高等教育克莱姆法则.pptx

2024/9/3 周二第一章 行列式1复习：行列式按某行复习：行列式按某行(列列)展开定理及推论展开定理及推论 ai1Ai1+ai2Ai2+ainAina1jA1j+a2jA2j+anjAnjai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0 (jt)推论推论综合定理及推论得综合定理及推论得:2024/9/3 周二第一章 行列式2n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组,在在系数行列式系数行列式不不为零为零时的时的行列式解法行列式解法,称为称为克莱姆克莱姆(Cramer)法则法则.设一个含有设一个含有n个个未知量未知量n个个方程的线性方程组方程的线性方程组或表示为或表示为1.4 克莱姆克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则2024/9/3 周二第一章 行列式3定理定理1设线性非齐次方程设线性非齐次方程组组(*)的系数行列式的系数行列式则则(*)有有唯一解唯一解其中其中,(j1,2,n)即即:(j1,2,n)证明证明:(1)是解是解.(2)解唯一解唯一.(1)将将代入代入(*)左端左端,(*)bi (i1,2,n)注注(j=1,2,n)又又将将Dj按第按第j列展开列展开，得，得5(2)若有一组数若有一组数x1,x2,xn满足满足(*),则则D1同理同理Dx1DxjDj2024/9/3 周二第一章 行列式6注注:用克莱姆法则解线性方程组的条件用克莱姆法则解线性方程组的条件或表示为或表示为齐次线性方程组齐次线性方程组:齐次线性方程组必有零解齐次线性方程组必有零解有否非零解有否非零解？(1)方程个数未知量个数方程个数未知量个数(2)系数行列式系数行列式D0方程个数方程个数未知量个数及未知量个数及D0的情形以后讨论的情形以后讨论2024/9/3 周二第一章 行列式7定理定理2 齐次线性方程组齐次线性方程组当当 时只有零解时只有零解,没有非零解没有非零解.定理定理3齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解,则则注注:定理定理3说明说明D0是齐次线性方程组有非零解的是齐次线性方程组有非零解的必要条件必要条件.后面将证明也是充分条件后面将证明也是充分条件.即：即：齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解有非零解D0D0(定理定理2 2的的逆否命题逆否命题)2024/9/3 周二第一章 行列式8同理同理 D1=81,D2=108,D3=27,D4=27 x1=3,x2=4,x3=1,x4=1例例1 解线性方程组解线性方程组解解:=270=2024/9/3 周二第一章 行列式9例例2 k取何值时取何值时,线性方程组线性方程组解解:有唯一解有唯一解?6(2k)0k2时方程组有唯一解时方程组有唯一解2024/9/3 周二第一章 行列式10例例3 问问 取何值时取何值时,齐次线性方程组齐次线性方程组解解:有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件D0有非零解有非零解?由由D0得得2024/9/3 周二第一章 行列式11例例4(03考研考研)已知齐次线性方程组已知齐次线性方程组其中其中试讨论试讨论a1,a2,an和和b满足何种关系时满足何种关系时,(1)方程组仅有零解；方程组仅有零解；(2)方程组有非零解方程组有非零解.D0D012解解每行元素之和每行元素之和相同，相同，2n列加至首列列加至首列2024/9/3 周二第一章 行列式13(1)b0且且 时方程组仅有零解；时方程组仅有零解；(2)b0或或 时方程组有非零解时方程组有非零解.例例5(96考研考研)解方程组解方程组其中其中 aiaj (i,j=1,2,n)解解0aiaj(ij)易见易见D1=D,D2=D3=Dn=0 x1=1,x2=x3=xn=0 2024/9/3 周二第一章 行列式15方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关.线性线性代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结论论.为了明确一些结论成立的条件为了明确一些结论成立的条件.引入数域概念引入数域概念:定义定义 设设F是一数集是一数集,.若若F中任意两个数中任意两个数(可以相同可以相同)的和、差、积、商的和、差、积、商(除数不为除数不为0)仍然是仍然是F中的数中的数,即即F对四则运算封闭对四则运算封闭,则称则称F为一个数域为一个数域.全体整数组成的集合不是数域全体整数组成的集合不是数域,有理数集有理数集Q、实、实数集数集R和复数集和复数集C都是数域都是数域,分别称为有理数域、分别称为有理数域、实数域和复数域实数域和复数域.本课程的数域本课程的数域F均指实数域均指实数域R或或复数域复数域C,其它数域在本课程中不进行深入讨论其它数域在本课程中不进行深入讨论.注：关于数域概念注：关于数域概念2024/9/3 周二第一章 行列式16习题课习题课行列式计算方法小结：行列式计算方法小结：1.利用行列式的定义；利用行列式的定义；2.化三角形法；化三角形法；3.拆行拆行(列列)法；法；4.按某一行按某一行(列列)或某或某k行行(列列)展开；展开；5.数学归纳法；数学归纳法；6.利用范德蒙行列式的结论；利用范德蒙行列式的结论；7.递推法；递推法；8.加边法加边法(升阶法升阶法)。2024/9/3 周二第一章 行列式17解解:=(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)(-2-2)=72D0=576,D1=-72,D2=-144,D3=72a0=8,a1=-1,a2=-2,a3=1思考题思考题 已知三次曲线已知三次曲线y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在在四个点四个点x=1,x=2处的值处的值f(1)=f(-1)=f(2)=6，f(-2)=-6，试求其系数，试求其系数a0,a1,a2,a3.D=y=f(x)=8-x-2x2+x3复习复习 Ch 1作业：作业：P33：10(2),11,12,13 做做练习卷练习卷(下次习题课带来下次习题课带来)2024/9/3 周二第一章 行列式19a11+a12+a1n+a21+a22+a2n+an1+an2+ann+a11+a21+an1+a12+a22+an2+a1n+a2n+ann+返回2024/9/3 周二第一章 行列式20下课复习复习 Ch 1作业：作业：P31：5(2),6，7 做做练习卷练习卷(下次习题课带来下次习题课带来)作业：作业：P41(四川四川)20(2),21(2)，22预习预习 3.1复习复习 Ch 12024/9/3 周二第一章 行列式23Cramer法则的优点:用方程的系数及常数项组成的行列式把解明显地表达出来,这在分析问题时非常方便,理论上具有重要意义.缺点:实际计算时需算许多行列式(n元算n+1个n阶行列式)当n较大时,计算困难更大.例2 求四个平面相交于一点的充分必要条件.解:平面方程可写成其中(看成以为未知量,为系数的齐次线性方程组)2024/9/3 周二第一章 行列式24四平面相交于一点 有唯一的一组非零解根据 “齐次线性方程组有非零解 系数行列式值为零”即得：四平面相交于一点的充分必要条件为2024/9/3 周二第一章 行列式25证明证明再把再把 方程依次相加，得方程依次相加，得2024/9/3 周二第一章 行列式26于是于是当当 时时,方程组方程组(2)有惟一的一个解有惟一的一个解由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,上式中除了上式中除了的系数的系数等于等于D,其余其余的系数均等于的系数均等于0，而等式右，而等式右端为端为由于方程组由于方程组(2)与方程组与方程组(1)等价等价,所以所以也是也是(1)的解的解.