重庆市2022届高三上学期9月月考数学试题含解析.doc

试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共12题）1、 已知集合 ， ，则 = （ ） A B C D 2、 已知扇形的圆心角为 120 ，半径为 3 ，则扇形面积为（ ） A B C D 3、 已知 ，则 （ ） A B C D 3 4、 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为 ，空气的温度是 ，那么 分钟后物体的温度 （单位 ）可由公式： 求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数 . 现有 100 的物体，放在 20 的空气中冷却， 4 分钟后物体的温度是 60 ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是 40 （假设空气的温度保持不变） . A 2 B 4 C 6 D 8 5、 已知函数 的最小正周期为 ，若将其图象沿 轴向右平移 个单位，所得图象关于 对称，则实数 的最小值为（ ） A B C D 6、 如图所示，在 中， 在线段 上， ， ， ，则边 的长为（ ） A B C D 7、 已知 ，则实数 为（ ） A B 2 C D 8、 当函数 的图象经过的象限个数最多时，实数 的取值范围为（ ） A B C D 9、 下列有关说法正确的是（ ） A 当 时， B “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件 C 若函数 的定义域为 ，则 D 命题 “ ， ” 的否定是 “ ， ” 10、 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ，则下列说法正确的是（ ） A 若 ，则 无解 B 若 ，则 恰有一解 C 若 ，则 有两解 D 若 ，则 有两解 11、 已知函数 ，其中 是自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A 是奇函数 B 是 的周期 C 在 上单调递减 D 在 上有 2 个极值点 12、 函数 满足 ，且在 上单调，若 在 上存在最大值和最小值，则实数 可以是（ ） A B C D 二、填空题（共4题）1、 函数 的图象在 处的切线倾斜角为 135 ，则实数 _. 2、 函数 ，则不等式 的解集为 _. 3、 若函数 在 上单调递增，则 a 的取值范围是 _ 4、 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则 的取值范围是 _. 三、解答题（共6题）1、 已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 . （ 1 ）求 ， ； （ 2 ）若角 满足 ，求 的值 . 2、 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 . （ 1 ）求角 的大小； （ 2 ）若 ，求 的值 . 3、 如图，在三棱锥 中， 是正三角形， 是等腰直角三角形， ， . （ 1 ）求证： ； （ 2 ）若点 为 的中点，求 与平面 所成角的大小 . 4、 已知函数 ，其中 . （ 1 ）当 时，求 在区间 上的值域； （ 2 ）若关于 的方程 有两个不同的解，求 a 的取值范围 . 5、 已知椭圆 ： 的长轴为 ，动点 P 是椭圆上不同于 A ， B 的任一点，点 Q 满足 ， . （ 1 ）求点 Q 的轨迹 的方程； （ 2 ）过点 的动直线 l 交 于 M ， N 两点， y 轴上是否存在定点 S ，使得 总成立？若存在，求出定点 S ；若不存在，请说明理由 . 6、 已知函数 ， ， . （ 1 ）讨论函数 的单调区间； （ 2 ）若对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围 . =参考答案=一、选择题1、 D 【分析】 先求解集合 ，再运算 . 【详解】 ， ， 故选： D 2、 B 【分析】 把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算 【详解】 故选： B 3、 D 【分析】 根据函数性质，代入自变量，结合指对数运算求得结果 . 【详解】 ， 故选： D 4、 B 【分析】 根据题意将数据 ， ， ， 代入 ，可得 ，再将 代入即可得 ，即可得答案 . 【详解】 由题意知： ， ， ， 代入 得： ， 解得 所以当 时， ， 解得： ， 所以 ， 所以再经过 分钟物体的温度是 40 ， 故选： B 【点睛】 本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题 . 5、 B 【分析】 由周期求得 ，写出平移后的函数解析式，然后代入 ，结合正弦函数对称轴得出 的表达式，再求出最小的正数 【详解】 由题意 ，即 ，将其图象沿 轴向右平移 个单位，得图象的函数式为 ， 图象关于直线 对称，则 ， ， ， 因为 ，所以 的最小值为 故选： B 6、 D 【分析】 利用余弦定理求得 ，由此求得 ，进而求得 ，利用正弦定理求得 . 【详解】 在三角形 中，由余弦定理得 ， 所以 ，由于 ， 所以 . 在三角形 中，由正弦定理得 . 故选： D 【点睛】 本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题 . 