高中向量例题详解总汇(1)(含答案).doc

向量
一、基本知识结构
向量
向量的概念
向量的运算
向量的运用
向量的加、减法
实数与向量的积
向量的数量积
平面向量的基本定理及坐标表示

向量的坐
标运算
物理学中的运用
几何中的运用
两向量平行
两向量垂直
向量的夹角
向量的模
两点间的距离

二、教学重点和难点
1． 理解向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算。
2． 平面向量的数量积
3． 平面向量的分解定理

三、考点
1． 向量的概念，向量的几何表示；
2． 向量的加法与减法；
3． 实数与向量的积，两个向量共线的充要条件；
4． 向量的数量积，计算向量的大小、方向，两向量垂直的充要条件；
5． 向量的坐标表示、坐标运算；
6． 向量的分解定理
7． 向量的应用

四、课堂教学实施策略
本章节中，向量的概念是通过举例反映概念实质的具体对象，并充分发挥几何图形的直观特点，使学生在感性认识的基础上建立概念；数量积的概念是通过严格的定义给出，和学生一起分析满足定义的充要条件；向量的运算，可以借助几何直观，并通过与数的对比引入，便于学生接受。

五、教学后的建议
注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，尽可能让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、抽象、概括。同时注意数学思想方法的渗透和应用。

六、典型例题
（一）向量有关概念：
例1：判断下列各命题是否正确：
(1)零向量没有方向；(2)若；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同；(6)若，，则；(7)若，，则；(8)若四边形ABCD是平行四边形,则；(9)的充要条件是且；
分析：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。
解：(1)不正确，零向量方向任意；(2) 不正确，只是说明模相等，还有方向；(3)不正确，
单位向量的模为1，方向很多；(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式；(5)正确， (6)正确，向量相等有传递性；(7)不正确，因若，则不共线的向量也有，；(8)不正确, 如图；(9)不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到。
点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；长度为0的向量叫零向量，零向量的方向是任意的；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性。

（二）向量的加、减法
例2：化简
分析：本题考查向量的加、减法，及相关运算律。
解法一：（统一成加法）
=
=
解法二（利用）
==
=
解法三（利用）
设O是平面内任意一点，则=
=
=
点评：掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律。

例3：在DABC所在的平面上有一点P，满足，则DPBC与DABC的面积之比是( )
A． B． C． D．
B
C
A
P
B C
A

P
分析：本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解。
解：由，得,
即，所以点是边上的第二个三等分点，
如图所示。故．

（三）向量数乘运算及其几何意义
例4：设是不共线的向量，已知向量，若A,B,D三点共线，求实数k的值
分析：证明存在实数，使得
解：, 使
得
点评：A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数λ，使得=λ．
例5：已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使=m+n，且m+n=1．
分析：很显然，题设条件中向量表达式并未涉及、，对此，我们不妨利用
=＋来转化，以便进一步分析求证。
证明：充分性，由，m＋n=1，得

∴．
∴A、B、C三点共线．
必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得，
即，
\m=1－λ，n=λ，\m＋n=1，。
点评： 逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识。这是一个重要结论，要牢记。

例6：已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证：+++=4
A
O
D
C
B
分析：由平行四边形的对角线互相平分和相等向量的定义可得。
证明：∵E是对角线AC和BD的交点
∴==- ,==-
在△OAE中，+=
同理 += ， += ，+=
以上各式相加，得 +++=4
点评：用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译。

（四）平面向量的坐标表示与运算
例7：已知A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4)，且，，求点M、N的坐标及向量的坐标。
分析：利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。
解： ∵A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4)，∴，
∴=3(1，8)=(3，24)，=2(6，3)=(12，6)
设，则
因此 得，∴
同理可得N(9,2)，∴=(9-0，2-20)=(9，-18)
点评：需灵活运用向量的坐标运算公式。

例8： 已知向量，若，则锐角q等于（ ）
A． B． C． D．
分析：已知的坐标，当求时，运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求sinq值。
解：(1-sinq)(1+sinq)-=0，\cos2q=，故选B。
点评：数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键．本题以几何特征语言
形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时
经常用到。

（五）平面向量的数量积
例9：已知，的夹角为1200，求

分析：直接用定义或性质计算
解：

点评：注意公式，当知道的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求它们的夹角。

例10：在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值。
分析：注意分情况计论。
解：当A = 90°时，×= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90°时，×= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)
∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k =
当C= 90°时，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k =
点评：是一个常用的结论。
例11：已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是 ( )
A.[0,] B. C. D.
分析：要求两向量夹角θ的取值范围，可先求cosq的取值范围。
解：由关于的方程有实根，得:
.设向量的夹角为θ，则cosθ=,又
，∴θ∈.[答案] B.

