重庆市2022届高三上学期9月月考数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 已知集合 ， ，则 = （    ）
A ． B ． C ． D ．
2、 已知扇形的圆心角为 120° ，半径为 3 ，则扇形面积为（    ）
A ． B ． C ． D ．
3、 已知 ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ． 3
4、 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为 ，空气的温度是 ，那么 分钟后物体的温度 （单位 ）可由公式： 求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数 . 现有 100℃ 的物体，放在 20 的空气中冷却， 4 分钟后物体的温度是 60 ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是 40 （假设空气的温度保持不变） .
A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8
5、 已知函数 的最小正周期为 ，若将其图象沿 轴向右平移 个单位，所得图象关于 对称，则实数 的最小值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 如图所示，在 中， 在线段 上， ， ， ，则边 的长为（ ）

A ． B ． C ． D ．
7、 已知 ，则实数 为（ ）
A ． B ． 2 C ． D ．
8、 当函数 的图象经过的象限个数最多时，实数 的取值范围为（ ）
A ． B ． C ． D ．
9、 下列有关说法正确的是（ ）
A ．当 时，
B ． “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件
C ．若函数 的定义域为 ，则
D ．命题 “ ， ” 的否定是 “ ， ”
10、 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A ．若 ，则 无解 B ．若 ，则 恰有一解．
C ．若 ，则 有两解． D ．若 ，则 有两解．
11、 已知函数 ，其中 是自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A ． 是奇函数 B ． 是 的周期
C ． 在 上单调递减 D ． 在 上有 2 个极值点
12、 函数 满足 ，且在 上单调，若 在 上存在最大值和最小值，则实数 可以是（ ）
A ． B ． C ． D ．
二、填空题（共4题）
1、 函数 的图象在 处的切线倾斜角为 135° ，则实数 ___________.
2、 函数 ，则不等式 的解集为 ___________.
3、 若函数 在 上单调递增，则 a 的取值范围是 ______ ．
4、 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则 的取值范围是 ___________.
三、解答题（共6题）
1、 已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 .
（ 1 ）求 ， ；
（ 2 ）若角 满足 ，求 的值 .
2、 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 .
（ 1 ）求角 的大小；
（ 2 ）若 ，求 的值 .
3、 如图，在三棱锥 中， 是正三角形， 是等腰直角三角形， ， .

（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）若点 为 的中点，求 与平面 所成角的大小 .
4、 已知函数 ，其中 .
（ 1 ）当 时，求 在区间 上的值域；
（ 2 ）若关于 的方程 有两个不同的解，求 a 的取值范围 .
5、 已知椭圆 ： 的长轴为 ，动点 P 是椭圆上不同于 A ， B 的任一点，点 Q 满足 ， .
（ 1 ）求点 Q 的轨迹 的方程；
（ 2 ）过点 的动直线 l 交 于 M ， N 两点， y 轴上是否存在定点 S ，使得 总成立？若存在，求出定点 S ；若不存在，请说明理由 .
6、 已知函数 ， ， .
（ 1 ）讨论函数 的单调区间；
（ 2 ）若对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围 .