7、 A 【分析】 根据诱导公式、正弦、余弦的和角公式化简原式为 ，由此可得答案 . 【详解】 因为 ， 所以 ， 整理得 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 故选： A. 8、 B 【分析】 令 ，求导函数，分 ， ， 三种情况，讨论导函数的符号，得出所令函数的单调性，继而得出函数 的图象所经过的象限，再令 ，分析函数 的奇偶性，由此可得选项 . 【详解】 解：令 ，则 ， 当 时， 的图象经过第三、四象限，当 时，令 ，得 或 ， 当 时， 或 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增， 又 ，所以 的图象经过第二、第三、四象限； 当 时， 或 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减， 又 ，当 时， 的图象经过第一、第二、第三、四象限，共四个象限， 此时，解得 ； 令 ，则 ，且 ， 所以函数 是奇函数，且 ， 所以当 时，函数 的图象经过四个象限， 故选： B. 【点睛】 方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值、最值问题、方程的根的问题、以及函数的图象问题等重要而有效的工具本题就是以含参数 的函数解析式为背景，考查导函数知识在研究函数图象、单调性、极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力 9、 BC 【分析】 对于 A ，举例判断即可，对于 B ，利用充分条件和必要条件的定义判断即可，对于 C ，由 或 可求出 的取值范围，对于 D ，特称命题否定为全称命题即可 【详解】 对于 A ，令 ，则 ，所以 A 错误， 对于 B ，当 ， 时，有 ，而当 时，有 ，所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件，所以 B 正确， 对于 C ，因为函数 的定义域为 ，所以当 时，满足题意，当 时， ，即 ，解得 ，综上， ，所以 C 正确， 对于 D ，命题 “ ， ” 的否定是 “ ， ” ，所以 D 错误， 故选： BC 10、 ABC 【分析】 利用正弦定理求出 的值，然后根据三角形中大边对大角及三角形的内角和为 求角 ，从而判断三角形解的个数 . 【详解】 选项 A ：由正弦定理，得 ，所以无解，选项 A 正确； 选项 B ：由正弦定理，得 ，所以 ，即 恰有一解，所以选项 B 正确； 选项 C ：由正弦定理，得 ，因为 ，且 ，所以 或 ，即 有两解，所以选项 C 正确； 选项 D ：由正弦定理，得 ，因为 ，所以 ，所以 ，即 有一解，所以选项 D 错误 . 故选： . 11、 AD 【分析】 根据奇偶性、周期性的定义判断 AB ，利用单调性定义判断 C ，根据导数知识判断 D 【详解】 ，函数为奇函数， A 正确； 由于 是周期为 的周期函数，但 不是周期函数，因此 ， 不是 的周期（实际上它不是周期函数）， B 错误； 且 的图象是连续的，因此 在 上不是单调函数，所以 在 上不可能是减函数， C 错误； 在 上是减函数， 在 上是增函数，且 时， ， 设 ，则 ， ， ，所以 ， 即 ， 所以 在 上是减函数，无极值点（此时也可由 得 是减函数） ， 不是极值点 在 上， ，由 得 ， 是增函数， 是减函数， 所以 是增函数， 时， ， 时， ， 因此在 上， 有唯一零点 ， 时， ，所以 ， 递增， 时， ，则 ， 递减， 是 的一个极值点（极大值点），所以 在 上有一个极值点，而 是奇函数，因此它在 上也有一个极值点，因此在 上有两个极值点 D 正确 故选： AD 12、 AD 【分析】 由条件可得 ，又利用余弦函数的性质可求 ，再结合条件得 或 ，即得 . 【详解】 函数 在 上单调， ， ， 又函数满足 ，且 ， 所以 为函数对称轴， ，即 ， 故当 时， ， 当 时， 在 上存在最大值和最小值， 或 ， 或 . 故选： AD. 二、填空题1、 -2 【分析】 求导函数，由已知得 ，解之可得答案 . 【详解】 解：因为 ，所以 ，所以 ，解得 ， 故答案为： . 2、 【分析】 确定函数的奇偶性与单调性后，利用这些性质解不等式 【详解】 显然 ， 是偶函数， 时， 是增函数， 所以不等式 等价于 ，即 ， ， ，解得 故答案为： 3、 【分析】 函数 是由 和 复合而成，分别讨论 和 时 的单调性，进而可得 在 上的单调性，再由 对于 恒成立，由二次函数的性质即可求解 . 【详解】 函数 是由 和 复合而成， 当 时 单调递增， 若函数 在 上单调递增， 则 在 上单调递增，且 对于 恒成立， 的对称轴为 所以 解得： ， 当 时 单调递减， 若函数 在 上单调递增， 则 在 上单调递减，且 对于 恒成立， 的对称轴为 所以 解得： ， 综上所述： a 的取值范围是 ， 故答案为： 4、 【分析】 由余弦定理，正弦定理得出 ，再由正切和角公式将 化为 ，根据角 B 的范围可得出答案 . 【详解】 由题意得 ，根据余弦定理得 ， 所以由正弦定理得 ，即 ，化简得 ， 又 ，所以 ， 又 ， 所以 故答案为： . 三、解答题1、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）利用三角函数的定义求 ， ，对 用诱导公式转化后求解； （ 2 ）由（ 1 ）先求出 ，利用两角和的正切公式求出 . 