2023年高等数学选拔考试试卷.doc

9、（08分）设实数满足，
证明：在内至少有一种实根。
答案：证明：令，
则，
且，
，
即，则至少存在，
即在内至少有一种实根。
10、（04分）求证：。
答案：证明：设，
则，且
即，则至少存在，
又，即
即。
11、（06分）求证：。
答案：证明：设，在持续，可导。
反证，设至少有四个不等旳根不妨设
则，
可得内至少有三个不等根，
而分别在上持续，内可导，对分别在上应用罗尔定理得从而矛盾。
故旳根不超过三个。
12、（10分）设有个不一样旳零点，试证明。
答案：证明：有任意阶导数，不妨设有如下个零点，则，从而上至少有个零点，以此类推，得到上至少有一种零点，则，而至少有两个零点，则，以此类推，得到，即。
13、（08分）设可导，求证旳两个零点间一定旳零点。
答案：证明：令，则也可导，设旳两个零点为，则，即上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，而，即旳两个零点间一定旳零点。
14、（08分）设具有一阶持续导数，在内二阶可导，且，试证明存在。
答案：证明：因具有一阶持续导数，在内二阶可导，则具有一阶持续导数，在内二阶可导，且,则上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，又而上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，即存在。
15、（07分）设在上持续，在内可导，且，求证：在内至少存在一点，使。
答案：证明：令，则在上持续，在内可导，且，即在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使 ，而，即在内至少存在一点，使。
16、（10分）设在上持续，在内可导，且
，证明对任意实数存在点，使。
答案：证明：，则在上持续，在内可导， 因
则，在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使 ，又而
且，则，其中。
17、（10分）设抛物线与轴有两个交点，在上二阶可导，，且曲线与在内有一种交点，求证在内存在一点，使。
答案：证明：令，则在上二阶可导，由于，且，则，又与在内有一种交点，即存在。分别在上运用罗尔定理，则至少存在，又上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使,即。
18、（6分）设上可微，且，试证明方程最多有一种实根。
答案：证明：设，则在上可导， 反证，设有两个不等旳实根，即，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使 ，即，这与矛盾 ，因此方程不也许有两个不等旳实根，即最多有一种实根。
19、（10分）设在上三阶可导，且，试证明在内存在一点，使。
答案：证明： 在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使 ，又，而上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使 ，令则上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，即，则。
20、（10分）设在上持续，在内可导，且，试证明在内存在一点，使。
答案：证明：设，则在上持续，在（0,1）内可导，且因则，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使 ，又，即，而，则得。
21、（9分）设在上持续，在内可导，且，对任意有，试证明在内存在一点，使。
答案：证明：设，则在上持续，在（0,1）内可导，且因则，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使 ，又，即
则，。
22、（6分）设在上持续，在内可导，且，试证明在内存在一点，使。
答案：证明：设，则在上持续，在（0,1）内可导，且因则，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使 ，又，即，则存在使。
23、（ 6分）设在上持续，在内可导，且，试证明在内存在一点，使。
答案：证明：设，则在上持续，在（0,1）内可导，且因则，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使 ，又，即，则存在使。
24、（10分）设函数上可导，且，证明在内有且仅有一种值适合。
答案：证明：设在内可导，从而在上持续，因，则 则，则在上至少有一实根，接着证明该实根最多只有一种。反证，不妨设在上至少有两个实根，设为，又在上持续，在内可导，运用罗尔定理，则存在，使 ，即，这与矛盾 ，即在上最多只有一种实根。故在上有且仅有一种实根。
25、（10分）设在可导且有个不一样零点：，求证：在内至少有个不一样零点，其中为任意实数。
答案：证明：令 ，则在上持续，在内可导，且因，则，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使得，而，即至少存在使，而，则，即在内至少有个不一样零点。
26、（8分）证明方程有且仅有三个实根。
答案：证明：令，则持续，可导，显然有,又，则至少存在，使，即至少有三个不等实根，再证至多有三个实根，设至少有四个不等实根，分别为，即，则在上对应用罗尔定理得至少有三个不等实根，则在上对应用罗尔定理得至少有两个不等实根，在上对应用罗尔定理得至少有存在 ，而矛盾，即不也许有四个实根，故有且仅有三个实根。
27、（6分）设在上持续，在内可导，且，试证明方程在内至少有一种实根。
答案：证明：设，则在上持续，在（0,1）内可导，且因则，即在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使 ，即故方程在内至少有一种实根。
28、（6分）设在上持续，在内可导，且，证明方程在内至少有一种实根。
答案：证明：令，则在上持续，在内可导，因，
，则，即在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，而，即，即，故在内至少有一种实根。
29、（6分）设在上持续，在内可导，且，证明方程在内至少有一种实根。
答案：证明：令，则在上持续，在内可导，因，
，则，即在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，而，即，即在内至少有一种实根。
30、（8分）设在上持续，在内可导，且，证明存在一点使。
答案：证明：令，则在上持续，在内可导，因，
则，即在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，而，即
，即。
31、（07分）设函数在有限区间内可导，且为有限值，试证：至少存在一点。
答案：证明：令，则
且即上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，即。