初二三角形四边形动点问题知识点及题答案..doc

教学过程
一、 复习预习
1. 复习所学过的几何图形及其性质
2. 列出所有几何图形的面积边长公式 .
二、知识讲解
专题一:一函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 , 是初中数学的重要内容 . 动点 问题反映的是一种函数思想 , 由于某一个点或某图形的有条件地运动变化 , 引起未知量与已知 量间的一种变化关系 , 这种变化关系就是动点问题中的函数关系 . 那么 , 我们怎样建立这种函 数解析式呢 ? 下面结合中考试题举例分析 .

一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二:动态几何型压轴题
动态几何特点 ----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊 的关系; 分析过程中, 特别要关注图形的特性 (特殊角、 特殊图形的性质、 图形的特殊位置。 动点问题一直是中考热点, 近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、 直角三角形、 相 似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的 常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
一、 以动态几何为主线的压轴题。
(一点动问题。 (二线动问题。 (三面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有 :
1、特殊探路,一般推证。 2、动手实践,操作确认。 3、建立联系,计算说明。
三、专题二总结,本大类习题的共性:
1.代数、几何的高度综合(数形结合 ;着力于数学本质及核心内容的考查 ; 四大数学思想:数学结合、分类讨论、方程、函数.
2.以形为载体,研究数量关系;通过设、表、列获得函数关系式;研究特殊情况下的函数 值。
专题三:双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体,运动变化为 主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强,能力要求高,它能

全面的考查学生的实践操作能力, 空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力 . 其中以灵 活多变而著称的双动点问题更成为今年中 考试 题的热点, 现采撷几例加以分类浅析, 供读者 欣赏 .
1 以双动点为载体,探求函数图象问题。
2 以双动点为载体,探求结论开放性问题。
3 以双动点为载体,探求存在性问题。
4 以双动点为载体,探求函数最值问题。
双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型 . 这类试题信息量大 , 对同学们获取信 息和处理信息的能力要求较高 ; 解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题 , 挖掘运 动、变化的全过程 , 并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系 , 动中取静 , 静中 求动。
专题四:函数中因动点产生的相似三角形问题
专题五:以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点, 中考经常考察, 有一类动点问题, 题中未说到圆, 却与圆 有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类问题 方法巧妙,耐人寻味。
三、例题精析
【例题 1】

如图,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,∠ B=90°, AD=24cm, AB=8cm, BC=26cm, 动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s的速度运动; 动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s的速度运动. P 、 Q 分别从点 A 、 C 同时出发,当其中一点到达端点时,另外 一点也随之停止运动,设运动时间为 ts .
(1当 t 为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形?
(2当 t 为何值时,四边形 PQCD 为等腰梯形?
(3当 t 为何值时,四边形 PQCD 为直角梯形?

解析 :
(1四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ.
(2四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE.
(3四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC.
所有的关系式都可用含有 t 的方程来表示,即此题只要解三个方程即可.
解答:
解:(1∵四边形 PQCD 平行为四边形
∴ PD=CQ
∴ 24-t=3t
解得:t=6

即当 t=6时, 四边形 PQCD 平行为四边形.
(2过 D 作 DE ⊥ BC 于 E
则四边形 ABED 为矩形
∴ BE=AD=24cm
∴ EC=BC-BE=2cm
∵四边形 PQCD 为等腰梯形
∴ QC-PD=2CE
即 3t-(24-t =4
解得:t=7(s
即当 t=7(s 时,四边形 PQCD 为等腰梯形.
(3由题意知:QC-PD=EC时,
四边形 PQCD 为直角梯形即 3t-(24-t =2
解得:t=6.5(s
即当 t=6.5(s 时,四边形 PQCD 为直角梯形.
点评:
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中.

【例题 2】
如图,在矩形 ABCD 中, BC=20cm, P , Q , M , N 分别从 A , B , C , D 出发沿 AD , BC , CB , DA 方向在矩形的边上同时运动, 当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时, 运动 即停止. 已知在相同时间内, 若 BQ=xcm(x ≠ 0 , 则 AP=2xcm, CM=3xcm, DN=x2cm.

