1、 高考数学柯西不等式教学题库大全
一、二维形式的柯西不等式
二、二维形式的柯西不等式的变式
三、二维形式的柯西不等式的向量形式
借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法
（1）巧拆常数：
例1：设、、为正数且各不相等。求证：
（2）重新安排某些项的次序：
例2：、为非负数，+=1，求证：
（3）改变结构：
例
2、3、若>> 求证：
（4）添项：
例4：求证：
【1】、设，则之最小值为________；此时________。
【2】 设= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若x2 + y2 + z2 = 16，则的最大值为 。
【3】空间二向量，，已知，则(1)的最大值为多少？(2)此时？
Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)
【4】设a、b、c为正数，求的最小值。Ans：121
【5】. 设x，y，z Î R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为
【6】 设x，y，z Î R，若x2 + y2 + z2 =
3、4，则x - 2y + 2z之最小值为 时，(x，y，z) =
【7】设，，试求的最大值M与最小值m。
Ans：
【8】、设，试求的最大值与最小值。
【9】、设，试求之最小值。
【10】设，，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。
【11】 设x，y，z Î R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为
【12】设x, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________。
【13】 设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为
4、
【14】、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。
【15】. 设空间向量的方向为a，b，g，0 < a，b，g < p，csc2a + 9 csc2b + 25 csc2g 的最小值为 。
【16】. 空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为a，b，g（a，b，g 均非象限角），求的最小值。
【17】.空间中一向量的方向角分别为，求的最小值。
答72利用柯西不等式解之
【18】、设x, y, zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？
【19】 设rABC之三边长x，y，z满足x - 2y + z
5、 0及3x + y - 2z = 0，则rABC之最大角是多少度？
°
【20】. 设x，y，z Î R且，求x + y + z之最大值，最小值。
Ans 最大值7；最小值 - 3
【21】. 求2sinq +cosq sinf - cosq cosf 的最大值与最小值。
答. 最大值为，最小值为 -
【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：
证明：由三角形中的正弦定理得
【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.
【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.
【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.
竞赛欣赏
1 （1987年CMO集训队试题）设，求证：
（2-10）
证明：因，由定理1有
此即（2-10）式。
2 设，求证：
证明：由均值不等式得，故
即 .
又由柯西不等式知，故
又由定理1，得
原式左＝原式右
3
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