弹性力学基础.pptx

弹性力学基础基本假设基本假设 各向同性的均匀连续体各向同性的均匀连续体体积力为零体积力为零变形体在表面力作用下处于平衡状态变形体在表面力作用下处于平衡状态初始应力为零初始应力为零应力分析各向同性的均匀连续体各向同性的均匀连续体（1）假设材料是连续的，应力、应变、位移等物理量是坐标的连续函数；连续性的假设连续性的假设（2）假设材料各质点的组织、化学成形相同；均匀性假设均匀性假设（3）假设材料各质点在各方向上的物理性能和力学性能相同；各向同性假设各向同性假设体积力为零体积力为零（1）作用在物体上的外力可分为两类：表面力和体积力。（2）体积力是作用在物体质点上的力，例如重力、磁力和惯性力。物体在表面力作用下处于平衡状态物体在表面力作用下处于平衡状态如果物体划分为有限个单元体，每个单元体仍处于平衡状态；外力系对任一点的总力矩也为零；应力的概念：应力的概念：单位面积上的内力。应力表示内力的强度，单位面积上的内力。应力表示内力的强度，包括大小和方向，是矢量。包括大小和方向，是矢量。内力：因外力作用，而在物体内部产生的力内力：因外力作用，而在物体内部产生的力外力：作用于物体的表面力和体积力。外力：作用于物体的表面力和体积力。应力采用截面法分析结构的内力及应力采用截面法分析结构的内力及应力应力计算p FA假设假设 A为任意微面元的面积，为任意微面元的面积，P为面元上的作用力，则为面元上的作用力，则 A截面的全应力矢量截面的全应力矢量 p A P p 可分解为三个应力分量，即一 个正应力 和二个剪应力 应力定义 P P 过一点的不同方位截面上得到的应力矢量是不一样的！过一点的不同方位截面上得到的应力矢量是不一样的！点的应力状态xyz x z y xy点的应力状态表示物体内点的应力状态表示物体内一点任意方位面元上应力矢一点任意方位面元上应力矢量的数值和方向。量的数值和方向。点的应力状态一般用三个点的应力状态一般用三个相互垂直的基准面元上的应相互垂直的基准面元上的应力来表示。每个基准面元上力来表示。每个基准面元上的应力矢量又可以用的应力矢量又可以用3个分量个分量表示。表示。应力分量xyz x xy yx z y xz zx zy yz yz y yx x y z xy yx yz zy zx xz三个正应力分量六个剪应力分量应力分量 ij xx、yy、zz、xy、yz、xz i应力作用面的外法线方向(方向是指向单元体 之外）j应力分量本身作用的方向 当当 i=j 时为正应力时为正应力 i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）当当 ij 时为剪应力时为剪应力 i、j同号为正，异号为负剪应力互等定理假设单元体处于平衡状态，则绕单元体轴向的合力矩一定为零，则过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离xyz xy yx x z y xz zx zy yz剪应力互等定理应力张量张量：若某个集合的分量当坐标系变化时，新旧坐标系中的分量满足转换关系，则该集合被称为张量在塑性成形理论中，应力、应变、力、速度等物理量都是张量应力张量表示为 xy yx yz zy zx xz张量角标符号及求和约定角标符号及求和约定角标符号：角标符号：同一个物理量的不同分量用同一个字母加不同的的下标来表示。比如：3根坐标轴：x,y,zXi(i=1,2,3)或（i=x,y,z)3个方向余弦：l,m,n,ni(i=1,2,3)或（i=x,y,z)3个基准矢量：i,j,k,ei(i=1,2,3)或（i=x,y,z)求和约定：求和约定：为了书写简单，在三维欧氏空间中，如果某一指标在同一个项中重复出现，就表示要对这个指标从1到3求和。