(1当 x 为何值时,以 PQ , MN 为两边,以矩形的边(AD 或 BC 的一部分为第三边构 成一个三角形;
(2当 x 为何值时,以 P , Q , M , N 为顶点的四边形是平行四边形;
(3以 P , Q , M , N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求 x 的值;如果不能, 请说明理由.
解析 :
以 PQ , MN 为两边,以矩形的边(AD 或 BC 的一部分为第三边构成一个三角形的必须条 件是点 P 、 N 重合且点 Q 、 M 不重合,此时 AP+ND=AD即 2x+x2=20cm, BQ+MC≠ BC 即 x+3x≠ 20cm ; 或者点 Q 、 M 重合且点 P 、 N 不重合, 此时 AP+ND≠ AD 即 2x+x2≠ 20cm , BQ+MC=BC即 x+3x=20cm.所以可以根据这两种情况来求解 x 的值.

以 P , Q , M , N 为顶点的四边形是平行四边形的话,因为由第一问可知点 Q 只能在点 M 的左侧. 当点 P 在点 N 的左侧时, AP=MC, BQ=ND; 当点 P 在点 N 的右侧时, AN=MC, BQ=PD.所以可以根据这些条件列出方程关系式.
如果以 P , Q , M , N 为顶点的四边形为等腰梯形, 则必须使得 AP+ND≠ AD 即 2x+x2≠ 20cm , BQ+MC≠ BC 即 x+3x≠ 20cm , AP=ND即 2x=x2, BQ=MC即 x=3x, x ≠ 0.这些条件不能 同时满足,所以不能成为等腰梯形.
解答:
解:(1 当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时, 以 PQ , MN 为两边, 以矩形的边 (AD 或 BC 的一部分为第三边可能构成一个三角形.
①当点 P 与点 N 重合时,由 x2+2x=20,得
x1=
-1,

x2=- -1(舍去 . 因为 BQ+CM=x+3x=4(
-1<20,此时点 Q 与点 M 不重合.

所以

x= -1符合题意. ②当点 Q 与点 M 重合时,由 x+3x=20,得 x=5.
此时 DN=x2=25>20,不符合题意.
故点 Q 与点 M 不能重合.
所以所求 x 的值为
-1.

(2由(1知,点 Q 只能在点 M 的左侧,
①当点 P 在点 N 的左侧时,
由 20-(x+3x =20-(2x+x2 ,
解得 x1=0(舍去 , x2=2.
当 x=2时四边形 PQMN 是平行四边形.
②当点 P 在点 N 的右侧时,

由 20-(x+3x =(2x+x2 -20,
解得 x1=-10(舍去 , x2=4.
当 x=4时四边形 NQMP 是平行四边形.
所以当 x=2或 x=4时,以 P , Q , M , N 为顶点的四边形是平行四边形.
(3过点 Q , M 分别作 AD 的垂线,垂足分别为点 E , F .
由于 2x >x ,
所以点 E 一定在点 P 的左侧.
若以 P , Q , M , N 为顶点的四边形是等腰梯形,
则点 F 一定在点 N 的右侧,且 PE=NF,
即 2x-x=x2-3x.
解得 x1=0(舍去 , x2=4.
由于当 x=4时,以 P , Q , M , N 为顶点的四边形是平行四边形,
所以以 P , Q , M , N 为顶点的四边形不能为等腰梯形.
点评:
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点.
【例题 3】
如图,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,∠ C=90°, BC=16, DC=12, AD=21,动点 P 从 点 D 出发,沿射线 DA 的方向以每秒 2个单位长的速度运动,动点 Q 从点 C 出发,在线段 CB 上以每秒 1个单位长的速度向点 B 运动, P 、 Q 分别从点 D 、 C 同时出发,当点 Q 运动 到点 B 时,点 P 随之停止运动,设运动时间为 t (s .
(1设△ BPQ 的面积为 S ,求 S 与 t 之间的函数关系;
(2当 t 为何值时,以 B 、 P 、 Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形?

解析 :
(1若过点 P 作 PM ⊥ BC 于 M ,则四
边形 PDCM 为矩形,得出 PM=DC=12,由 QB=16-t,可知:s= PM ×QB=96-6t;

(2本题应分三种情况进行讨论,①若 PQ=BQ,在 Rt △ PQM 中,由 PQ2=PM2+MQ2, PQ=QB,将各数据代入,可将时间 t 求出;
②若 BP=BQ,在 Rt △ PMB 中,由 PB2=BM2+PM2, BP=BQ,将数据代入,可将时间 t 求出;
③若 PB=PQ, PB2=PM2+BM2, PB=PQ,将数据代入,可将时间 t 求出.
解答:
解:(1过点 P 作 PM ⊥ BC 于 M ,则四边形 PDCM 为矩形.
∴ PM=DC=12,
∵ QB=16-t,
∴ s= • QB • PM= (16-t ×12=96-6t(0≤ t ≤
.

