在该截面处的切线斜截面处的切线斜率。率。(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)5.5.5.5.挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定（Sign convention for deflectionSign convention for deflection and slope and slope）挠度向上为正挠度向上为正挠度向上为正挠度向上为正,向下为负向下为负向下为负向下为负.转角转角转角转角自自自自x x 转至切线方向转至切线方向转至切线方向转至切线方向,逆时针转为正逆时针转为正逆时针转为正逆时针转为正,顺时针转为负顺时针转为负顺时针转为负顺时针转为负.wAB x转角转角 w挠度挠度CC挠曲线挠曲线(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)7-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程（Differential equation of the deflection curve)Differential equation of the deflection curve)一、推导公式一、推导公式一、推导公式一、推导公式（Derivation of the formula)Derivation of the formula)1.1.1.1.纯弯曲时纯弯曲时纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率曲率曲率与弯矩的关系与弯矩的关系与弯矩的关系与弯矩的关系（Relationship between the Relationship between the curvature of beam and the bending momentcurvature of beam and the bending moment）横力弯曲时横力弯曲时横力弯曲时横力弯曲时,MM 和和和和 都是都是都是都是x x的函数的函数的函数的函数.略去剪力对梁的位移的影略去剪力对梁的位移的影略去剪力对梁的位移的影略去剪力对梁的位移的影响响响响,则则则则(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)2.2.2.2.由数学得到平面曲线的曲率由数学得到平面曲线的曲率由数学得到平面曲线的曲率由数学得到平面曲线的曲率（The curvature from the mathematicsThe curvature from the mathematics）(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)在规定的坐标系中在规定的坐标系中在规定的坐标系中在规定的坐标系中,x x 轴水平向右轴水平向右轴水平向右轴水平向右为正为正为正为正,w w轴竖直向上为正轴竖直向上为正轴竖直向上为正轴竖直向上为正.曲线向上凸时曲线向上凸时曲线向上凸时曲线向上凸时:OxwxOw 因此因此因此因此,与与与与的正负号相同的正负号相同的正负号相同的正负号相同 曲线向下凸时曲线向下凸时曲线向下凸时曲线向下凸时:(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)此式称为此式称为此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of differential equation of the deflection curvethe deflection curve）(6.5)(6.5)近似原因近似原因近似原因近似原因 :（1 1）略去了剪力的影响略去了剪力的影响略去了剪力的影响略去了剪力的影响;（2 2）略去了略去了略去了略去了 项项项项;（3 3）与与与与 1 1 相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为故上式可近似为故上式可近似为故上式可近似为在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)7-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration)一、微分方程的积分一、微分方程的积分一、微分方程的积分一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation)Integrating the differential equation)若为等截面直梁若为等截面直梁若为等截面直梁若为等截面直梁,其抗弯刚度其抗弯刚度其抗弯刚度其抗弯刚度EIEI为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)2.2.2.2.再积分一次再积分一次再积分一次再积分一次,得挠度方程得挠度方程得挠度方程得挠度方程（Integrating again gives the equation for the deflectionIntegrating again gives the equation for the deflection）二、积分常数的确定二、积分常数的确定二、积分常数的确定二、积分常数的确定（Evaluating the constants of integrationEvaluating the constants of integration）1.1.1.1.边界条件边界条件边界条件边界条件（Boundary conditionsBoundary conditions）2.2.2.2.连续条件连续条件连续条件连续条件（Continue conditionsContinue conditions）1.1.1.1.积分一次得转角方程积分一次得转角方程积分一次得转角方程积分一次得转角方程（The first integration gives the equation for the slopeThe first integration gives the equation for the slope）(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)通过积分求弯曲位移的特征：1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。3、积分常数由位移边界条件和光滑连续条件确定。(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)AB 在简支梁中在简支梁中在简支梁中在简支梁中,左右两铰支座处的左右两铰支座处的左右两铰支座处的左右两铰支座处的挠度挠度挠度挠度和和和和都等于都等于都等于都等于0.0.