资源描述
试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 某校有学生 800 人，其中女生有 350 人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为 80 的样本，则男生抽取的人数是（ ）
A ． 35 B ． 40 C ． 45 D ． 60
2、 某交通广播电台在正常播音期间，每个整点都会进行报时．某出租车司机在该交通广播电台正常播音期间，打开收音机想收听电台整点报时，则他等待时间不超过 5 分钟的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么互斥而不对立的事件是
A ． 至少有一个红球与都是红球
B ． 至少有一个红球与都是白球
C ． 恰有一个红球与恰有二个红球
D ． 至少有一个红球与至少有一个白球
4、 总体由编号为 01 ， 02 ， … ， 19 ， 20 共 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为
A ． 12 B ． 07 C ． 15 D ． 16
5、 某种饮料每箱 6 听，其中 2 听不合格，随机从中抽出 2 听，检测到不合格的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的
A ． 9 B ． 31 C ． 15 D ． 63
7、 已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 = （ ）．
A ． B ． C ． D ．
8、 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
9、 若 个样本 、 、 、 、 的平均数是 ，方差为 ，则对于样本 、 、 、 、 的平均数与方差分别是（ ）
A ． 、 B ． 、 C ． 、 D ． 、
10、 一名小学生的年龄 ( 单位：岁 ) 和身高 ( 单位： cm) 的数据如下表．由散点图可知，身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 ＝ 8. 8 x ＋ ，预测该学生 10 岁时的身高约为 ( )
年龄 x
6
7
8
9
身高 y
118
126
136
144
A ． 154 cm B ． 151 cm C ． 152 cm D ． 153 cm
11、 为了解某部影片观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了 100 个此片的观影人的年龄（他们的年龄都在区间 内），并绘制出了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这 100 人年龄的众数和中位数的估计值分别为（ ）
A ． 35 ， 35 B ． 30 ， 40
C ． 35 ， 36 D ． 35 ， 34
12、 已知两定点 ， ，如果动点 满足 ，点 是圆 上的动点，则 的最大值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
二、填空题（共4题）
1、 如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形内随机撒 1000 粒豆子，落在阴影区域内的豆子共 600 粒，据此估计阴影区域的面积为 ______ ．
2、 长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成的角余弦值为 __________.
3、 已知某人同时抛掷了两枚质地均匀的正方体骰子，记 “ 两枚骰子的点数之和是 6 的倍数 ” 为事件 ，则 ______________ ．
4、 已知向量 ， ，若实数 ， 在连续区间 上取值，则满足 的概率为 ______________ ．
三、解答题（共6题）
1、 农业专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取 6 株麦苗测量麦苗的株高，如图给出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图（单位： cm ）分别求所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．（结果精确到 0.1 ）
2、 已知 为 的三内角，且其对边分别为 ，若 .
（ 1 ）求 ；
（ 2 ）若 ， ，求 的面积 .
3、 开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取 名学生的物理成绩（满分 100 分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在 内的有 3 人．
（ 1 ）求 的值，并估计本班参考学生的平均成绩；
（ 2 ）已知抽取的 名参考学生中，在 的人中，女生有甲、乙两人，现从 的人中随机抽取 2 人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．
4、 如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，点 ， 分别为 ， 的中点．
（ Ⅰ ）证明： 平面 ；
（ Ⅱ ）求点 到平面 的距离．
5、 已知正项等差数列 中， ，且 ， 成等比数列，数列 的前 n 项和为 ， .
（ 1 ）求数列 和 的通项公式；
（ 2 ）设 ，求数列 的前 n 项和 .
6、 “ 大众创业，万众创新 ” 是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号 . 某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组销售数据 ，如下表所示：
（已知 ， ） .
（ 1 ）求出 的值；
（ 2 ）已知变量 具有线性相关关系，求产品销量 （件）关于试销单价 （元）的线性回归方程 ；（ 3 ）用 表示用正确的线性回归方程得到的与 对应的产品销量的估计值 . 当销售数据 的残差的绝对值 时，则将销售数据 称为一个 “ 好数据 ”. 现从 6 个数据中任取 2 个，求抽取的 2 个数据中至少有 1 个是 “ 好数据 ” 的概率 .