(2由图可知, CM=PD=2t, CQ=t,若以 B 、 P 、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形,可 以分三种情况
四、课堂运用
【基础】

1. 如图,已知在矩形 ABCD 中, AD =8, CD =4,点 E 从点 D 出发,沿线段 DA 以每秒 1个单位长的速度向点 A 方向移动,同时点 F 从点 C 出发,沿射线 CD 方向以每秒 2个单位 长的速度移动,当 B , E , F 三点共线时,两点同时停止运动.设点 E 移动的时间为 t (秒
(1设四边形 BCFE 的面积为 S ,求 S 与 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围;
(2求当 t 为何值时,以 E , F , C 三点为顶点的三角形是等腰三角形;
解析
(1∵ ED=t, CF=2t, ∴ S =S △ BCE + S △ BCF =12×8×4+1
2×2t ×t =16+ t 2.
即 S =16+ t 2. (0 ≤ t ≤ 4 ;
(2①若 EF=EC时,则点 F 只能在 CD 的延长线上,
∵ EF 2=222(24 51616t t t t -+=-+,
EC 2=222416t t +=+,∴ 251616t t -+=216t +.∴ t =4或 t=0(舍去 ;
②若 EC=FC时,∵ EC 2=222416t t +=+, FC 2=4t 2,∴ 216t +=4t 2
.∴

t = ③若 EF=FC时,∵ EF 2=222(24 51616t t t t -+=-+, FC 2=4t 2,
∴ 251616t t -+=4t 2.∴ t 1
=16+, t 2
=16-

∴当 t 的值为 4
16-E , F , C 三点为顶点的三角形是等腰三角形

【巩固】
2. 如图 1,在矩形 ABCD 中, AB=12cm, BC=6cm,点 P 从 A 点出发,沿 A → B → C → D 路线运动,到 D 点停止;点 Q 从 D 点出发,沿 D → C → B → A 运动,到 A 点停止.若点 P 、

点 Q 同时出发,点 P 的速度为每秒 1cm ,点 Q 的速度为每秒 2cm , a 秒时点 P 、点 Q 同 时改变速度,点 P 的速度变为每秒 b (cm ,点 Q 的速度变为每秒 c (cm .如图 2是点 P 出发 x 秒后△ APD 的面积 S 1(cm 2与 x (秒的函数关系图象;图 3是点 Q 出发 x 秒后△ AQD 的面积 S 2(cm 2与 x (秒的函数关系图象.根据图象:
(1求 a 、 b 、 c 的值;
(2设点 P 离开点 A 的路程为 y 1(cm ,点 Q 到点 A 还需要走的路程为 y 2(cm ,请分 别写出改变速度后 y 1、 y 2与出发后的运动时间 x (秒的函数关系式,并求出 P 与 Q 相遇 时 x 的值.

【答案】 (1 a=8; b=2; c=1
(2 y 1=2x﹣ 8(x >8 ;y 2=22﹣ x (x >8 ; 出发 10秒时, P 与 Q 相遇
【解析】
(1观察图象得, S △ APQ =PA • AD=×(1×a ×6=24,
解得 a=8(秒

b==2(厘米 /秒
(22﹣ 8 c=(12×2+6﹣ 2×8
解得 c=1(厘米 /秒
(2依题意得:y 1=1×8+2(x ﹣ 8 ,
即:y 1=2x﹣ 8(x >8 ,
y 2=(30﹣ 2×8﹣ 1×(x ﹣ 8
=22﹣ x (x >8
又据题意,当 y 1=y2时, P 与 Q 相遇,即
2x ﹣ 8=22﹣ x ,
解得 x=10(秒
∴出发 10秒时, P 与 Q 相遇.
【 拔高】
3. 如 图 1,在矩形 ABCD 中,点 P 从 B 点出 发 沿着四 边 按 B → C → D → A 方向 运动 , 开 始以每秒 m 个单 位 匀 速 运动 , a 秒后 变为 每秒 2个单 位 匀 速 运动 , b 秒后又恢 复为 每秒 m 个单 位 匀 速 运动 .在 运动过 程中,△ ABP 的面 积 S 与运动时间 t 的函 数关 系如 图 2所示.

