2022版高考数学一轮复习-练案选修4-5-不等式选讲-第二讲-不等式的证明与柯西不等式练习新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 练案选修4-5 不等式选讲 第二讲 不等式的证明与柯西不等式练习新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案选修4-5 不等式选讲 第二讲 不等式的证明与柯西不等式练习新人教版

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第二讲　不等式的证明与柯西不等式
1．(2021·吉林长春模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝4.
(1)求证：≥2；
(2)求证：＋≥＋.
[解析]　(1)证明：因为a>0，b>0，a＋b＝4，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝16，
∴a2＋b2≥8，
从而≥2(当且仅当a＝b＝2时取等号)．
(2)因为a＋b＝4，所以a＋2＋b＝6，
所以＋＝
＝
≥(3＋2)＝＋，
当且仅当(a＋2)＝b时取等号．
2．(2021·河南质检)已知正实数a，b，c满足ab＋bc＋ac＝abc.
(1)证明：a＋b＋c≥9；
(2)证明：＋＋≥1.
[证明]　(1)因为ab＋bc＋ac＝abc，
所以＋＋＝1，所以
a＋b＋c＝(a＋b＋c)·
＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
所以a＋b＋c≥9.
(2)＋＋＝＋＋＋＋＋－1＝＋＋－1≥＋＋－1＝1，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
即＋＋≥1.
3．(2021·河南开封模拟)已知x、y为正实数，且满足x＋y＝1.
(1)若xy≤m恒成立，求m的最小值；
(2)证明：2＋2≥.
[解析]　(1)∵x>0，y>0，x＋y＝1
∴xy≤2＝
∵xy≤m恒成立，
∴m≥，故m的最小值为.
(2)∵＋＝(x＋y)＝2＋＋≥4，
∴2＋2≥
＝≥＝.(当且仅当x＝y＝时取等号)
∴2＋2≥.
4．(2021·四川资阳诊断)已知不等式|x－2|＋|x－3|<3的解集为M.
(1)求M；
(2)若b、c∈M，证明：|4＋bc|<|4c＋b|.
[解析]　 (1)由数轴易知当x＝1或4时|x－2|＋|x－3|＝3，

∴|x－2|＋|x－3|<3的解集为(1,4)．
即M＝(1,4)
另解：当x≤2时，－2x＋5<3，得1<x≤2；
当2<x<3时，1<3成立，得2<x<3；
当x≥3时，2x－5<3，得3≤x<4.
∴原不等式的解集为(1,4)，即M＝(1,4)．
(2)要证明|4＋bc|<|4c＋b|，
即证明(4＋bc)2<(4c＋b)2，
即b2c2＋16－b2－16c2<0，
即证明(b2－16)(c2－1)<0，
由于b、c∈M，∴b2－16<0，c2－1>0，
则有(b2－16)(c2－1)<0，
∴|4＋bc|<|4c＋b|.
5．(2021·安徽马鞍山质检)已知a，b，c为非负实数，函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋b|＋c.
(1)若a＝2，b＝6，c＝1，求不等式f(x)>11的解集；
(2)若函数f(x)的最小值为2，证明：＋＋≥9.
[解析]　(1)当a＝2，b＝6，c＝1时，不等式f(x)＝|2x－2|＋|2x＋6|＋1>11，
化简得：|x－1|＋|x＋3|>5，采用零点讨论法，
记g(x)＝|x－1|＋|x＋3|，
则g(x)＝|x－1|＋|x＋3|＝
由g(x)>5，解得：x<－或x>，
所以，不等式f(x)>11的解集为

(2)因为f(x)＝|2x－a|＋|2x＋b|＋c≥|a＋b|＋c＝a＋b＋c，
∵函数f(x)的最小值为2，∴a＋b＋c＝2.
证法一：根据柯西不等式可得：
＋＋＝
[(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)]≥2
＝×36＝9，
当且仅当：＝＝，即a＝，b＝0，c＝时等式成立．
综上，＋＋≥9.
证法二：＋＋＝
[(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)]＝
≥(14＋4＋6＋12)＝9，当且仅当a＝，b＝0，c＝等式成立．
综上，＋＋≥9.
6．(2021·四川遂宁诊断)已知函数f(x)＝2|x－1|－|x＋1|－m.
(1)当m＝－2时，求不等式f(x)>3的解集；
(2)若f(x)的最小值为M，且a＋b＝M＋m＋4(a，b∈R)，求2a2＋3b2的最小值．
[解析]　(1)当m＝－2时，
f(x)＝又f(x)>3.
则有或或
解得x<－1或－1≤x<0或x>4.即x<0或x>4.
所以不等式f(x)>3的解集为{x|x<0或x>4}．
(2)因为f(x)＝
在x＝1处取得最小值－m－2.
所以M＝－m－2，则a＋b＝M＋m＋4＝2.
由柯西不等式
(2a2＋3b2)≥2＝(a＋b)2＝4，
所以2a2＋3b2≥，
当且仅当2a＝3b，即a＝，b＝时，等号成立．
故2a2＋3b2的最小值为.
另解：由a＋b＝2得2a2＋3b2＝2a2＋3(2－a)2＝5a2－12a＋12＝52＋≥，
∴当a＝时2a2＋3b2取得最小值.
7．(2020·湖北重点高中联考协作体期中)已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|4<x<6}．
(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值．
[解析]　(1)由|x＋a|<b知－b－a<x<b－a，
所以即.
(2)依题意知：
＋＝＋
＝·＋≤
＝＝2，
当且仅当＝，即t＝时等号成立，
所以所求式子的最大值为2.
8．(2020·四川省宜宾市三诊)已知a，b，c∈R，且a2＋b2＋c2＝1.
(1)求a＋2b＋c的最大值；
(2)若a＋2b＋c＝1，证明：－≤c≤1.
[解析]　解法一：(1)(a＋2b＋c)2＝a2＋4b2＋c2＋4ab＋2ac＋4bc≤(a2＋4b2＋c2)＋(4a2＋b2)＋(a2＋c2)＋(b2＋4c2)
＝6(a2＋b2＋c2)＝6，当且仅当2a＝b＝2c，即a＝c＝，b＝时等号成立，所以a＋2b＋c的最大值为.
解法二：∵a2＋b2＋c2＝1，
由柯西不等式得(a＋2b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)(12＋22＋12)＝6
，
∴a＋2b＋c≤，即a＋2b＋c的最大值为.
(2)证明：因为a2＋b2＋c2＝1，a＋2b＋c＝1，所以a2＋b2＝1－c2，a＋2b＝1－c，(a2＋b2)(1＋22)≥(a＋2b)2，当且仅当2a＝b时等号成立，
则有5(1－c2)≥(1－c)2，
即3c2－c－2≤0，故－≤c≤1.