============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
利用分层抽样的定义直接求解即可
【详解】
由题意可得男生抽取的人数是 ．
故选： C
2、 B
【分析】
根据题意出租车司机等待时间不超过 5 分钟，则出租车司机打开收音机的时间点是在整点前 5 分钟内，除以整个时间段 60 分钟即可得解 .
【详解】
由于是整点报时，
对于每个小时，若要出租车司机等待时间不超过 5 分钟，
则出租车司机打开收音机的时间点是在整点前 5 分钟内，
故概率为 ，
故选： B
3、 C
【详解】
从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，不同的取球情况共有以下几种：
3 个球全是红球； 2 个红球和 1 个白球； 1 个红球 2 个白球； 3 个全是白球 .
选项 A 中，事件 “ 都是红球 ” 是事件 “ 至少有一个红球 ” 的子事件；
选项 B 中，事件 “ 至少有一个红球 ” 与事件 “ 都是白球 ” 是对立事件；
选项 D 中，事件 “ 至少有一个红球 ” 与事件 “ 至少有一个白球 ” 的事件为 “2 个红球 1 个白球 ” 与 “1 个红球 2 个白球 ” ；
选项 C 中，事件 “ 恰有一个红球 ” 与事件 “ 恰有 2 个红球 ” 互斥不对立，故选 C.
4、 C
【分析】
根据随机数表法，依次进行选择即可得到结论．
【详解】
解：从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于 20 的编号依次为 03,07,12,16,07,15 ，其中第二个和第四个都是 07 ，重复．
可知对应的数值为 03,07,12,16,15
则第 5 个个体的编号为 15 ．
故选 C ．
【点睛】
本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数表法是解决本题的关键，易错点是重复的数字要剔除出去，属于基础题．
5、 B
【分析】
本题首先可以根据题意写出任取 2 听的所有可能事件，然后写出有不合格饮料的所以可能事件，最后两者相除，即可得出结果 .
【详解】
设 6 听饮料中的 2 听不合格饮料为 、 ，其余 4 听合格饮料为 、 、 、 ，
从中任取 2 听的所有可能事件为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共 15 种，
其中有不合格饮料的所以可能事件为： 、 、 、 、 、 、 、 、 共 9 种，
则检测到不合格的概率 ，
故选： B.
【点睛】
本题考查古典概型的相关概率计算，能否找出所有的可能事件以及满足限制条件的所有可能事件是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题 .
6、 B
【分析】
根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果 .
【详解】
执行程序框 ； ； ；
； ； ，
满足 ，退出循环，因此输出 ，
故选 :B.
【点睛】
本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题 .
7、 B
【分析】
由已知利用二倍角公式可得 ，可求 ，由正弦定理可得 ，再由余弦定理可求 ，即可求解．
【详解】
由题意，因为 ，可得： ，
即 ，可得 ∴ 或 ，
又由 ，则 为锐角，所以 不符合舍去，
又由正弦定理可得： ，即： ，
由余弦定理可得 ，
∵ ， ∴ ．
故选 B ．
【点睛】
本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8、 A
【分析】
首先设出新农村建设前的经济收入为 M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为 2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项 .
【详解】
设新农村建设前的收入为 M ，而新农村建设后的收入为 2M ，
则新农村建设前种植收入为 0.6M ，而新农村建设后的种植收入为 0.74M ，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；
新农村建设前其他收入我 0.04M ，新农村建设后其他收入为 0.1M ，故增加了一倍以上，所以 B 项正确；
新农村建设前，养殖收入为 0.3M ，新农村建设后为 0.6M ，所以增加了一倍，所以 C 项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 ，所以超过了经济收入的一半，所以 D 正确；
故选 A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果 .
9、 D
【分析】
设 、 、 、 、 的平均数为 ，方差为 ，求出 、 的值，利用平均数和方差公式可求得样本 、 、 、 、 的平均数与方差 .
【详解】
设 、 、 、 、 的平均数为 ，方差为 ，
则 ， ，
由题意可得
，则 ，
，
所以， 样本 、 、 、 、 的平均数为
，
方差为
.
故选： D.
