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高考数学部分知识点汇编
一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.
如：—函数的定义域； —函数的值域；—函数图象上的点集.
2.集合的运算及性质：
①任何一个集合是它本身的子集,记为. ②空集是任何集合的子集,记为.
③空集是任何非空集合的真子集；
注意点：当,在讨论的时候不要遗忘了的情况
④含个元素的集合的子集个数为；真子集(非空子集)个数为；非空真子集个数为.
3.命题：
1）会判断充分性必要性
已知，．若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是
在△ABC中，“”是“△ABC是等腰三角形”的（ A ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2）推出关系转化为子集问题
已知，命题实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题存在复数同时满足且.[来源:学科网]试判断：命题和命题之间是否存在推出关系？请说明你的理由
二.函数
1.函数的三要素：________,__________,________,
注意：求函数的定义域或值域，最后结果一定要用 表示。
2.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;对数真数,底数且；零指数幂的底数)；实际问题有意义；
3．已知两个函数，若求它们的和函数或积函数，除了用运算求解析式外，最后的定义域必须是原两个函数定义域的 集。
函数的定义域是___ ．
3.求值域常用方法:
（1）常用函数的值域。（看图像，读值域）
已知函数的定义域为，则此函数的值域为。
（2）化归为常见函数求值域（注意换元后的定义域补充）
若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 。
已知，当时，恒为正值，则的取值范围是 。
注意点：遇到恒成立与有解问题，基本的思想方法就是参变分离，注意分辨所求最值在这两类问题中的差异
参变分离的实质为数形结合
（3）利用单调函数求的值域。
函数的最小值是
4.函数的奇偶性和单调性
（1）用定义证明函数是偶函数（或奇函数）的步骤：
定义域含零的奇函数必过原点()；判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或；
5.函数图象的几种常见变换
⑴平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对而言）；
上下平移---“上加下减”(注意是针对而言).
⑵翻折变换：；.
⑶对称变换：（变量之和为常数）
①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②证明图像与的对称性,即证上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在上,反之亦然.
③函数与的图像关于直线(轴)对称；
函数与函数的图像关于直线(轴)对称；
④若函数对时，或恒成立,则图像关于直线对称；
6．指对数：
1）对数运算性质及换底公式 2）对数函数 3）会解指对数不等式
注意点：对底数讨论及真数大于0
7．反函数
1）会求反函数（两部曲）
已知函数是函数的反函数，则
2）会研究反函数的图像
设的反函数为，若函数的图像过点，且， 则 。
若函数与的图像关于直线对称，则 .
三.数列
1.由求,
数列满足，求(答：).
已知等比数列前项和公式，则
注意点：验证是否包含在后面的公式中,若不符合要单独列出.
2.等差数列(1)定义：
(2)通项公式： 推广：
(3)前n项和公式：
等差数列(为常数)
；
3.等差数列的性质：
①, ；
②(反之不一定成立)；当时,有；
③等差数列， 仍是等差数列；
若数列为等差数列，且，则的值等于 24 .
已知数列是以为首项，为公差的等差数列，则数列的最小项为第 8 项.
4.等比数列(1)定义：
(2)通项公式： (3)前n项和
5.等比数列的性质
① 若、是等比数列，则、等也是等比数列；
②
③ (反之不一定成立)；
④ 等比数列中(注：各项均不为0)仍是等比数列.
各项都为正数的等比数列中，，，则通项公式 ．
6.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
⑵已知求 用作差法：.
⑶已知求 用作商法：.
⑷若求 用迭加法.
⑸已知,求用迭乘法.
（6）构造法：（倒数构造等差、设构造等比）
数列，，，求通项公式。
数列，，，求通项公式。
8.数列求和的方法：
①公式法：等差数列,等比数列求和公式； ②分组求和法； ③倒序相加； ④错位相减；
⑤ 裂项求和：；注意点：注意验证裂项后的值
9. 数列的极限
（1）两种形式
（1） 。（2）求时，要分 三种情况讨论
无穷等比数列各项和存在的条件 注意点：区分与存在的条件
若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是 .
9、数学归纳法
（1）用数学归纳法证明“”时，第一步应证明 。
（2）已知，则=（ ）。
A、 B、 C、 D、
四.三角函数
1.终边与终边相同；
终边与终边共线；
终边与终边关于轴对称；
终边与终边关于轴对称；
终边与终边关于原点对称；
终边与终边关于角终边对称.
2.弧长公式：； 扇形面积公式：； 弧度()≈.
注意点：计算机使用时注意角度制与弧度制
3. 对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视a为锐角)
4. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.
如：；；；等；
已知,,，且，则 ．
5. 辅助角公式：其中）；
6.降幂公式；；
7. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式， 正、余弦定理，
正弦定理：； 余弦定理：；
面积公式：；
在△ABC中，“”是“△ABC是等腰三角形”的（ A ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
在锐角中，分别是角所对的边，且，则角的大小为 。
8．三角函数
1、正弦函数
（1）当 时，； 当 时，。
（2）在 上单调递增； 在 上单调递减。
2、函数最小正周期 。
3、函数最小正周期 。
4、五点法画图
已知复数,,且．
（1）若且，求的值；
（2）设＝，求的最小正周期和单调递减区间．
10、反三角函数
（1）反正弦函数 ， 。 画出图像：
（2）反余弦函数 ， 。 画出图像：
（3）反正切函数 ， 。 画出图像：
6、最简三角方程
五.平面向量
1.设,.
(1)； (2).
设，若，则实数= -3 ．
2.平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数、,使.
3.设,,则；其几何意义是等于的长度与在的方向上的投影的乘积；在的方向上的投影.
已知的夹角为则在上的投影为 1
4.平面向量数量积性质：设,,则；
注意: 为锐角,不同向； 为钝角,不反向.
5. 平面向量数量积的坐标表示： ⑴若,,则；
； ⑵若,则.
六.

