第24届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答.doc

第24届全国中学生物理竞赛决赛试题2007年11月 宁波 理论部分yCDv0lOxA l B一、A ，B ，C三个刚性小球静止在光滑的水平面上它们的质量皆为m ，用不可伸长的长度皆为l的柔软轻线相连，AB的延长线与BC的夹角 = / 3 ，如图所示在此平面内取正交坐标系Oxy ，原点O与B球所在处重合，x轴正方向和y轴正方向如图另一质量也是m的刚性小球D位于y轴上，沿y轴负方向以速度v0（如图）与B球发生弹性正碰，碰撞时间极短设刚碰完后，连接A ，B ，C的连线都立即断了求碰后经多少时间，D球距A ，B ，C三球组成的系统的质心最近二、为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU（AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 1011 m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径Re = 6.37 106 m ，地面处的重力加速度g = 9.80 m / s2 ，不考虑空气的阻力三、如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H 、内壁横截面积为S的绝热气缸内，有一质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动缸内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为k1和k2（k1k2）的轻质弹簧A的上方为真空；A的下方盛有一定质量的理想气体已知系统处于平衡状态，A所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为h1 = H / 4 现给电炉丝R通电流对气体加热，使A从高度h1开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h2 = 3H / 4 求此过程中气体吸收的热量Q 已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1 K吸收的热量为3R / 2 ，R为普适气体恒量在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律H四、为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R2的半球形导体球壳已知当导体球与导体球壳间的电压为U时，介质中离球心O的距离为r处的场强为E = ，场强方向沿径向AB图甲半球形导体球壳绝缘层导体球图乙1已知绝缘子导体球壳的内半径R2 = 4.6 cm ，陶瓷介质的击穿强度Ek = 135 kV / cm 当介质中任一点的场强E Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R1应取什么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？2一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容C0 每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C1（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C2 若高压输电线对地电压的有效值为U0 试画出该系统等效电路图3若C0 = 70 pF = 7 1011 F ，C1 = 5 pF ，C2 = 1 pF ，试计算该系统所能承受的最大电压（指有效值）yGPOdAx五、如图所示，G为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O为原点，建立一直角坐标系Oxy ，y轴与玻璃管的轴线重合在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一电荷量为Q的正点电荷A ，一个电荷量为q（q0）的粒子P位于管内，可沿y轴无摩擦地运动设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响1求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条件时，可以在y0的区域内存在平衡位置2上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m 以y（m）表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标当粒子P处于稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_；当粒子P处于不稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_（请将填空答案写在答题纸上）3已知质量为m1的粒子P处于稳定平衡位置，其y坐标为y1 