（六）平面向量基本定理
例12：在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.
分析：若是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的
任何向量都可用线性表示。本例中向量,可作基底，故可设=m+n，
为求实数m,n，需利用向量与共线，向量与共线，建立关于m,n的
两个方程。
解：设=m+n，
则,
∵点A、M、D共线，∴与共线，
∴，∴m+2n=1. ①
而，
∵C、M、B共线，∴与共线，
∴，∴4m+n=1. ②
联立①②解得:m=，n=，∴

例13：已知P是DABC所在平面内一点，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为S。证明：只有唯一的一点P使得S与P重合。
分析：要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量可用一组基底唯一表示。
A
B
C
Q
R
P
证明：设，
则
,
由题设知:

由于,是确定的向量，所以是唯一的一个向量，
即所在平面内只有唯一的一点使得与重合.
点评：解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。

（七）平面向量的应用
例14：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线。
求证AC⊥BD。
分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于
这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的
充要条件。
证法一：∵＝+，＝-，
∴·＝(＋)·(-)
＝||2-||2＝0
∴⊥
证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(0，0)，A(a，b)，
C(c，0)，则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2
∵＝－＝(c，0)-(a，b)＝(c-a，-b)，
＝＋＝(a，b)＋(c，0)＝(c＋a，b)，
∴·＝c2-a2-b2＝0
∴⊥ 即 AC⊥BD
点评：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便。通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用。

例15： 为△的内角A、B、C的对边，，，且与的夹角为，求C；
分析：考查向量数量积运算及三角函数二倍角公式
解：∵，
∴
又
∴，∴
例16： 已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，向量满足，记，求函数的解析式。
分析：A、B、C三点共线，
解：
A、B、C三点共线，
点评：涉及与三角综合的题目，多数只利用向量的基本运算，把问题转化为三角问题，
以考查三角函数知识为主。三点共线是一个常考常新的知识点。要记住常用结论：
A、B、C三点共线，

例17：设炮弹被以初速v0和仰角抛出（空气阻力忽略不计）.当初速度v0的大小一定时，发射角多大时，炮弹飞行的距离最远.
分析：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，
把v0分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.
解：将v0分解为水平方向和竖直方向两个分速度v1和v2，则| v1|=| v0|cos,
| v2|=| v0|sin , 由物理学知识可知，
炮弹在水平方向飞行的距离S =| v1|·t=| v0|cos·t（t是飞行时间） ①
炮弹在垂直方向的位移是0=| v2|·t-gt2（g是重力加速度） ②
由②得t=,③代入①得=
由于| v0|一定，所以当=45°时，S有最大值.
故发射角=45°时，炮弹飞行的距离最远.
点评：利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”。

1、二面角是直二面角，，设直线与所成的角分别为∠1和∠2，则
（A）∠1+∠2=900 （B）∠1+∠2≥900 （C）∠1+∠2≤900 （D）∠1+∠2＜900
解析：C
如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB与平面所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
2. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是

（A） （B） （C） （D）
D
解析： A项：底面对应的中线，中线平行QS，PQRS是个梯形
B项： 如图
C项：是个平行四边形
D项：是异面直线。
3. 有三个平面，β，γ，下列命题中正确的是
（A）若，β，γ两两相交，则有三条交线 （B）若⊥β，⊥γ，则β∥γ
（C）若⊥γ，β∩=a，β∩γ=b，则a⊥b （D）若∥β，β∩γ=，则∩γ=
D
解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。
B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。
C项：如图
4. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为