直线和圆的方程
1.直线的倾斜角的范围是；
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系(如右图)：
3．方向向量法向量与斜率及倾斜角的关系
4.直线方程形式：
点斜式，点方向式，点法向式，一般式
提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性（2）截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.
闵行二模文科：经过点且法向量为的直线的方程为 .
5.直线与直线的位置关系：
⑴平行(斜率)且(在轴上截距)；
⑵相交；
(3)重合且.
已知点和关于直线：对称，则
6.夹角公式：与的夹角是指不大于直角的角
直线，，则直线与的夹角为= ．
7.点到直线的距离公式；
两条平行线与的距离是.
已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为 1
8.设三角形三顶点,,,则重心；
9. ⑴圆的标准方程：.
⑵圆的一般方程：.
特别提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆(二元二次方程表示圆,且).
求圆心在直线上，且过点的圆的标准方程。
10. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点及圆的方程
.
① 点在圆外；
②点在圆内；
③点在圆上.
若过点总有两条直线与圆相切，求实数的取值范围。
11. 直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①相离　　②相切　　③相交
12. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形).
七.圆锥曲线方程
一 、椭圆
1）会利用椭圆的定义求方程
设椭圆的长轴长4，轴上的两个焦点与短轴的一个端点构成一个等边三角形，求椭圆标准方程。
若表示椭圆，则的取值范围是
过椭圆的一个焦点的直线交椭圆于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点构成的的周长为
（2）中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角结合起来，建立+、等关系
已知是椭圆上任一点，为它的焦点，且，求的面积。
（3）会求椭圆上的动点到定点距离的最值
设点为椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点。试求的模的最小值，并求此时点的坐标。
二、双曲线
（一）定义：若F1，F2是两定点，（为常数），则动点P的轨迹是双曲线。
注意点：比较与，注意绝对值
标准方程：
（1）会利用双曲线的定义求方程，注意点：与椭圆中的不可混淆
（2）中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角结合起来，建立+、等关系，注意与椭圆的区别
（3）若双曲线方程为渐近线方程：
若渐近线方程为双曲线可设为
已知双曲线的一条渐近线的法向量是，那么
若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为 。
（4）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。
三、抛物线
（一）定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
（2）抛物线上的动点设为P或P
八.直线、平面、简单几何体
会计算两条异面直线和所成角。异面直线所成角的大小范围是
会计算直线与平面所成角。直线与平面所成角的大小范围是
会证明直线与平面垂直
柱体与锥体，旋转体的面积公式和体积公式
给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面垂直”是“直线与平面内无数条直线垂直”的（ B ）
充要条件 充分非必要条件 必要非充分条件 既非充分又非必要条件
圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为cm，半径为cm，则该圆锥的体积为 .
在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为cm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升cm，则________cm．

如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。
（1）求三棱锥的体积。
（2）求异面直线与所成角的大小；
（结果用反三角函数值表示）

九.复数
理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.
若，，且为纯虚数，则实数 -4
掌握复数的四则运算
复数集范围内解方程
（1）对于解复系数方程，主要的方法是设 ，并利用复数 化为实数方程来求。
（2）对于解实系数一元二次方程，当时，方程有一对 根，
除了满足外，还等于这对根的 ，（用文字叙述）
除了满足外，还等于这对根的 。（用文字叙述）
注意：共轭虚根必须实系数
（1）复数的几何意义表示复数离开 的距离；
（2）复数的几何意义表示复数离开点 的距离；
（3）复数的几何意义表示复数离开点 的距离；
已知复数（），当此复数的模为1时，代数式的取值范围是 ．
十.二项式定理
1、对于二项式的展开式
如二项式
（1）其通项公式为 ，展开式共有 项；
（2）第六项为 ，第六项的系数为 ，第六项的二项式系数为 ；
（3）所有项的二项式系数和 ；
（4）所有项的系数和 。
在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则 3
2、二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是 。
① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：

② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，中间一项，即：第 项的二项式系数最大，为 ；
③ 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，中间两项，即第 项及第 项，它们的二项式系数最大，为
例1、（1）展开式中的系数最大项是 。
（2）展开式中的系数最大项是 。
（3）展开式中的系数最大项是 。
（4）展开式中二项式系数最大项是 。
（5）展开式中只有第六项的系数最大，则 。
十一.概率与统计
一、总体与样本
1、总体：在统计中，我们所要研究对象的全体叫做总体。
2、个体：总体中的每一个对象叫做个体。
3、总体的平均数（总体均值）：总体中所有个体的平均数来表示总体的平均状态，即一般水平。如总体中有个个体，它们的值分别为：，则

4、总体的中位数：为奇数时，正中位置的数；为偶数时，中间两个数的平均数。
5、样本的众数：样本中出现次数最多的数。
6、总体方差、总体标准差
在统计中，表示总体中各个体之间的差别程度，即离散程度的统计工具有总体方差、总体标准差。
其中，总体方差反映各个体偏离平均数的程度。越大，总体各个个体之间的差别也越大；越小，总体各个个体越靠近平均数。
总体方差 =
总体标准差
7、掌握计算性质
样本中个个体的数值分别为，已知样本平均数、样本方差、样本标准差分别为、、，则样本的平均数为 ；样本方差为 、样本标准差为 。
二、抽样技术
在统计中，当全面调查很难，甚至不可能实施时，抽样技术是一个行之有效的方法。
科学地实施抽样调查的最基本的原则是抽样必须是随机的，即总体中每个个体都有可能 被抽到。
1、样本：总体中取出的一部分个体所组成的集合。也叫子样。
2、样本容量：样本中所包含的个体的个数。
3、统计中的抽样方法：
（1）随机抽样：抽签法；利用随机数表或计算机产生。
（2）系统抽样：把总体中的每一个个体编上号，按某种相等的间隔抽取样本的方法。
（3）分层抽样：把总体分成若干个部分，然后把每个部分进行随机抽样的方法。
拓展教材《统计案例》P57
三、统计估计
1、频率估计：用样本中某事件出现的频率估计事件出现的概率。
2、参数估计：用样本的算术平均数和样本标准差估计总体均值和总体标准差，简称参数估计。
样本为，样本的容量为，那么可以用样本的平均值作为总体均值的点估计值。用样本的标准差作为总体标准差的点估计值。
例题分析：高三P107教材中的实例分析
3、认识频率直方图：
1、某单位有青年职工人，中年工人数是老年职工人数的倍，老、中、青职工共有人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工人，则该样本中的老年职工人数为 [答]（ B ） (A). (B). (C). (D).
2、若三个数的方差为1，则的方差为 9 ．
3、为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则b的值为 78
0.3
0.1
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
视力

[来源:学科网ZXXK]
[来源:学科网ZXXK]

4、某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k=16，即每16人抽取一个人。在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33 ~ 48这16个数中应取的数是（ B ）
A．40． 　B．39． C．38． D．37．
频率/组距
第11题题
5、某公司为改善职工的出行条件，随机抽取名职工，调查他们的居住地与公司的距离(单位:千米)．若样本数据分组为，，，，，，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过千米的人数为 24 人．

6、有5只苹果，它们的质量分别为125 121 127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为， 则该样本的标准差=_____________.（克）（用数字作答）
十二.矩阵
一、矩阵的概念
二、矩阵的运算 已知两矩阵和。
1、矩阵相等（）：当且仅当矩阵和 ，且 。
2、矩阵相加（）：矩阵相加的前提： ，矩阵相加的法则： 。
3、矩阵相减（）： 矩阵相减的前提： ，矩阵相减的法则： 。
三、矩阵的应用
主要应用于解二元一次方程组和三元一次方程组。
如方程组，它的系数矩阵是 ，增广矩阵 ，
通过矩阵变化可化为系数矩阵为单位矩阵的增广矩阵 。
例题：
1、方程组的增广矩阵通过矩阵变换可以转化成，
（1）则方程组的解为 ， （2）
2、写出方程组的系数矩阵为 ，增广矩阵为 。
3、二元方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则 。
数学高考应试技巧提醒
考试中时间分配及处理技巧非常重要，有几点需要必须提醒同学们注意：
⑴按序答题，先易后难。一定要选择熟题先做、有把握的题目先做。
⑵不能纠缠在某一题、某一细节上，该跳过去就先跳过去，千万不能感觉自己被卡住，这样会心慌，影响下面做题的情绪。
⑶避免“回头想”现象，一定要争取一步到位，不要先做一下，等回过头来再想再检查，高考时间较紧张,也许待会儿根本顾不上再来思考。
⑷做某一选择题时如果没有十足的把握，初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记，有时间再推敲，不要空答案，否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率。

数学高考规范化提醒
这是取得高分的基本保证。规范化包括：
（1）解题过程要有必要的文字说明或叙述，谨防答题或书写不规范而失分；
（2）注意解完后再看一下题目，看你的解答是否符合题意；谨防因解题不全或失误而失分。
总之，要吃透题“情”，合理分配时间，做到一准、二稳、三规范。

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