============参考答案============
一、选择题
1、 D
【分析】
先求解集合 ，再运算 .
【详解】
， ，
故选： D
2、 B
【分析】
把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算．
【详解】
． ．
故选： B ．
3、 D
【分析】
根据函数性质，代入自变量，结合指对数运算求得结果 .
【详解】
，
故选： D ．
4、 B
【分析】
根据题意将数据 ， ， ， 代入 ，可得 ，再将 代入即可得 ，即可得答案 .
【详解】
由题意知： ， ， ，
代入 得： ，
解得
所以当 时， ，
解得： ，
所以 ，
所以再经过 分钟物体的温度是 40 ，
故选： B
【点睛】
本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题 .
5、 B
【分析】
由周期求得 ，写出平移后的函数解析式，然后代入 ，结合正弦函数对称轴得出 的表达式，再求出最小的正数．
【详解】
由题意 ，即 ，将其图象沿 轴向右平移 个单位，得图象的函数式为 ，
图象关于直线 对称，则 ， ， ，
因为 ，所以 的最小值为 ．
故选： B ．
6、 D
【分析】
利用余弦定理求得 ，由此求得 ，进而求得 ，利用正弦定理求得 .
【详解】
在三角形 中，由余弦定理得 ，
所以 ，由于 ，
所以 .
在三角形 中，由正弦定理得 .
故选： D
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题 .
7、 A
【分析】
根据诱导公式、正弦、余弦的和角公式化简原式为 ，由此可得答案 .
【详解】
因为 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
故选： A.
8、 B
【分析】
令 ，求导函数，分 ， ， 三种情况，讨论导函数的符号，得出所令函数的单调性，继而得出函数 的图象所经过的象限，再令 ，分析函数 的奇偶性，由此可得选项 .
【详解】
解：令 ，则 ，
当 时， 的图象经过第三、四象限，当 时，令 ，得 或 ，
当 时， 或 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
又 ，所以 的图象经过第二、第三、四象限；
当 时， 或 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
又 ，当 时， 的图象经过第一、第二、第三、四象限，共四个象限，
此时，解得 ；
令 ，则 ，且 ，
所以函数 是奇函数，且 ，
所以当 时，函数 的图象经过四个象限，
故选： B.
【点睛】
方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值、最值问题、方程的根的问题、以及函数的图象问题等重要而有效的工具．本题就是以含参数 的函数解析式为背景，考查导函数知识在研究函数图象、单调性、极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．
9、 BC
【分析】
对于 A ，举例判断即可，对于 B ，利用充分条件和必要条件的定义判断即可，对于 C ，由 或 可求出 的取值范围，对于 D ，特称命题否定为全称命题即可
【详解】
对于 A ，令 ，则 ，所以 A 错误，
对于 B ，当 ， 时，有 ，而当 时，有 ，所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件，所以 B 正确，
对于 C ，因为函数 的定义域为 ，所以当 时，满足题意，当 时， ，即 ，解得 ，综上， ，所以 C 正确，
对于 D ，命题 “ ， ” 的否定是 “ ， ” ，所以 D 错误，
故选： BC
10、 ABC
【分析】
利用正弦定理求出 的值，然后根据三角形中大边对大角及三角形的内角和为 求角 ，从而判断三角形解的个数 .
【详解】
选项 A ：由正弦定理，得 ，所以无解，选项 A 正确；
选项 B ：由正弦定理，得 ，所以 ，即 恰有一解，所以选项 B 正确；
选项 C ：由正弦定理，得 ，因为 ，且 ，所以 或 ，即 有两解，所以选项 C 正确；
选项 D ：由正弦定理，得 ，因为 ，所以 ，所以 ，即 有一解，所以选项 D 错误 .
故选： .
11、 AD
【分析】
根据奇偶性、周期性的定义判断 AB ，利用单调性定义判断 C ，根据导数知识判断 D ．
【详解】
，函数为奇函数， A 正确；
由于 是周期为 的周期函数，但 不是周期函数，因此 ， 不是 的周期（实际上它不是周期函数）， B 错误；
且 的图象是连续的，因此 在 上不是单调函数，所以 在 上不可能是减函数， C 错误；
在 上是减函数， 在 上是增函数，且 时， ，
设 ，则 ，
， ，所以 ，
即 ，
所以 在 上是减函数，无极值点（此时也可由 得 是减函数）．
， 不是极值点．
在 上， ，由 得 ，
是增函数， 是减函数，
所以 是增函数， 时， ， 时， ，
因此在 上， 有唯一零点 ， 时， ，所以 ， 递增， 时， ，则 ， 递减， 是 的一个极值点（极大值点），所以 在 上有一个极值点，而 是奇函数，因此它在 上也有一个极值点，因此在 上有两个极值点． D 正确．
故选： AD ．
12、 AD
【分析】
由条件可得 ，又利用余弦函数的性质可求 ，再结合条件得 或 ，即得 .
【详解】
∵ 函数 在 上单调，
∴ ，
∴ ，
又函数满足 ，且 ，
所以 为函数对称轴，
∴ ，即 ，
故当 时， ，
当 时，
∵ 在 上存在最大值和最小值，
∴ 或 ，
∴ 或 .
故选： AD.
二、填空题
1、 -2
【分析】
求导函数，由已知得 ，解之可得答案 .
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
故答案为： .
2、
【分析】
确定函数的奇偶性与单调性后，利用这些性质解不等式．
【详解】
显然 ， 是偶函数，
时， 是增函数，
所以不等式 等价于 ，即 ，
， ，解得 ．
故答案为： ．
3、
【分析】
函数 是由 和 复合而成，分别讨论 和 时 的单调性，进而可得 在 上的单调性，再由
对于 恒成立，由二次函数的性质即可求解 .
【详解】
函数 是由
和 复合而成，
当 时 单调递增，
若函数 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，且 对于 恒成立，
的对称轴为
所以 解得： ，
当 时 单调递减，
若函数 在 上单调递增，
则 在 上单调递减，且 对于 恒成立，
的对称轴为
所以 解得： ，
综上所述： a 的取值范围是 ，
故答案为：
4、
【分析】
由余弦定理，正弦定理得出 ，再由正切和角公式将 化为 ，根据角 B 的范围可得出答案 .
【详解】
由题意得 ，根据余弦定理得 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，化简得 ，
又 ，所以 ，
又

