无穷级数习题及解答.doc

第十一章 无穷级数

§11.1 级数的概念、性质

一、单项选择题
1. 若级数收敛(为常数)，则满足条件是( )．
； ； ； ． 答．
2. 下列结论正确的是( )．
若，则收敛；若，则收敛；
若收敛，则；若发散，则. 答．
3. 若级数与分别收敛于，则下述结论中不成立的是( )．
； ；
； 　 ． 答.
4. 若级数收敛，其和，则下述结论成立的是( )．
收敛； 收敛；
收敛； 收敛. 答.
5. 若级数收敛，其和，则级数收敛于( )．
； ； ； ．答.
6. 若级数发散，收敛则 ( )．
发散； 可能发散，也可能收敛；
发散； 发散. 答.

二、填空题
1. 设，则 答：.
2. 级数的和为． 答： .
3. 级数，其和是 ． 答： .
4.数项级数的和为答： .
5*. 级数的和为 答： 3.
三、简答题
1． 判定下列级数的敛散性
(1)　　 答： 收敛.
解：

(2) 　　 答： 发散.
解：

(3)　　　　 答： 发散.
解：

(4) 答： 发散.
解：

(5) 　答： 收敛.
解：

§11.2 正项级数收敛判别法、P — 级数

一、单项选择题
1. 级数与满足，则( )．
若发散,则发散；若收敛,则收敛；　
若收敛,则发散；若发散，则发散. 　答.
2. 若，则下列级数中肯定收敛的是( )．
； ；
； ． 　　　答.
3. 设级数 (1) 与 (2) ，则( )．
级数(1)、(2)都收敛； 级数(1)、(2)都发散；
级数(1)收敛，级数(2)发散； 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答.
4. 设级数(1) 与 (2) , 则( ).
级数(1)、(2)都收敛； 级数(1)、(2)都发散；
级数(1)收敛,级数(2)发散； 级数(1)发散,级数(2)收敛． 　答.
5. 下列级数中收敛的是( )．
； ；
； ． 　　 答.
6*. 若级数，则级数( ).
; ; ; . 答.
7. 设与均为正项级数,若，则下列结论成立的是( ).
收敛, 发散； 发散, 收敛；
与都收敛,或与都发散. 不能判别. 答.
8. 设正项级数收敛，则( ).
极限； 极限；
极限； 无法判定. 答
9. 用比值法或根值法判定级数发散，则( ).
可能发散； 一定发散；
可能收敛； 不能判定. 答
二、填空题
1. 正项级数收敛的充分必要条件是部分和答：有上界.
2. 设级数收敛，则的范围是 答：．
3. 级数的部分和，则 答：.
4. 级数是收敛还是发散 答：收敛.
5. 若级数收敛，则的范围是 答：.
6. 级数是收敛还是发散 答：发散.

三、简答题
1. 用比较法判定下列级数的敛散性：
(1) ； 答：发散. (2) ； 答： 收敛.

(3) ； 答：收敛. (4) .答收敛;发散.

2. 用比值法判定下列级数的敛散性：
(1) ； 答：发散. (2) ； 答： 收敛.
解：

(3) ； 答： 收敛. (4) ． 答： 收敛.
解：

3. 用根值法判定下列级数的敛散性：
(1) ； 答： 收敛. (2) ； 答：收敛.
解：　　　　　　　　　　　　　　　解：

(3) ； 答：收敛.
解：

(4) 其中，均为正数．
答：当时收敛，当时发散，当时不能判断．

§11.3 一般项级数收敛判别法

一、单项选择题
1. 级数与满足,则( )．
若收敛,则发散； 若发散,则发散；
若收敛,则发散； 若收敛,则未必收敛．答.
2. 下列结论正确的是( )．
收敛，必条件收敛；　 收敛，必绝对收敛；
发散，则必条件收敛；
收敛，则收敛．　　　　　　　　　　　　　答 .
2. 下列级数中，绝对收敛的是( )．
;　　　 　 ；
； ． 　　　 答 .
3. 下列级数中，条件收敛的是( )．
；　 ；
；　　　　 ． 答 .
4. 设为常数，则级数( ).
绝对收敛；　　　　　 条件收敛；
发散；　　　　　　　敛散性与的取值有关． 答.
5. 设，则级数( ).
与都收敛. 与都发散.
收敛，发散. 发散，收敛. 答.
6.设,则下列级数中肯定收敛的是( ).
. . . . 答.
7.下列命题中正确的是( ).
若与都收敛,则收敛.
若收敛,则与都收敛.
若正项级数发散,则.
若,且发散,则发散. 答.

二、填空题
1. 级数绝对收敛，则的取值范围是　　　　．　　 答：
2. 级数条件收敛，则的取值范围是　　　　． 　　 答：
3. 级数收敛，则是条件收敛还是绝对收敛　　　　　．
答：绝对

三、简答题
1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
(1) ；　　　　　　　　　　　　　 　答：
解：

(2) ； 　　　　　　　　　　　　　　 答：
解：

(3) ； 　　　　　　　　　　　　　　 答：
解：

(4) ；　　　　　　　　　　　　　　　 答：
解：

(5) ； 　　　　　　　　　　　　　　　答：
解：

(6) 　　　　　　　　　　　　　　　　　答：
解：

§11.4 幂级数收敛判别法

一、单项选择题
1. 幂级数的收敛区间是( )．
； 　； 　； ． 答.
2. 幂级数的收敛区间是( )．
； ； ； ． 答.
3. 幂级数的收敛半径是( ).
；　 ； ； ． 答.
（A） (C)
（B） (D)
4. 若级数在处是收敛的，则此级数在处( ).
发散；条件收敛； 绝对收敛； 收敛性不能确定． 答.
5. 若级数在处是收敛的，则此级数在处( ).
发散；条件收敛； 绝对收敛； 收敛性不能确定． 答.
6．若幂级数在处条件收敛，则级数( ).
条件收敛； 绝对收敛； 发散； 敛散性不能确定. 答.