C
解析：平面AB1，如图：P点到定点B的距离与到定直线AB的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是
（A）4条 （B）6条 （C）8条 （D）10条
C
解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。
6. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是
（A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定
C
解析：假设AB为a，AD为b，AC为c，且则，BD=，CD=，BC=如图则BD为最长边，根据余弦定理最大角为锐角。所以△BCD是锐角三角形。
7.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题 （ ）
①若 ②若
③ ④
其中正确的命题的个数是 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B 解析：注意①中b可能在α上；③中a可能在α上；④中b//α，或均有，
故只有一个正确命题
8.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底

面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC
所成角的大小为 （ ）
A．90° B．60°
C．45° D．30°

B 解析：平移SC到，运用余弦定理可算得
9. 对于平面M与平面N, 有下列条件: ①M、N都垂直于平面Q; ②M、N都平行于平面Q; ③ M内不共线的三点到N的距离相等; ④ l, M内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤ l, m是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
只有②、⑤能判定M//N，选B
10. 已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则A1B与AC1
所成的角为
（A）450 （B）600
（C）900 （D）1200
C解析：作CD⊥AB于D，作C1D1⊥A1B1于D1，连B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1B⊥AC1，选C。

11. 正四面体棱长为1，其外接球的表面积为
A.π B.π C.π D.3π
解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证
12. 设有如下三个命题：甲：相交直线、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．
当甲成立时，
A．乙是丙的充分而不必要条件 B．乙是丙的必要而不充分条件
C．乙是丙的充分且必要条件 D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
解析：当甲成立，即“相交直线、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交．”成立；若“平面α与平面β相交”，则“、m中至少有一条与平面β相交”也成立．选（C）．
13. 已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是
．
解析：（1）成立，如m、n都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m、n在平面的同一侧，且它们到的距离相等，则平面为所求，（4）成立，当m、n所在的平面与平面垂直时，平面内不存在到m、n距离相等的点
14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）
A．3 B．1或2 C．1或3 D．2或3
解析：C 如三棱柱的三个侧面。
15．若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 （ ）
A．相交 B．异面 C．平行  D． 异面或相交
解析：D 如正方体的棱长。

16．在正方体A1B1C1D1—ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为 （ ）
A． B．
C． D．
解析：DB1D在平面AC上的射影BD与AC垂直，根据三垂线定理可得。
17．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）

解析：C A，B选项中的图形是平行四边形，而D选项中可见图：

18．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于 （ ）
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：B 如图
★右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：
①AB与CD所在直线垂直； ②CD与EF所在直线平行
③AB与MN所在直线成60°角； ④MN与EF所在直线异面
其中正确命题的序号是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
解析：D

19．线段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，则△ABC是
（ ）
A．等边三角形 B非等边的等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：B． 设 AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7。
∴ △ABC是不等边的等腰三角形，选（B）．
20．若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是，l与a、l与b所成的角都是，
则的取值范围是 （ ）
A．[] B．[] C．[] D．[]
解析：D
解 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值，故选（D）．

21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的
竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建
筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所
示.他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的
影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）
_______.
4．2米
解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高，CE=米，树影长BE=米，树高AB=BE=米。

22．如图,正四面体（空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中,分别是棱的中点, 则
和所成的角的大小是________.
解析：设各棱长为2，则EF=，取AB的中点为M，即
23．OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直
线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长
为_______.
解析：在长方体OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZOZ，PYOY，PXOX，有 OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9， OY2+OZ2=16，
得 OX2+OY2+OZ2=37，OP=．
24．设直线a上有6个点，直线b上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.
解析： 当直线a，b共面时，可确定一个平面； 当直线a，b异面时，直线a与b上9个点可确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面．
25. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF和AD为异面直线.
解析：假设EF和AD在同一平面内，…（2分），则A，B，E，F；……（4分）又A，EAB，∴AB，∴B，……（6分）同理C……（8分）故A，B，C，D，这与ABCD是空间四边形矛盾。∴EF和AD为异面直线．

26. 在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.
解析：四边形EFGH是平行四边形，…………（4分）=2=

27. 如图，在三角形⊿ABC中，∠ACB=90º，AC=b,BC=a,P是⊿ABC 所在平面外一点，PB⊥AB，M是PA的中点，AB⊥MC，求异面直MC与PB间的距离.
解析：作MN//AB交PB于点N．（2分）∵PB⊥AB，∴PB⊥MN。（4分）又AB⊥MC，∴MN⊥MC．（8分）MN即为异面直线MC与PB的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间的距离， 则得MN=AB=
28. 已知长方体ABCD—A1B1C1D1中, A1A=AB， E、F分别是BD1和AD中点.
（1）求异面直线CD1、EF所成的角；
（2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.

