高考数学柯西不等式教学题库大全.doc

高考数学柯西不等式教学题库大全一、二维形式的柯西不等式二、二维形式的柯西不等式的变式三、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a2 + b2 + c2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。基本方法（1）巧拆常数：例1：设、为正数且各不相等。求证：（2）重新安排某些项的次序：例2：、为非负数，+=1，求证：（3）改变结构：例3、若 求证：（4）添项：例4：求证：【1】、设，则之最小值为_；此时_。【2】 设= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若x2 + y2 + z2 = 16，则的最大值为。【3】空间二向量，已知，则(1)的最大值为多少？(2)此时？Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a、b、c为正数，求的最小值。Ans：121【5】. 设x，y，z R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为【6】 设x，y，z R，若x2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为时，(x，y，z) = 【7】设，试求的最大值M与最小值m。Ans：【8】、设，试求的最大值与最小值。【9】、设，试求之最小值。【10】设，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。【11】 设x，y，z R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为【12】设x, y, zR，若，则之最小值为_，又此时_。【13】 设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为【14】、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为_，此时_。【15】. 设空间向量的方向为a，b，g，0 a，b，g p，csc2a + 9 csc2b + 25 csc2g 的最小值为。【16】. 空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为a，b，g（a，b，g 均非象限角），求的最小值。【17】.空间中一向量的方向角分别为，求的最小值。答72利用柯西不等式解之【18】、设x, y, zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？【19】 设rABC之三边长x，y，z满足x - 2y + z = 0及3x + y - 2z = 0，则rABC之最大角是多少度？【20】. 设x，y，z R且，求x + y + z之最大值，最小值。Ans 最大值7；最小值 - 3【21】. 求2sinq +cosq sinf - cosq cosf 的最大值与最小值。答. 最大值为，最小值为 -【22】ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式恒成立,求的范围.【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.竞赛欣赏 1 （1987年CMO集训队试题）设，求证： （2-10） 证明：因，由定理1有 此即（2-10）式。2 设，求证： 证明：由均值不等式得，故 即 .又由柯西不等式知，故又由定理1，得原式左原式右3