，
所以
故答案为： .
三、解答题
1、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）利用三角函数的定义求 ， ，对 用诱导公式转化后求解；
（ 2 ）由（ 1 ）先求出 ，利用两角和的正切公式求出 .
【详解】
解：（ 1 ） ∵ ， ∴
∴ ， ，
∴ .
（ 2 ）由（ 1 ）得：
∴
.
即
【点睛】
(1) 三角函数值的大小与点 P （ x , y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；
(2) 利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如 等．
2、 （ 1 ） （ 2 ）
【分析】
（ 1 ）利用正、余弦定理处理 ，即可得出答案．（ 2 ）展开 ，结合 ，和第一问计算出的角 B 的大小，即可得出 A 的值，结合正弦定理 ，代入，即可．
【详解】
（ 1 ） ∵ 角 的对边分别为 ，且
∴ ，
∴
∴ ，
∵ 由正弦定理得： ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ∴
∵ ，
∴ .
（ 2 ） ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∵ 由正弦定理得： ， ， ，
∴ .
【点睛】
本道题考查了正余弦定理，难度较大．
3、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）取 的中点 ，连接 、 ，证明出 平面 ，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（ 2 ）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得 与平面 所成角的大小 .
【详解】
（ 1 ）证明：取 的中点 ，连接 、 .
由题设可知， 是等腰直角三角形，且 ，则 ，所以 ，
因为 是正三角形，所以 ，
又 ，则 平面 ，
平面 ，因此， ；
（ 2 ）在 中， ，又 ，而 ，
所以 ，故 ，
由题设及（ 1 ）知， 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则 、 、 、 .
为 的中点，得 ，故 ， ， ，
设 是平面 的法向量，则 ，即 ，
取 ，则 ，
因为 ，
所以 与平面 所成角的大小为 .
4、 （ 1 ） ；（ 2 ） 或 .
【分析】
(1) 代入化简函数 ，根据正弦函数的值域可求得答案；
(2) 将问题等价于 关于 有两个不同的解分 和 两种情况由一元二次方程的根的分布建立不等式组可求得 a 的取值范围 .
【详解】
(1) 当 时，

， 的值域为 ；
(2) 关于 有两个不同的解，
，
关于 有两个不同的解，
设 在 有两个不同的解，
① 当 ，不符合题意 .
② 当 时， 在 内有两个不同的解，
令 ，
或 .
【点睛】
本题考查正弦函数的值域，一元二次方程的根的分布，属于较难题 . 在解决一元二次方程的根的分布问题时，常需考虑方程的根的判别式，对称轴，方程所对应的二次函数的特殊点的函数值的正负等方面 .
5、 （ 1 ） （ ）；（ 2 ）存在， .
【分析】
（ 1 ）设 （ ）， ， ， ，根据 ， ，由 ， ，利用代入求解 .
（ 2 ）设 ， ，假设存在这样的点 , 当直线 l 的斜率存在时，设方程为 与椭圆方程联立， 根据 ，由 ，结合韦达定理求解 .
【详解】
（ 1 ）设 （ ）， ， ， ，
， ，
， ，

解得
代入 ，
得点 Q 的轨迹 的方程为 （ ） .
（ 2 ）设 ， ，
假设存在这样的点 满足 ，
当直线 l 的斜率存在时，设为 ，代入椭圆 中，
得 ，
， ，
，
， ，
即 ，
即 ,
,
，
，
，即 ；
当斜率不存在时，直线 l 也过 .
综上， y 轴上存在定点 ，使得 总成立 .
【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题 .
6、 （ 1 ）答案见解析；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）求导函数，分 和 两种情况，分析导函数的符号，可得出原函数的单调区间；
（ 2 ）原不等式等价于 对任意的 恒成立，令 ，求导函数，分 ， ， ，三种情况讨论其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，可求得实数 的取值范围 .
【详解】
解：（ 1 ） ，
① 当 时， 恒成立，则 在 R 上单调递增；
② 当 时， 时， ， 的单调递增区为 ；
时， ， 的单调递减区间为 .
（ 2 ） 对任意的 恒成立， ，
即 对任意的 恒成立 .
令 ， ，
① 当 时， 在 恒成立， 在 上单调递减 . 只需 ，即 ，矛盾 .
② 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 .
所以只需 ，即 ， ∴ ；
③ 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减 .
； ∴ ，
综上，实数 的取值范围为 .
【点睛】
方法点睛： 1 、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题 , 关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的； 2 、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到； 3 、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式 .
总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现 .