（1）解析：∵在平行四边形中，E也是的中点，∴，（2分）
∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.（4分）又
A1A=AB，长方体的侧面都是正方形
，∴D1CCD1
∴异面直线CD1、EF所成的角为90°.（7分）
（2）证：设AB=AA1=a, ∵D1F=∴EF⊥BD1（9分）

由平行四边形，知E也是的中点，且点E是长方体ABCD—A1B1C1D1的对称中心，（12分）∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，∴EF是异面直线BD1与AD的公垂线.（14分）

29. ⊿ABC是边长为2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一点P，PB=PC=，PA=，延长BP至D，使BD=，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.
解析：分别连接PE和CD，可证PE//CD，（2分）则∠PEA即是AE和CD所成角．（4分）在Rt⊿PBE中，
PB=，BE=1，∴PE=。在⊿AEP中，AE=，=．
∴∠AEP=60º，即AE和CD所成角是60º．（7分）
∵AE⊥BC，PE⊥BC，PE//DC，∴CD⊥BC，∴CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1．（14分）
30. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱AB，BC，的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面．
解析：∵EN//MF，∴EN与MF 共面，（2分）又∵EF//MH，∴EF和MH共面．（4分）∵不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6分）∴平面与重合，∴点H。（8分）同理点G．（10分）故E，F，G，H，M，N六点共面．
31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有 （ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条
D
解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条
直线时，有一条交线，故选D
32．两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是 （ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
解析：C 如四棱锥的四个侧面，个。
33.．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则 （ ）
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M不在AC上，也不在BD上
解析：∵平面ABC∩平面ACD=AC，先证M∈平面ABC，M∈平面ACD，从而M∈AC
A
34. ．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是
.
解析：6条

35. 已知：

本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.
解析：∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面

36. 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分）

本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法
解析：∵A、B、C是不在同一直线上的三点
∴过A、B、C有一个平面
又

37. 已知：平面
求证：b、c是异面直线
解析：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交

38. 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，求AD与BC所成角的大小
（本题考查中位线法求异面二直线所成角）

解析：取BD中点M，连结EM、MF，则

39. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，求异面直线CM与D1N所成角的正弦值.(14分)
（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）
解析：取DD1中点G，连结BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，记MC∩BG=0
则BG和MC所成的角为异面直线CM与D1N所成的角.

而CM与D1N所成角的正弦值为
40. 如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a。
（1）求证：MN是AB和PC的公垂线
（2）求异面二直线AB和PC之间的距离
解析：（1）连结AN，BN，∵△APC与△BPC是全等的正三角形，又N是PC的中点
∴AN=BN
又∵M是AB的中点，∴MN⊥AB
同理可证MN⊥PC
又∵MN∩AB=M，MN∩PC=N
∴MN是AB和PC的公垂线。
（2）在等腰在角形ANB中，
即异面二直线AB和PC之间的距离为.
41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面      [    ]
A．可能有3个，也可能有2个 B．可能有4个，也可能有3个
C．可能有3个，也可能有1个 D．可能有4个，也可能有1个
解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.
42. 下列命题中正确的个数是   [    ]
①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形
③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。
命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。
命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。
43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有____1个。
解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。
44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_______，则它们在同一平面内。答案：相交或平行
解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。
45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有________3个。
解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。
46. 三条平行直线可以确定平面_________个。答案：1个或3个
解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。
47. 画出满足下列条件的图形。
(1)α∩β=1，a α，b β，a∩b=A
(2)α∩β=a，b β，b∥a
解析：如图1-8-甲，1-8-乙