在悬臂梁中在悬臂梁中在悬臂梁中在悬臂梁中,固定端处的挠度固定端处的挠度固定端处的挠度固定端处的挠度和转角和转角和转角和转角都应等于都应等于都应等于都应等于0.0.AB 弹簧变形边界条件边界条件(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)光滑连续条件光滑连续条件(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)思考7-3-1画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)思考7-3-2 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数xw边界条件连续条件(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)思考7-3-3用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xw挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数边界条件连续条件(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)思考7-3-4用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xw挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数边界条件连续条件(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)L1全梁仅一个挠曲线方程共有两个积分常数边界条件 思考7-3-5用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xw(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)思考7-3-6 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数边界条件连续条件xw(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)ABxFw w例题例题例题例题1 1 1 1 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁,在自由端受一集中力在自由端受一集中力在自由端受一集中力在自由端受一集中力 F F 作作作作用用用用.试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度并确定其最大挠度并确定其最大挠度并确定其最大挠度 和最大转角和最大转角和最大转角和最大转角 (Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)（1 1）弯矩方程为弯矩方程为弯矩方程为弯矩方程为解：解：解：解：（2 2）挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为xwABxF 对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为 边界条件边界条件边界条件边界条件 将边界条件代入（将边界条件代入（将边界条件代入（将边界条件代入（3 3 3 3）（）（）（）（4 4 4 4）两式中）两式中）两式中）两式中,可得可得可得可得(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)BxyAF（）都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处和和和和（）(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)例题例题例题例题2 2 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁,在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为q q 的的的的均布荷载作用均布荷载作用均布荷载作用均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其并确定其并确定其并确定其和和和和ABql l(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)解解解解:由对称性可知由对称性可知由对称性可知由对称性可知,梁的两梁的两梁的两梁的两个支反力为个支反力为个支反力为个支反力为ABql lFRAFRBx 此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)梁的转角方程和挠曲线方程梁的转角方程和挠曲线方程梁的转角方程和挠曲线方程梁的转角方程和挠曲线方程分别为分别为分别为分别为 边界条件边界条件边界条件边界条件x x=0=0 和和和和 x x=l l时时时时,xABql lFRAFRB A B 在在在在 x x=0=0 和和和和 x x=l l 处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为wmax 在在在在梁跨中点处梁跨中点处梁跨中点处梁跨中点处有有有有最大挠度值最大挠度值最大挠度值最大挠度值(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)例题例题例题例题3 3 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EIEI的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁,在在在在D D点处受一集中力点处受一集中力点处受一集中力点处受一集中力F F的作的作的作的作用用用用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转并求其最大挠度和最大转并求其最大挠度和最大转并求其最大挠度和最大转角角角角.ABFDabl l(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)解解解解:梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的两个支反力为FRAFRBABFDabl l12xx 两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为 （a a）（）（）（）（0 0 x x a a）挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程 转角方程转角方程转角方程转角方程 挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程 转角方程转角方程转角方程转角方程 挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程 （b b）（）（）（）（a a x x l l ）(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)D D点的连续条件点的连续条件点的连续条件点的连续条件 边界条件边界条件边界条件边界条件 在在在在 x x=a a 处处处处 在在在在 x x=0=0 处处处处,在在在在 x x=l l 处处处处,代入方程可解得代入方程可解得代入方程可解得代入方程可解得:ABFDab12FRAFRB(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)（a a）（）（）（）（0 0 x x a a）（b b）（）（）（）（a a x x l l ）(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)将将将将 x x=0=0 和和和和 x x=l