比如：U=u1e1+u2e2+u3e3=uiei wi=uijj i：自由标；j：哑标 新旧坐标间的方向余弦XKXiX1X2X3X1L1,1L1,2L1,3X2L2,1L2,2L2,3X3L3,1L3,2L3,3由于cos(Xk,Xi)=cos(Xi,Xk)所以，Lk,i=Li,k某一物理量P，旧坐标的分量为pij，新坐标的分量为pkr,如果下式成立pkr=pijLi,kLj,r则P是张量。直角坐标系中斜截面上的应力xyz x xy yx z y xz zx zy yzOABCABCxyzO y yx yz z zy zx xy xz xpxpypzN任意斜面上的应力l=cos(N,x)m=cos(N,y)n=cos(N,z)斜截面外法线单位向量 N=(l m n)S ABC=S S OBC=lS S OAC=mS S OAB=nS 斜截面四面体的表面积分别为四面体处于平衡状态，则 ABCxyzO y yx yz z zy zx xy xz xpxpypzNFzFxFy y yx yz z zy zx xy xz xpxpypzNABCxyzOFxFyFzPk=rk nrxyz x xz xy y yx yz z zx zydxdydz正交直角坐标系应力分量 x、y、z、xy、yx、yz、zy、zx、xz为点的坐标（x，y，z）的函数微元体(不一定是正六面体)处于平衡状态应力平衡方程由于单元体处于平衡状态单元体的应力平衡微分方程意义：正应力与剪应力变化意义：正应力与剪应力变化的内在联系和平衡关系：正的内在联系和平衡关系：正应力沿某方向变化时一定伴应力沿某方向变化时一定伴随有剪应力沿其垂直方向的随有剪应力沿其垂直方向的变化。变化。rd dq qdrdz q qr q qz q qxyzorq qdrdzd dq q圆柱坐标应力平衡微分方程圆柱坐标应力平衡微分方程圆柱坐标：圆柱坐标：r径向；径向；周向；周向；z轴向轴向圆柱坐标下的平衡微分方程圆柱坐标下的平衡微分方程应变应变是表示物体变形大小的一个物理量。物体受力以后会发生运动，不仅空间位置发生改变，而且形状亦将发生变化。点的应变状态分析刚性位移刚性位移-整体的平动或转动，各个质点在位移过程中没有产生相对位移。变形变形形状产生变化，有相对位移发生，即质点之间的相对位置发生变化。一个连续体中两个质点间相对位置的变化可分为两种形式:（1）线长度的相对伸长或缩短量-线应变或正应变，伸长为正值，缩短为负值（2）单元体发生歪斜，角度变化的量-切应变，角度减小为正值，角度增加为负值。对于同一变形的质点,随着切取单元体的方向不同,单元体表现出来的变形值也是不同的,因此,也需要引入“点应变状态”概念。点的应变状态以及应变张量点的应变状态以及应变张量点的应变状态是指变形体内某一任意方向的线元的应变点的应变状态是指变形体内某一任意方向的线元的应变大小及方向。大小及方向。点的应变状态可以用分别与坐标轴平行的点的应变状态可以用分别与坐标轴平行的3个相互垂直个相互垂直的线元的应变来表示。每个线元的应变又可以分解为的线元的应变来表示。每个线元的应变又可以分解为3个分量个分量-1个正应变，个正应变，2个剪应变分量。个剪应变分量。9个分量构成点的应变张量。个分量构成点的应变张量。物体变形之后，各个点的位移矢量可以用函数统一表示：物体变形之后，各个点的位移矢量可以用函数统一表示：X,y,z三个坐标三个坐标轴上得分量分轴上得分量分别为：别为：位移场位移场应变张量的分量：应变张量的分量：统一写成统一写成：小变形几何方程小变形几何方程只要确定出位移场，只要确定出位移场，就可以计算出应变就可以计算出应变张量！张量！变形协调方程变形协调方程x 对对y求两次偏导数，可得求两次偏导数，可得 y 对对x求两次偏导数，可得求两次偏导数，可得 上面两项相加上面两项相加可得可得 用同样方法还可以得到其它两个式子，由此得到应变协调用同样方法还可以得到其它两个式子，由此得到应变协调方程的第一组方程方程的第一组方程物理意义：在每个坐标平面内，两个线应变分量一经确物理意义：在每个坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则剪应变分量随之被确定。