现给P沿y轴一微小扰动试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期4已知质量为m2的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为y2 ，现设想把P放在坐标y3 处，然后从静止开始释放P求释放后P能到达玻璃管底部的所有可能的y3（只要列出y3满足的关系式，不必求解）P O1 O2s六、如图所示，一半径为R 、折射率为ng的透明球体置于折射率n0 =1的空气中，其球心位于图中光轴的O处，左、右球面与光轴的交点为O1与O2 球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器光轴上O1点左侧有一发光物点P ，P点到球面顶点O1的距离为s 由P点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射1问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？2当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率ng 取何值时像点亦做匀速运动七、已知钠原子从激发态（记做 P3 / 2）跃迁到基态（记做 S1 / 2）所发出的光谱线波长 0 =588.9965 nm 现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿z轴负方向传播的波长为 = 589.0080 nm 的激光照射以 表示钠原子运动方向与z轴正方向之间的夹角（如图所示）问在 30 45 角度区间内的钠原子中速率u在什么范围内能产生共振吸收，从S1 / 2 态激发到P3 / 2 态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小已知钠原子质量为M = 3.79 1026 kg ，普朗克常量h = 6.626069 1034 J s ，真空中的光速c = 2.997925 108 m s1 钠原子激光束uz第24届全国中学生物理竞赛决赛参考解答一、1分析刚碰后各球速度的方向由于D与B球发生弹性正碰，所以碰后D球的速度方向仍在y轴上；设其方向沿y轴正方向，大小为v 由于线不可伸长，所以在D ，B两球相碰的过程中，A ，C两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对A ，C两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿CB方向用表示B球的速度方向与x轴的夹角，则各球速度方向将如图所示因为此时连接A ，B ，C三球的两根线立即断了，所以此后各球将做匀速直线运动2研究碰撞后各球速度的大小以v1 ，v2 ，v3 分别表示刚碰后A ，B ，C三球速度的大小，如图所示因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x方向有mv1mv3 cos + mv2 cos = 0 ； （1）沿y方向有mv0 = mv mv2 sin mv3 sin （2）根据能量守恒有 mv = mv + mv + mv + mv2 （3）因为碰撞过程中线不可伸长，B ，C两球沿BC方向的速度分量相等，A ，B两球沿AB方向的速度分量相等，有v2 cos = v1 ， （4）v2 cos ( + ) = v3 （5）将 = / 3代入，由以上各式可解得v1 = v0 ， （6）v2 = v0 ， （7）v3 = v0 ， （8）v = v0 （9）3确定刚碰完后，A ，B ，C三球组成的系统质心的位置和速度由于碰撞时间极短，刚碰后A ，B ，C三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（xc ，yc）表示此时质心的坐标，根据质心的定义，有xc = ， （10）yc = （11）代入数据，得xc = l ， （12）yc = l （13）根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度vc的分量为vcx = ， （14）vcy = （15）由（4）（7）和（14），（15）各式及值可得vcx = 0 ， （16）vcy = v0 （17）4讨论碰后A ，B ，C三球组成的系统的质心和D球的运动刚碰后A ，B ，C三球组成的系统的质心将从坐标（xc = l / 6 ，yc = l / 6）处出发，沿y轴负方向以大小为5 v0 / 12的速度做匀速直线运动；而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为v0 / 4的速度做匀速直线运动A ，B ，C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只要D球与C球不发生碰撞，则vC ，vD不变，质心与D球之间的距离逐渐减少到y坐标相同处时，它们相距最近用t表示所求的时间，则有vt = yc + vcy t （18）将vcy ，v ，yc的值代入，得t = （19）此时，D球与A ，B ，C三球组成系统的质心两者相距l / 6 