10、 D
【详解】
由题意得， ， ，代入线性回归方程 ，得 ，即
∴ 当 时， . 故选 D.
11、 D
【分析】
根据频率分布直方图，众数在频率最大的组处取中点即可，而中位数在平分直方图面积处取得，计算即可得解 .
【详解】
众数为
年龄在区间 内的频率为 ，
年龄在区间 内的频率为 ，故中位数在区间 内，
设中位数为 ，则 ，所以 .
故选： D
12、 B
【分析】
先求出动点 轨迹方程（圆），再根据两圆位置关系确定 的最大值取法，计算即可得结果 .
【详解】
设 ，因为 ，所以
因此 最大值为两圆心距离加上两圆半径，即为
故选： B
【点睛】
本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值，考查数形结合思想方法以及基本化简能力，属中档题 .
二、填空题
1、
【分析】
根据几何概型的概率公式，可以求出豆子落在阴影部分的概率，然后即可得到阴影部分的面积．
【详解】
将 1000 颗豆子随机地撒在正方形内，其中恰好有 600 颗豆子落在阴影部分内，
则豆子落在阴影部分的概率 ，
正方形的面积为 2 ，
阴影部分的面积 ，满足 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查几何概型的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，根据面积之间的关系是解决本题的关键，比较基础．
2、
【分析】
连接 ，因为 所以 或补角为异面直线 与 所成的角，由余弦定理求解 .
【详解】
如图所示，
连接 和 因为 ，所以 或补角为异面直线 与 所成的角
因为 ， ，所以 ， ，
由余弦定理得
故答案为： .
【点睛】
方法点晴：求线线夹角可用几何法：先平移相交找角再用三角知识求解；也可用空间向量公式求解 .
3、
【分析】
计算出所有可能出现的情况的种数，再列出事件 A 包含的基本事件，利用古典概型的概率计算公式计算即可 .
【详解】
由题意可得，同时抛掷两枚椽子可能出现的情况共有 36 种，
其中事件 A 包含的情况有
、 、 、 、 、 共 6 种，
则 ．
故答案为： .
4、
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合几何概型计算公式进行求解即可 .
【详解】
若 ， 在连续区间 上取值，
则全部基本事件的结果为
满足 的基本事件的结果为
画出图象如图所示，矩形的面积为 ，
阴影部分的面积为 ，故满足 的概率为等 ．
故答案为：
三、解答题
1、 答案见解析
【分析】
根据茎叶图分别计算出甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并对结果进行大小比较，方差小的麦苗长得较为整齐 .
【详解】
解： ，
，
，
，
因为 ，所以乙种麦苗平均株高较高，
又因为 ，所以甲种麦苗长得较为整齐．
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，由于 ，可求 的值，结合 ，可求 A 的值 .
（ 2 ）由已知利用余弦定理可求 bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可得解 .
【详解】
解：（ 1 ） ∵ ，
∴ 由正弦定理可得： ，
整理得 ，
即： ，
所以 ，
∵ ， ∴ ，
∵ ， ∴ .
（ 2 ）由 ， ，由余弦定理得 ，
∴ ，即有 ，
∴ ，
∴ 的面积为 .
【点评】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 . 解题的过程中注意以下公式的灵活应用： 、 、 .
3、 （ 1 ） ； （分）；（ 2 ） ．
【分析】
（ 1 ）根据频率分布直方图得到成绩在 内的频率，再根据成绩在 内的频数为 3 ，求得样本容量，再利用平均数公式求解；
（ 2 ）根据频率分布直方图得到学生中成绩在 的人数，然后利用古典概型公式求解 .
【详解】
（ 1 ）由频率分布直方图知，成绩在 内的频率为
．
因为成绩在 内的频数为 3 ，
所以抽取的样本容量 ．
所以参考学生的平均成绩为 （分）．
（ 2 ）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在 的人数为 ，
因为有甲、乙两名女生，所以有两名男生．
用 ， 表示两名男生，
从 4 人中任取 2 人的所有情况为甲乙，甲 ，甲 ，乙 ，乙 ， ，共 6 种，
其中女学生甲被抽到的情况共 3 种．
所以随机抽取 2 人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为 ．
4、 （ Ⅰ ）见解析；（ Ⅱ ） .