二、填空题
1. 幂级数的收敛域是 ．　　　　　 答：
2. 幂级数的收敛域是．　　 答：
3. 幂级数的收敛半径 ，和函数是　 　　．
答：
4. 幂级数的收敛半径 ，和函数是　 　　．
答：
5. 设的收敛半径为，则的收敛半径为　　　　．答：
6. 设幂级数的收敛半径为，则的收敛半径为　　．答：
7. 幂级数的收敛域是 . 答：
8. 幂级数在处条件收敛，则其收敛域为 .答：.

一、简答题
1. 求下列幂级数的收敛域．
(1) ； 答： 　　　　(2) ； 答：
(3) ； 答：． (4) ； 答：．

(5) ; 答： 　 (6) ．　　 答：

2. 用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．
(1) ；　　　　　　　　　 答：．
解：

(2) ． 　　　　　　　　　答：．
解：

3*. 求级数的和．　　　　　　　　　　　　答：
解：

§11.5 函数展开成幂级数

一、单项选择题
1. 函数展开成的幂级数是( )．
； ；
； ．　　　　　答.
2. 如果的麦克劳林展开式为，则是( )．
；；；．　　答.
3. 如果在的泰勒级数为，则是( )．
；；；．　答.
4. 函数展开成的幂级数是( )．
； 　　　；
； ．　　　答.

二、填空题
1. 函数的麦克劳林展开式为．　答：
2. 函数的麦克劳林展开式为．　答：
3. 幂级数的和函数是　　　　　． 答：
4. 函数的麦克劳林级数为．　 答：
5. 函数的麦克劳林级数为． 答：
6. 函数的麦克劳林级数为．答：
7. 函数在处的泰勒级数．　答：
8. 函数在处的泰勒级数．答：
9. 函数展开成的幂级数为． 答：
10. 函数展开成的幂级数为． 答：
11. 级数的和等于. 答：.
三、简答题
1. 将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间．
(1) ；　　　
解：

答：
(2) ；　　　　　　　　
解：

答：
(3) ；　　　
解：

答：
(4*) ；　　　
解：

答：
(5). ．
解：

答：
2. 将函数展开成的幂级数．
解：

答：
3*. 将函数在展开成幂级数．
解：

答：
4*. 将函数展开成的幂级数.
解：

答：

§11.6 为周期的傅里叶级数

一、单项选择题
1. 函数系
在区间上正交；　　　　 在区间上不正交；
在区间上正交； 　 以上结论都不对．　　　答.
2. 函数系
在区间上正交；　　　　　 在区间上不正交；
不是周期函数； 　　　　 以上结论都不对．　　　答.
3. 下列结论不正确的是( )．
；；
；　　　　．　答.
4. 是以为周期的函数，当是奇函数时，其傅里叶系数为( )．
；；
；．答.
5. 是以为周期的函数，当是偶函数时，其傅里叶系数为( )．
；；
；． 答.

二、填空题
1. 是以为周期的函数，傅里叶级数为．
答：其中

2. 是以为周期的偶函数，傅里叶级数为．
答：
3. 是以为周期的奇函数，傅里叶级数为．
答：
4. 在的傅里叶级数中，的系数为　　．答：
5. 在的傅里叶级数中，的系数为　　．答：
6. 在的傅里叶级数中，的系数为　　．答：

三、简答题
1. 下列函数的周期为，试将其展开为傅里叶级数．
(1) ；
解：

答：
(2) ；
解：

答：

2. 将函数展开为傅里叶级数．
解：

答：
3. 将函数展开成傅里叶级数．
解：

答：
4. 将函数展开成正弦级数．
解：

答：
5. 将函数展开成正弦级数和余弦级数．
解：

答：

§11.7 一般周期函数的傅里叶级数

一、单项选择题
1. 下列结论不正确的是( )．
；
；
；　．　答.
2. 是以为周期的函数，则的傅里叶级数为( )．
；；
；　　　　　　　　 ．　　　答.
3. 是以为周期的函数，当是偶函数时，其傅里叶级数为( )．
； 　　　　；
；　　　　　　 ． 答.
4. 是以为周期的函数，当是奇函数时，其傅里叶级数为( )．
；
；　　　　　 ． 答.

二、填空题
1. 是以为周期的函数, 的傅里叶级数为
答：

2. 是以为周期的偶函数, 的傅里叶级数为
答：
3. 是以为周期的奇函数，的傅里叶级数为
答：
4. 设是以为周期的函数，．又设的傅里叶级数的和函数为，则，．
答：
5. 设是以为周期的函数，，则的傅里叶级数在处收敛于．
答：
6. 设是以为周期的函数，，又设是的正弦级数的和函数，则．
答：

三、简答题
1. 设周期函数在一个周期内的表达式为，试将其展开为傅里叶级数．
解：

答：
2. 设周期函数在一个周期内的表达式为，试将其展开为傅里叶级数．
解：

答：
3*. 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数．
解：

答：