48.经过平面外两点A，B和平面垂直的平面有几个？
解析：一个或无数多个。
当A，B不垂直于平面时，只有一个。
当A，B垂直于平面时，有无数多个。
49. 设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB＝12，CD＝4 ，且四边形EFGH的面积为12 ，求AB和CD所成的角.
解析： 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.
∵  EFGH是平行四边形，HG＝ AB＝6，
HE＝ ，CD＝2，
∴  SEFGH＝HG·HE·sin∠EHG＝12 sin∠EHG,∴ 12 sin∠EHG＝12.
∴  sin∠EHG＝,故∠EHG＝45°.
∴  AB和CD所成的角为45°
注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。
50. 点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF= AD，求异面直线AD和BC所成的角。（如图）　　　　　　　　　　　
解析：设G是AC中点，连接DG、FG。因D、F分别是AB、CD中点，故EG∥BC且EG= BC，FG∥AD，且FG=AD，由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即∠EGF为所求。由BC=AD知EG=GF=AD，又EF=AD，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。
注：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。
51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 　
　求：AM与CN所成的角的余弦值；
解析：(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E，则∠CNE
　为AM与CN所成的角。
　∵N为AD的中点, NE∥AM省 　∴NE=AM且E为MD的中点。
　设正四面体的棱长为1，　　则NC=·= 且ME=MD=
　　在Rt△MEC中，CE2=ME2+CM2=+=
∴cos∠CNE=,
　　又∵∠CNE ∈(0, )
∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。
2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求异面直线AB与CD所成的角。
解析：在BD上取一点G，使得，连结EG、FG
　　在ΔBCD中，，故EG//CD，并且，
　　所以，EG=5；类似地，可证FG//AB，且，
　　故FG=3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得
　　cos∠FGE=，故∠FGE=120°。
　　另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。
53. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．
解一：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OF∥AC1且OF=AC1，所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得
cos∠OB==
解二：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即AC1与DB所成的角。

解三：．延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1，在△AEC1
中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得
cos∠EAC1==＜0
所以∠EAC1为钝角．
根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为
54. 已知AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直，B为垂足，则
直线AB是斜线在平面内的射影，设AC是内的任一条直线，
解析：设AO与AB所成角为，AB与AC所成角为，AO与AC所成角为，则有。
在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=
∠ACB=，，求异面直线SC与AB所成角的大小。（略去了该题的1,2问）
由SA⊥平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影，
设异面直线SC与AB所成角为，
则 ，
由 得
∴ ， ，
∴ ， 即异面直线SC与AB所成角为 。
55. 已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，证明 。
（略去了该题的2，3问）
解析： 设在平面ABCD内射影为H，则CH为在平面ABCD内的射影，
∴ ，
∴ ，
由题意 ， ∴。
又 ∵
∴， 从而CH为的平分线，
又四边形ABCD是菱形， ∴
∴与BD所成角为， 即
56.. 在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，
求异面直线AE与CF所成角的大小。
解析： 连接BF、EF，易证AD⊥平面BFC，
∴ EF为AE在平面BFC内的射影，
设AE与CF所成角为，
∴ ，
设正四面体的棱长为，则 ，
显然 EF⊥BC， ∴ ，
∴ ， ，
∴ ， 即AE∴与CF所成角为 。
57. 三棱柱，平面⊥平面OAB，
，且，求异面直线与所成角的大小，（略去了该题的1问）
解析： 在平面内作于C ，连，
由平面平面AOB， 知，
AO⊥平面， ∴ ，
又 ， ∴ BC⊥平面，
∴ 为在平面内的射影。
设与所成角为，与所成角为，
则，
由题意易求得 ，
∴ ，
在矩形中易求得与所成角的余弦值：，
∴ ，
即与所成角为 。
58. 已知异面直线与所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与，所成的角均是的直线有且只有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
解析： 过空间一点P作∥，∥，则由异面直线所成角的定义知：与的交角为，过P与，成等角的直线与，亦成等角，设，确定平面，，交角的平分线为，则过且与垂直的平面（设为）内的任一直线与，成等角（证明从略），由上述结论知：