【详解】
试题分析：（ Ⅰ ）取 的中点 ，连接 、 ，由已知结合三角形中位线定理可得 且 ，得四边形 为平行四边形，从而可得 ，再由线面平行的判定可得 平面 ；（ Ⅱ ）利用等积法可得： ，代入棱锥体积公式可得点 到平面 的距离．
试题解析：（ Ⅰ ）证明：取点 是 的中点，连接 ， ，则 ，且 ，
∵ 且 ，
∴ 且 ，
∴ 四边形 为平行四边形，
∴ ， ∴ 平面 ．
（ Ⅱ ）解：由（ Ⅰ ）知 平面 ，所以点 到平面 的距离与 到平面 的距离是相等的，故转化为求点 到平面 的距离，设为 ．
利用等体积法： ，即 ， ，
∵ ， ， ∴ ， ∴ ．
点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有： 1 、构造三角形的中位线； 2 、构造平行四边形； 3 、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形 . 求点到面的距离主要是利用等体积法 .
5、 （ 1 ） ； ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）根据题意，结合等差数列的通项公式，求得 ，即可求得数列 的通项公式，再由 ，化简得到 ，结合等比数列的定义，即可求解；
（ 2 ）由（ 1 ）可得 ，结合等比数列的求和公式和 “ 裂项法 ” 求得 即可 .
【详解】
解：（ 1 ）设等差数列 的公差为 d ，
由 ，且 ， 成等比数列，
∴ ，
即 ，
由已知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由 得：
，
∴
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ；
（ 2 ） ，
∴
.
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的通项公式的应用、以及 “ 裂项法 ” 求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，属于中档题 .
6、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） .
【详解】
试题分析 : (1) 根据 求解即可 ;(2) 根据公式分别求出 和 , 代入回归直线方程即可 ;(3) 分别列举出满足题意的 “ 好数据 ”, 根据古典概型的公式代入求解 .
试题解析 :
（ 1 ） ，可求得 ．
（ 2 ） ，
，
所以所求的线性回归方程为 ．
（ 3 ）当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ．
与销售数据对比可知满足 （ 1,2 ， … ， 6 ）的共有 3 个 “ 好数据 ” ： 、 、 ．
从 6 个销售数据中任意抽取 2 个的所有可能结果有（ 4 ， 90 ）（ 5 ， 84 ），（ 4 ， 90 ）（ 6 ， 83 ），（ 4 ， 90 ）（ 7 ， 80 ），（ 4 ， 90 ）（ 8 ， 75 ），（ 4 ， 90 ）（ 9 ， 68 ），（ 5 ， 84 ）（ 6 ， 83 ），（ 5 ， 84 ）（ 7 ， 80 ），（ 5 ， 84 ）（ 8 ， 75 ），（ 5 ， 84 ）（ 9 ， 68 ），（ 6 ， 83 ）（ 7 ， 80 ），（ 6 ， 83 ）（ 8 ， 75 ），（ 6 ， 83 ）（ 9 ， 68 ），（ 7 ， 80 ）（ 8 ， 75 ），（ 7 ， 80 ）（ 9 ， 68 ），（ 8 ， 75 ）（ 9 ， 68 ）共 15 种，
其中 2 个数据中至少有一个是 “ 好数据 ” 的结果有（ 4 ， 90 ）（ 5 ， 84 ），（ 4 ， 90 ）（ 6 ， 83 ），（ 4 ， 90 ）（ 7 ， 80 ），（ 4 ， 90 ）（ 8 ， 75 ），（ 4 ， 90 ）（ 9 ， 68 ），（ 5 ， 84 ）（ 6 ， 83 ），（ 5 ， 84 ）（ 8 ， 75 ），（ 6 ， 83 ）（ 7 ， 80 ），（ 6 ， 83 ）（ 8 ， 75 ），（ 6 ， 83 ）（ 9 ， 68 ），（ 7 ， 80 ）（ 8 ， 75 ），（ 8 ， 75 ）（ 9 ， 68 ）共 12 种，
于是从抽得 2 个数据中至少有一个销售数据中的产品销量不超过 80 的概率为 ．
或
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