(1求矩形 ABCD 的 长 和 宽 ;
(2求 m 、 a 、 b 的 值
【答案】 (1 长 方形的 长为 8, 宽为 4
(2 m=1;a=4; b=11
【解析】
(1 从图 象可知, 当 6≤ t ≤ 8时 ,△ ABP 面 积不变
即 6≤ t ≤ 8时,点 P 从点 C 运动到点 D ,且这时速度为每秒 2个单位

∴ CD=2(8﹣ 6 =4
∴ AB=CD=4
当 t=6时(点 P 运动到点 C , S △ ABP =16

∴ AB • BC=16

∴ ×4×BC=16
∴ BC=8
∴长方形的长为 8,宽为 4.
(2当 t=a时, S △ ABP =8=×16 即点 P 此时在 BC 的中点处
∴ PC=

BC=×8=4
∴ 2(6﹣ a =4
∴ a=4
∵ BP=PC=4
∴ m=BP÷a=4÷4=1,
当 t=b时, S △ ABP =AB • AP=4

∴ ×4×AP=4, AP=2
∴ b=13﹣ 2=11;
课程小结
本节重点讲解常考题型即一次函数动点类综合题, 着重讲解几何中解决动点问题的思路, 讲解过程中需让学生学会如何运用数形结合思想解决问题,学会动中求静。
课后作业
【基础】

1. 如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,∠ B=90°, AB=14cm, AD=15cm, BC=21cm,点 M 从点 A 开始,沿边 AD 向点 D 运动,速度为 1cm/s;点 N 从点 C 开始,沿边 CB 向点 B 运动,速度为 2cm/s、点 M 、 N 分别从点 A 、 C 出发,当其中一点到达端点时,另一点也 随之停止运动,设运动时间为 t 秒.

(1当 t 为何值时,四边形 MNCD 是平行四边形?
(2当 t 为何值时,四边形 MNCD 是等腰梯形?
【答案】 (1 t=5时,四边形 MNCD 是平行四边形
(2 t=9时,四边形 MNCD 是等腰梯形
【解析】
(1∵ MD ∥ NC ,当 MD=NC,即 15-t=2t, t=5时,四边形 MNCD 是平行四边形;
(2作 DE ⊥ BC ,垂足为 E ,则 CE=21-15=6,当 CN-MD=12时,即 2t-(15-t =12, t=9时,四边形 MNCD 是等腰梯形
【巩固】
2. 正方形 ABCD 边长为 4, M 、 N 分别是 BC 、 CD 上的两个动点, 当 M 点在 BC 上
运动时, 保持 AM 和 MN 垂直, 设 BM x , 梯形 ABCN 的面积为 y , 求 y 与 x 之间的函
数关系式;当 M 点运动到什么位置时,四边形 ABCN 面积最大,并求出最大面积 D
M A B
C
N

解析:
Rt Rt ABM MCN △ ∽ △ ,
44AB BM x MC CN x CN ∴=∴=-, ,
244x x CN -+∴=,
(222141144282102422ABCN x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形 ·,
当 2x =时, y 取最大值,最大值为 10.
拔高:
3. 如图,已知 ABC △ 中, 10AB AC ==厘米, 8BC =厘米,点 D 为 AB 的中点.
(1如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上 由 C 点向 A 点运动
①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1秒后, BPD △ 与 CQP △ 是否全等, 请说明理由;
②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使 BPD △ 与 CQP △ 全等?
(2若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发,都 逆时针沿 ABC △ 三边运动,求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC △ 的哪条边上相 遇?

解:(1①∵ 1t =秒, ∴ 313BP CQ ==⨯=厘米,
∵ 10AB =厘米,点 D 为 AB 的中点, ∴ 5BD =厘米.
个性化学案 又∵ PC = BC - BP，BC = 8 厘米， ∴ PC = 8 - 3 = 5 厘米， ∴ PC = BD ． 又∵ AB = AC ， ∴ ÐB = ÐC ， ∴ △BPD ≌△CQP ． ②∵ vP ¹ vQ ， ∴ BP ¹ CQ ， 又∵ △BPD ≌△CQP ， ÐB = ÐC ，则 BP = PC = 4，CQ = BD = 5 ， ∴点 P ，点 Q 运动的时间 t= BP 4 = 3 3 秒， ∴ vQ = CQ 5 15 = = 4 4 t 3 厘米/秒。 80 15 x= x = 3 x + 2 ´10 3 （2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇， 由题意，得 4 ，解得 秒． 80 ´ 3 = 80 ∴点 P 共运动了 3 厘米． ∵ 80 = 2 ´ 28 + 24 ，∴点 P 、点 Q 在 AB 边上相遇， 80 ∴经过 3 秒点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇．

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