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山东师大附中2015级第五次学分认定考试
数学试题（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟。
第I卷（共60分）
一. 选择题（共12个小题，每题5分，满分60分）
1.设命题：，则为
（A） （B）
（C） （D）
2.已知椭圆的左焦点为,则实数
3.下面四个条件中，使得成立的充分而不必要的条件是
（A） （ B）
（C） （D）
4. 若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（ ）
(A)11 (B)9 ( C)5 (D)3
5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
(A)134石 ( B)169石 ( C)338石 (D)1365石
6.执行如图所示的程序框图，输出的i为
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
7．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（ ）
x
2
4
5
6
8
y
25
35
m
55
75
( A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65
8若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
(A) (B) 6 (C) (D) 4
9. 是的什么条件？
（A） 充分非必要条件 （B） 必要非充分条件
（C） 充要条件 （ D ）既不是充分条件又不是必要条件
10. 已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ）
(A) (B) (C) (D)
11.已知椭圆E：过点，且离心率为，则椭圆的方程为
(A) (B) (C) (D)
12某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
(A)12万元 ( B)16万元
(C)17万元 D．18万元
第Ⅱ卷（共90分）
二. 填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）
13.随机抽取100名年龄在…，年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于30岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取22人，则在年龄段抽取的人数为 .
14. 若满足约束条件，则的最大值为 .
15圆经过椭圆的三个顶点，则该椭圆的标准方程为 .
16. 在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 由小到大的顺序是
三. 解答题（共6个小题，满分70分）
17（满分10分）设命题，命题
若的充分不必要条件，求实数的范围.
18（满分10分）从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(重量)
频数(个)
5
10
20
15
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率;
(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?
(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在和中各有1个的概率.
19. （本小题满分12分）
有两个袋子，其中甲袋中装有编号分别为1、2、3、4的4个完全相同的球，乙袋中装有编号分别为2、4、6的3个完全相同的球.
（I）从甲、乙袋子中各取一个球，求两个小球的编号之和小于8的概率；
（II）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球，求所取出的3个球中含有编号为2的球的概率.
20（满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：
甲部门
乙部门
3
5 9
4
4
0 4 4 8
9 7
5
1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9
9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0
6
0 1 1 2 3 4 6 8 8
9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0
7
0 0 1 1 3 4 4 9
6 6 5 5 2 0 0
8
1 2 3 3 4 5
6 3 2 2 2 0
9
0 1 1 4 5 6
10
0 0 0
图14
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
21（本题满分13分）已知椭圆：的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为.
（1）求椭圆的标准方程
（2）点在椭圆上，过点的直线的方程为．
设椭圆的左、右焦点到直线的距离分别为，求证：为定值
22（本小题满分13分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．
（I）求椭圆的离心率；
（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
B
B
C
C
C
D
B
B
D
二、填空题
13、2人 14、 3 15、 16、
三、解答题
17、解: 的充分不必要条件,所以-------2分
所以，-----------5分
当时，，设
所以----------------------------------------8分
-------------------------------------------------10分
18、【解析】(1)重量在的频率; -------2分
(2)若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,则重量在的个数; -----------5分
(3)设在中抽取的一个苹果为,在中抽取的三个苹果分别为,从抽出的个苹果中,任取个共有种情况,其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有种;设“抽出的个苹果中,任取个,求重量在和中各有一个”为事件,则事件的概率; -------------10分
19、【答案】（1）（2）
解析：（1）记甲袋中的四个小球为，乙袋中的三个小球为，从两个袋子中各取一个方法有12种：
-----------------------------------3分
其中两个小球的编号小于8的有8个：
所以两个小球的编号之和小于8的概率为；----------------------6分
（2）从甲袋中取2个球，从乙袋中取一个球的不同取法有18种：
-----9分
含有编号2的有12种
，
取出的3个球中含有编号为2的球的概率.------------------------12分
20、解：(1)由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75. ----------------------------3分
50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.--------6分
(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.-------9分
(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分．)--------------12分
21、【答案】（1）；（2）1
【解答】（1）由题意，得： ………………2分
又因为
解得，，， ………………4分
所以椭圆C的方程为. ………………6分
（2）椭圆的左、右焦点
直线的方程为：…………………8分
………………………………10分
………………………….13分
22、【答案】（I）；（II）．
【解析】（I）过点，的直线方程为，
则原点到直线的距离，---------------------2分
由，得，解得离心率.-----------------------4分
(II)由（I）知，椭圆的方程为. (1)
依题意，圆心是线段的中点，且.
易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得
设则--------6分
由，得解得.--------------------------------8分
从而.
于是.-------10分
由，得，解得.
故椭圆的方程为.------------------------------------------13分
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