定，则剪应变分量随之被确定。剪应变剪应变 xy、yz、zx分别分别对对z、x、y 求偏导数求偏导数（1）（2）（3）以上三个式子分别两两相加然后再减去第3式，可得到：左面三式分别对左面三式分别对X，Y,Z求偏导求偏导物理含义：在三物理含义：在三维空间内三个剪维空间内三个剪应变分量一经确应变分量一经确定，则线应变分定，则线应变分量也就被确定量也就被确定。应变协调方程（连续方程）一共有应变协调方程（连续方程）一共有6个个如果已知物体变形的位移分量函数，利用几何方程求得的应变如果已知物体变形的位移分量函数，利用几何方程求得的应变分量自然满足连续方程；但是如果先用其它方法求得应变分量，分量自然满足连续方程；但是如果先用其它方法求得应变分量，则只有当它们满足应变连续方程时，才能用几何方程求得正确则只有当它们满足应变连续方程时，才能用几何方程求得正确的位移分量。的位移分量。平面问题应变协调方程平面问题应变协调方程平面变形平面变形-物体内所有质点都只在一个坐标平面内发生变形，而在该平面的法线方向没有变形。发生变形的平面称为塑性流平面，它始终保持为平面，不会发生扭曲、倾斜。假设没有变形的方向为坐标的Z向，则Z方向上的位移分量w=0;其余两个位移分量与Z坐标无关，对Z的偏导数为零。因此因此轴对称问题轴对称问题采用圆柱坐标时，一般状态的几何方程为：圆柱坐标系中的位移分量圆柱坐标系中的位移分量对于轴对称变形状态，子午面始终保持为平面，所以：轴对称问题的几何方程轴对称问题的几何方程广义虎克定律广义虎克定律一般应力状态下的弹性应力应变关系一般应力状态下的弹性应力应变关系材料弹性本构关系材料弹性本构关系EE弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量 泊松比泊松比泊松比泊松比GG剪切模量剪切模量剪切模量剪切模量 单向应力状态时的弹性应力应变关系是胡可定律：简单拉、压简单拉、压扭转扭转平面问题的直角坐标解平面问题的直角坐标解弹性力学平面问题一般采用应力解法，基本方程为应力平衡微弹性力学平面问题一般采用应力解法，基本方程为应力平衡微分方程和变形协调方程。变形协调方程是应变分量表达的，对分方程和变形协调方程。变形协调方程是应变分量表达的，对于应力解法，需要用基本未知量应力分量来描述变形协调方程。于应力解法，需要用基本未知量应力分量来描述变形协调方程。将平面问题的特殊条件代入物理方程可得将平面问题的特殊条件代入物理方程可得将上将上述本述本构关构关系代系代入应入应变平变平衡方衡方程程。右式是平面应变问题右式是平面应变问题中的由应力表示的变中的由应力表示的变形协调方程，它表达形协调方程，它表达了物体内的变形协调了物体内的变形协调关系，称为莱维关系，称为莱维（Lvy，M.）方程。）方程。则齐次方程的第一式恒满足。同理必有函数g（x，y），如果(x，y），使得 将上式分别回代，可得应力分量表达式 上述应力分量即为齐次平衡微分方程的通解。对于体力为零的弹性力学平面问题，只要函数是四阶连续可导的，总是满足齐次微分 方程的。将平衡微分方程特解代入应力表达式，则 自然满足平衡微分方程。应力分量不仅需要满足平衡微分方程，而且还需要满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程，可得上式说明函数(x，y）应满足双调和方程双调和方程。根据微分方程理论，必有函数根据微分方程理论，必有函数 f（x，y），令），令则几次方则几次方程组的第程组的第一式恒成一式恒成立立同理必有函数同理必有函数g（x，y），），如果如果则齐次方程的第二式恒满足，则齐次方程的第二式恒满足，所以所以 引入任意函数引入任意函数使得右式成立使得右式成立由此可知，各个由此可知，各个应力分量为：应力分量为：将上述应力分量代入变形协调方程，可得：将上述应力分量代入变形协调方程，可得：解该方程，求出解该方程，求出函数函数的表达式，的表达式，在根据边界条件在根据边界条件确定系数。确定系数。