【详解】 解：（ 1 ） ， ， ， . （ 2 ）由（ 1 ）得： . 即 【点睛】 (1) 三角函数值的大小与点 P （ x , y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值； (2) 利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如 等 2、 （ 1 ） （ 2 ） 【分析】 （ 1 ）利用正、余弦定理处理 ，即可得出答案（ 2 ）展开 ，结合 ，和第一问计算出的角 B 的大小，即可得出 A 的值，结合正弦定理 ，代入，即可 【详解】 （ 1 ） 角 的对边分别为 ，且 ， ， 由正弦定理得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， . （ 2 ） ， ， ， ， ， ， ， ， 由正弦定理得： ， ， ， . 【点睛】 本道题考查了正余弦定理，难度较大 3、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）取 的中点 ，连接 、 ，证明出 平面 ，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （ 2 ）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得 与平面 所成角的大小 . 【详解】 （ 1 ）证明：取 的中点 ，连接 、 . 由题设可知， 是等腰直角三角形，且 ，则 ，所以 ， 因为 是正三角形，所以 ， 又 ，则 平面 ， 平面 ，因此， ； （ 2 ）在 中， ，又 ，而 ， 所以 ，故 ， 由题设及（ 1 ）知， 平面 ， 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 、 、 、 . 为 的中点，得 ，故 ， ， ， 设 是平面 的法向量，则 ，即 ， 取 ，则 ， 因为 ， 所以 与平面 所成角的大小为 . 4、 （ 1 ） ；（ 2 ） 或 . 【分析】 (1) 代入化简函数 ，根据正弦函数的值域可求得答案； (2) 将问题等价于 关于 有两个不同的解分 和 两种情况由一元二次方程的根的分布建立不等式组可求得 a 的取值范围 . 【详解】 (1) 当 时， ， 的值域为 ； (2) 关于 有两个不同的解， ， 关于 有两个不同的解， 设 在 有两个不同的解， 当 ，不符合题意 . 当 时， 在 内有两个不同的解， 令 ， 或 . 【点睛】 本题考查正弦函数的值域，一元二次方程的根的分布，属于较难题 . 在解决一元二次方程的根的分布问题时，常需考虑方程的根的判别式，对称轴，方程所对应的二次函数的特殊点的函数值的正负等方面 . 5、 （ 1 ） （ ）；（ 2 ）存在， . 【分析】 （ 1 ）设 （ ）， ， ， ，根据 ， ，由 ， ，利用代入求解 . （ 2 ）设 ， ，假设存在这样的点 , 当直线 l 的斜率存在时，设方程为 与椭圆方程联立， 根据 ，由 ，结合韦达定理求解 . 【详解】 （ 1 ）设 （ ）， ， ， ， ， ， ， ， 解得 代入 ， 得点 Q 的轨迹 的方程为 （ ） . （ 2 ）设 ， ， 假设存在这样的点 满足 ， 当直线 l 的斜率存在时，设为 ，代入椭圆 中， 得 ， ， ， ， ， ， 即 ， 即 , , ， ， ，即 ； 当斜率不存在时，直线 l 也过 . 综上， y 轴上存在定点 ，使得 总成立 . 【点睛】 本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题 . 6、 （ 1 ）答案见解析；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）求导函数，分 和 两种情况，分析导函数的符号，可得出原函数的单调区间； （ 2 ）原不等式等价于 对任意的 恒成立，令 ，求导函数，分 ， ， ，三种情况讨论其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，可求得实数 的取值范围 . 【详解】 解：（ 1 ） ， 当 时， 恒成立，则 在 R 上单调递增； 当 时， 时， ， 的单调递增区为 ； 时， ， 的单调递减区间为 . （ 2 ） 对任意的 恒成立， ， 即 对任意的 恒成立 . 令 ， ， 当 时， 在 恒成立， 在 上单调递减 . 只需 ，即 ，矛盾 . 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 . 所以只需 ，即 ， ； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减 . ； ， 综上，实数 的取值范围为 . 【点睛】 方法点睛： 1 、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题 , 关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的； 2 、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到； 3 、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式 . 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现 .