在求出（19）式的过程中，假设了在t = l / 4v0时间内C球未与D球发生碰撞下面说明此假设是正确的；因为v3 = v0 / 3 ，它在x方向分量的大小为v0 / 6经过t时间，它沿x轴负方向经过的距离为l / 8 而C球的起始位置的x坐标为l / 2 经t时间后，C球尚未到达y轴，不会与D球相碰图1BvePrseA二、从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的距离可视为不变，仍为日地距离飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E表示两轨道的交点，如图1所示图中半径为rse的圆A是地球绕太阳运行的轨道，太阳S位于圆心设椭圆B是飞船绕日运行的轨道，P为椭圆轨道的近日点由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半长轴a应与日地距离rse相等，即有a = rse （1）根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a ，由此可以断定，两轨道的交点E必为椭圆短轴的一个顶点，E与椭圆长轴和短轴的交点Q（即椭圆的中心）的连线垂直于椭圆的长轴由ESQ ，可以求出半短轴b = （2）由（1），（2）两式，并将a = rse = 1AU ，= 0.01 AU代入，得b = 0.141AU （3）在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的设飞船在E点的速度为v ，在近日点的速度为vp ，飞船的质量为m ，太阳的质量为Ms ，则有mva sin = mvp ， （4）式中为速度v的方向与E ，S两点连线间的夹角：sin = （5）由机械能守恒，得mv2 G = mv （6）因地球绕太阳运行的周期T是已知的（T = 365 d），若地球的质量为Me ，则有G = Me ( )2a （7）解（3）（7）式，并代入有关数据，得v = 29.8 km / s （8）（8）式给出的v是飞船在E点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从E点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度若在E点飞船相对地球的速度为u ，因地球相对于太阳的公转速度为ve = = 29.8 km / s ， （9）方向如图1所示由速度合成公式，可知v = u + ve ， （10）图2速度合成的矢量图如图2所示，注意到ve与垂直，有u = ， （11）代入数据，得u = 39.1 km / s （12）u是飞船在E点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度u0 为了求得u0 ，可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动因飞船相对于地球的发射速度为u0时，飞船离地心的距离等于地球半径Re 当飞船相对于地球的速度为u时，地球引力作用可以忽略由能量守恒，有mu G = mu2 （13）地面处的重力加速度为g = G ， （14）解（13），（14）两式，得u0 = （15）由（15）式及有关数据，得u0 = 40.7 km / s （16）如果飞船在E点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则（11）式要做相应的改变此时，它应为u = ， （17）相应计算，可得另一解u = 45.0 km / s ， u0 = 46.4 km / s （18）如果飞船进入椭圆轨道的地点改在E点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上），则计算过程相同，结果不变三、两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数k = （1）设活塞A下面有mol气体当A的高度为h1时，气体的压强为p1 ，温度为T1 由理想气体状态方程和平衡条件，可知p1Sh1 = vRT1 ， （2）p1S = kh1 + mg （3）对气体加热后，当A的高度为h2时，设气体压强为p2 ，温度为T2 由理想气体状态方程和平衡条件，可知p2Sh2 = vRT2 ， （4）p2S = kh2 + mg （5）在A从高度h1上升到h2的过程中，气体内能的增量U = vR ( T2T1 ) （6）气体对弹簧、活塞系统做的功W等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即W = k ( hh ) + mg (h2h1 ) （7）根据热力学第一定律，有Q =U + W （8）由以上各式及已知数据可求得Q = H2 + mgH （9）四、1根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为U时，在距球心r（R1 r R2）处，电场强度的大小为E = （1）在r = R1 ，即导体球表面处，电场强度最大以E（R1）表示此场强，有E ( R1) = （2）因为根据题意，E（R1）的最大值不得超过Ek ，R2为已知，故（2）式可写为Ek = （3）或U = Ek （4）由此可知，选择适当的R1值，使(R2R1) R1最大，就可使绝缘子的耐压U为最大不难看出，当 R1 = （5）时，U便是绝缘子能承受的电压的最大值Uk 由（4），（5）两式得Uk = ， （6）代入有关数据，得Uk = 155 kV （7）当交流电压的峰值等于Uk时，绝缘介质即被击穿这时，对应的交流电压的有效值Ue = 110 kV （8）2系统的等效电路如图所示U0C2C2C2C2C1C1C1C1C0C0C0C03设绝缘子串中间三点的电势分别为U1 ，U2 ，U3 ，如图所示由等效电路可知，与每个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零，即有 （9）U0C2C2C2C2C1C1C1C1C0C0C0C0U1U2U3四个绝缘子上的电压之和应等于U0 ，即( U0U1 ) + ( U1U2 ) + ( U2U3 ) + U3 = U0 （10）设U1 = U0U1 ， U2 = U1U2 ，U3 = U2U3 ，U4 = U3 ， （11）则可由（9）式整理得代入数据，得 （12）解（12）式，可得U1 = 0.298 U0 ， U2 = 0.252 U0 ，U3 =0.228 U0 （13）由（10）（12）式可得U4 =U3 = 0.222 U0 （14）以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最靠近输电线的绝缘子承受的电压最大，此绝缘子最容易被击穿当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值U1 =Ue （15）时，此绝缘子被击穿，整个绝缘子串损坏由（8），（13）和（15）三式可知，绝缘子串承受的最大电压U0max = = 369 kV （16）yGPmgrOdxAFEy五、1如图所示，位于坐标y处的带电粒子P受到库仑力FE为斥力，其y分量为FEy = k sin = k ， （1）式中r为P到A的距离，为r与x轴的夹角可以看出，FEy与y有关：当y较小时，（1）式分子中的y起主要作用，FEy随y的增大而增大；当y较大时，（1）式分母中的y起主要作用，FEy随y的增大而减小可见，FEy在随y由小变大的过程中会出现一个极大值通过数值计算法，可求得FEy随y变化的情况令= y / d ，得FEy = k （2）当取不同数值时，对应的( 1 +2)3 / 2的值不同经数值计算，整理出的数据如表1所示表10.1000.5000.6000.6500.7000.7070.7100.7500.800( 1 +2)3 / 20.09850.3560.3780.3820.3850.3850.3850.3840.381由表中的数据可知，当= 0.707，即y = y0 = 0.707d （3）时，库仑力的y分量有极大值，此极大值为FEymax = 0.385k （4）由于带电粒子P在竖直方向除了受到竖直向上的FEy 作用外，还受到竖直向下的重力mg作用只有当重力的大小mg与库仑力的y分量相等时，P才能平衡当P所受的重力mg大于FEymax时，P不可能达到平衡故质量为m的粒子存在平衡位置的条件是mg FEymax 由（4）式得m k （5）2y (m) 0.707d ；0y (m)0.707d 3根据题意，当粒子P静止在y = y1处时，处于稳定平衡位置，故有m1g = 0 （6）设想给粒子P沿y轴的一小扰动y ，则P在y方向所受的合力为Fy = FEy m1g = k m1g （7）由于y为一小量，可进行近似处理，忽略高阶小量，有Fy = k m1g = k ( 1 )m1g= k + k k m1g 注意到（6）式，得Fy = y （8）因y = y1是粒子P的稳定平衡位置，故y10.707d ，2yd20 由（8）式可知，粒子P在y方向受到合力具有恢复力的性质，故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动；其圆频率为= ， （9）周期为T = =2 （10）4粒子P处在重力场中，具有重力势能；它又处在点电荷A的静电场中，具有静电势能当P的坐标为y时，其重力势能Wg = m2gy ，式中取坐标原点O处的重力势能为零；静电势能WE = k 粒子的总势能W = Wg + WE = m2gy + k （11）势能也与P的y坐标有关：当y较小时，静电势能起主要作用，当y较大时，重力势能起主要作用在P的稳定平衡位置处，势能具有极小值；在P的不稳定平衡位置处，势能具有极大值根据题意，y = y2处是质量为m2的粒子的不稳定平衡位置，故y = y2处，势能具有极大值，即W ( y2 ) = Wmax = m2gy2 + k （12）当粒子P的坐标为y3时，粒子的势能为W ( y3 ) = m2gy3 + k 当y3 y2时，不论y3取何值，粒子从静止释放都能到达管底若y3 y2 ，粒子从静止释放能够到达管底，则有W ( y3 ) W ( y2 ) 所以，y3满足的关系式为y3 y2 ； （13）或者y3 y2 且 m2gy3 + k m2gy2 + k （14）附：（1）式可表示为FEy = k sin = k cos2sin ， 式中为P，A之间的连线和x轴的夹角由上式可知，带电粒子P在 = 0 ， / 2时，FEy = 0 在0 / 2区间，随着的增大，sin是递增函数，cos2是递减函数在此区间内，FEy必存在一个极大值FEymax ；用数值法求解，可求得极大值所对应得角度0 经数个计算整理出的数据如表2所示表2 / rad0. 