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u 大数定律u 中心极限定理第五章 大数定律与中心极限定理5.1 大数定律定义记为设是一个随机变量序列，a是一个常数，若对任意 0,有或则称随机序列依概率收敛于a或定理1（贝努利大数定律）（贝努利大数定律）设Xn(n=1,2,)是独立同分布的随机序列,且PXn=1=pPXn=0=q0p0,有注注：通常令则定理的结论可写成或证：根据切比雪夫不等式，有因为所以设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数，令显然n=X1+X2+.+Xn=因此，贝努利大数定律也可写为第i次试验出现A第i次试验不出现Ap是事件A在每次试验中发生的概率，贝努利大数定律说明，事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，在实际应用中，当试验次数很大时，用频率来代替概率.（常常还需要考虑在n次独立试验中,事件A发生的概率pk随试验次数k的变化而变化.对这种情况，有下面的定理）定理2（泊松大数定律）（泊松大数定律）设Xn(n=1,2,)是相互独立的随机变量序列,且PXn=1=pnPXn=0=qnpn+qn=1则对任意 0,有或证：根据切比雪夫不等式，有因为所以(前面两个定理说明，只要则大数定律就成立，下面的定理说明了这一点)当n充分大时能任意地小，的方差定理3（切比雪夫大数定律）（切比雪夫大数定律）上界，则对任意 0,有或设 Xn(n=1,2,.)是相互独立的随机变量序列，它们的期望和方差都存在，并且方差有共同的即 D(Xn)=n2C0,(前面三个定理都是假定方差存在且一致有界,但在许多问题中,往往不能满足上面的要求,仅知道独立同分布)注注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊定理4（辛钦大数定律）（辛钦大数定律）若 E(Xi)=a，(i=1,2,)则对任意的 0，有设 Xn(n=1,2,.)是独立同分布的随机变量序列，情况.辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值区平均亩产量的一个估计.提供了一条实际可行的途径.例如要估计某地区的平均亩产量，收割某些有代表性的地块，例如n块.计算其平均亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地 强大数定律简介定义记为设是一个随机变量序列，a是一个常数，若或称以概率为1收敛于a.或则称几乎处处收敛于a.定理5（波雷尔强大数定律）（波雷尔强大数定律）设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列,且 PXn=1=pPXn=0=q0p1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似服从N(0,1)P(Y1920)=1P(Y1920)=1(0.8)1=10.7881=0.2119=1 定理2（德莫佛（德莫佛-拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）(De Moivre Laplace)设随机序列Xn(n=1,2,)独立同分布，且PXk=1=p,PXk=0=q,(k=1,2,.)其中0p1,p+q=1则随机序列Xn服从中心极限定理即这里(这是因为,随机变量Xn可以分解为n个相互独立的定理定理2是最早的中心极限定理是最早的中心极限定理.设随机变量Xn(n=1,2,)服从参数为n,p(0p1),则对任意x，有q=1p的二项分布定理定理2的另一种表达方式:显然,定理定理2是定理定理1的特殊情况.且均服从两点分布的随机变量之和)定理2表明，当n很大时,可以用正态分布去近似二项分布.第二章的泊松定理表明，也可以用泊松分布去近似二项分布.当n很大，0p1是一个定值时,(当p很小,np不很大时,用泊松近似较好当p固定,n很大,即np很大时，用正态近似较好)(或者说，np也很大时)二项分布近似服从正态分布N(np,np(1p).推论：(0p1)的二项分布,说明：这个公式给出了n 较大时二项分布 的概率计算方法.当 n 充分大时有：设随机变量n(n=1,2,)服从参数为n,p 例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(2)np=20npq=16=(5/2)(3/2)解解:(1)XB(100,0.2)且不多于30户的概率的近似值.(2)利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户(1)写出X的概率分布.根据中心极限定理,有P14X30=0.99371+0.9331=0.9268例3 某单位有1000台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话.假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时不等待？解：设有X台分机同时使用外线，则有设安装N条外线,由题意有由德莫佛-拉普拉斯定理有查表得因此有查表得故取即所以至少安装62条外线.例4某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.解：设至少要供给这个车间r 千瓦电才能以99.9%的概率保设某时在工作着的车床数为X,则证这个车间不会因供电不足而影响生产.由题意有：即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.查表得所以例5.现有一批种子，其中良种占1/6.今任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？解：由德莫佛-拉普拉斯定理设良种数为X,则XB(n,p)其中设不超过的界限为,则应有故近似地有良种粒数X的范围为即查表得解出即例6设X1,X2,.,X48为独立同分布的随机变量,且均服从区间0,1上的均匀分布,令求解:显然,X1,X2,.,X48满足定理1的条件,且EXi=DXi=(i=1,2,.,48)则有容易算出所以