l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角 当当当当 a a b b 时时时时,右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在处处处处 先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁,令令令令得得得得 当当当当 a a b b时时时时,x x1 1 a a 最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)梁中点梁中点梁中点梁中点 C C 处的挠度为处的挠度为处的挠度为处的挠度为 结论结论结论结论:在简支梁中在简支梁中在简支梁中在简支梁中,不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无只要挠曲线上无只要挠曲线上无只要挠曲线上无 拐点拐点拐点拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度其精确度其精确度其精确度是能满足工程要求的是能满足工程要求的是能满足工程要求的是能满足工程要求的.(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)（a a）对各段梁）对各段梁）对各段梁）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程弯矩方程弯矩方程弯矩方程.只增加了只增加了只增加了只增加了(x-ax-a)的项的项的项的项.（b b）对）对）对）对(x-ax-a)的项作积分时的项作积分时的项作积分时的项作积分时,应该将应该将应该将应该将(x-ax-a)项作为积分变量项作为积分变量项作为积分变量项作为积分变量.从而从而从而从而简化了确定积分常数的工作简化了确定积分常数的工作简化了确定积分常数的工作简化了确定积分常数的工作.积分法的原则积分法的原则积分法的原则积分法的原则(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)74 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 （Beam deflections by superposition ）梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载梁在几项荷载梁在几项荷载梁在几项荷载(可以是集中力可以是集中力可以是集中力可以是集中力,集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.当当当当每一项荷载所引起的挠度为每一项荷载所引起的挠度为每一项荷载所引起的挠度为每一项荷载所引起的挠度为同一方向同一方向同一方向同一方向(如均沿如均沿如均沿如均沿w w轴方向轴方向轴方向轴方向),),其转角其转角其转角其转角是在是在是在是在同一平面同一平面同一平面同一平面内内内内(如均在如均在如均在如均在 xy xy 平面内平面内平面内平面内)时时时时,则叠加就是代数和则叠加就是代数和则叠加就是代数和则叠加就是代数和.这就这就这就这就是是是是叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理.一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理 （Superposition）(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)叠加法计算位移的条件：叠加法计算位移的条件：1 1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；2 2、材料在线弹性范围内工作，梁的、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；位移与荷载呈线性关系；3 3、梁上每个荷载引起的位移，不受、梁上每个荷载引起的位移，不受其其他荷载的影响他荷载的影响。(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)1.1.1.1.载荷载荷载荷载荷叠加叠加叠加叠加（Superposition of loadsSuperposition of loads）多个载荷同时作用多个载荷同时作用多个载荷同时作用多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和的代数和的代数和的代数和.2.2.2.2.结构形式结构形式结构形式结构形式叠加（叠加（叠加（叠加（逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法）(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)按叠加原理求按叠加原理求按叠加原理求按叠加原理求A A点转角和点转角和点转角和点转角和C C点点点点挠度挠度挠度挠度.解解解解:（a a）载荷分解如图载荷分解如图载荷分解如图载荷分解如图（b b）由梁的简单载荷变形表由梁的简单载荷变形表由梁的简单载荷变形表由梁的简单载荷变形表,查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形.BqFACaaF=AB+ABq(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)（c c）叠加叠加叠加叠加qFF=+AAABBBCaaq(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)例题例题例题例题4 4 一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为EIEI的简支梁受荷载如图所示的简支梁受荷载如图所示的简支梁受荷载如图所示的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度 w wC C和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角 A A ,B B。ABCq qMMe el l(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)解解解解:将梁上荷载分为两将梁上荷载分为两将梁上荷载分为两将梁上荷载分为两项简单的荷载项简单的荷载项简单的荷载项简单的荷载,如图所示如图所示如图所示如图所示ABCqMMe e(a)l lBAMe(c)l lAq(b)Bl lC CC()()()(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)(Deflection of Beams)例题例题例题例题5 5 试试试试利用叠加法利用叠加法利用叠加法利用叠加法,求图求图求图求图所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为EIEI的简支的简支的简支的简支梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度 w wC C 和两端和两端和两端和两端截面的转角截面的转角截面的转角截面的转角 A A ,B B .ABCql ll/2ABCq/2CABq/2q/2 解解解解:可视为正对称荷载可视为正对称荷载可视为正对称荷载可视为正