0100.4640.5400.5760.6110.6150.6170.6440.675cos2sin0.0290.3670.3780.3830.3850.3850.3850.3840.381由表中数值可知，当 = 00.615 rad（即35.26）时，FEy取极大值FEymax = k cos20sin0 = 0.385 k 带电粒子P在竖直方向上还受到重力G的作用，其方向与FEy相反故带电粒子P受到的合力F = FEy G = k cos2sin mg 当F = 0 ，即FEy = G 时，P处于平衡状态由此可见，当带电粒子的质量m = 时，可以在y轴上找到平衡点六、1单球面折射成像公式可写成 + = ， （1）式中s为物距，s 为像距，r为球面半径，n和n 分别为入射光和折射光所在介质的折射率在本题中，物点P经反射器的成像过程是：先经过左球面折射成像（第一次成像）；再经右球面反射成像（第二次成像）；最后再经左球面折射成像（第三次成像）（1）第一次成像令s1和s1分别表示物距和像距因s1 = s ，n = n0 = 1 ，n = ng ，r = R ，有 + = ， （2）即s1 = （3）（2）第二次成像用s2 表示物距，s2 表示像距，有 + = （4）因s2 = 2R s1 ，r = R ，由（3），（4）两式得s2 = （5）（3）第三次成像用s3 表示物距，s3 表示像距，有 + = （6）因s3 = 2R s2 ，n0 = 1 ，r = R ，由（5），（6）两式得s3 = （7）2以 v 表示像的速度，则 （8）由于s 很小，分母中含有s的项可以略去，因而有v = （9）根据题意，P从左向右运动，速度大小为 v ，则有v = （10）由此可得，像的速度v = （11）可见，像的速度与 s 有关，一般不做匀速直线运动，而做变速直线运动当n =2 （12）时，（11）式分母括号中的头两项相消，v 将与 s 无关这表明像也将做匀速直线运动；而且（11）式变为 v = v ，即像的速度和P的速度大小相等七、解法一根据已知条件，射向钠原子的激光的频率v = （1）对运动方向与 z 轴正方向的夹角为 、速率为 u 的钠原子，由于多普勒效应，它接收的激光频率v = v ( 1 + cos )； （2）改用波长表示，有 = （3）发生共振吸收时，应有 = 0 ，即 = 0 （4）解（4）式，得ucos = c ； （5）代入有关数据，得ucos = 5.85 103 m s1 （6）由（6）式，对 =30 的钠原子，其速率u1 = 6.76 103 m s1 ；对 = 45 的钠原子，其速率u2 = 8.28 103 m s1 运动方向与 z 轴的夹角在 3045 区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76 103 m s1 u 8.28 103 m s1 （7）共振吸收前后，动量守恒设钠原子的反冲速率为 V ，则有Mu ez = MV （8）其中 ez 为 z 轴方向的单位矢量由（8）式得u V = ez （9）钠原子速度（矢量）变化的大小为| u V | = ； （10）代入数据，得| u V | = 2.9 102 m s1 （11）解法二根据已知条件，钠原子从激发态 P3 / 2 跃迁到基态 S1 / 2 发出的光谱线的频率v0 = ； （1）入射激光的频率v = （2）考查运动方向与 z 轴的正方向成 角的某个钠原子它在共振吸收过程中动量守恒，能量守恒以 u 表示该钠原子在共振吸收前的速度，V 表示该钠原子共振吸收后的速度，则有Mu ez = MV ， （3） Mu2 + hv = MV2 + hv0 （4） 把（3）式写成分量形式，并注意到共振吸收前后钠原子在垂直于 z 轴方向的动量不变，有Musin = MVsin ， （5）Mucos = MVcos ， （6）式中 为激发态钠原子速度方向与 z 轴正方向的夹角从（5），（6）两式中消去 ，得M2u2 M2V2 = () 2 + 2Mucos （7）由（4），（7）两式可得2hv0 2hv = ()2 + 2hvcos （8）注意到( hv / c )2M ，得v0 = v ( 1 + cos )； （9）改用波长表示，有0 = （10）解（10）式，得ucos = c ； （11）代入有关数据，得ucos = 5.85 103 m s1 （12）由（12）式，对 =30 的钠原子，其速率u1 = 6.76 103 m s1 ；对 = 45 的钠原子，其速率u2 = 8.28 103 m s1 运动方向与 z 轴的夹角在 3045 区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76 103 m s1 u 8.28 103 m s1 （13）由（3）式可知，钠原子共振吸收前后速度（矢量）的变化为u V = ez ， （14）速度（矢量）大小的变化为| u V | = ； （15）代入数据，得| u V | = 2.9 102 m s1 （16）19