换元积分法.pptx

原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念基本积分公式基本积分公式用直接积分法求不定积分要注意对被积函数变形 直接积分法直接积分法:用用基本积分公式基本积分公式及及积分性质积分性质求积分的方法求积分的方法直接积分法直接积分法复 习十三个基本积分公式复习：基本积分公式复习：基本积分公式4.4 4.4 换元积分法换元积分法【学习本节要达到的目标】1、熟练掌握和应用不定积分的第一换元积分法.2、会用第二换元积分法求解被积函数含根式的定积分.一、一、第一类换元积分法第一类换元积分法例例1 原因在于被积函数原因在于被积函数cos 2x与公式与公式 中的被积中的被积函数不一样函数不一样.如果令如果令u=2x，则，则cos2x=cos u，d u=2dx，从，从而而所以有所以有？分析分析综合上述分析，此题的正确解法如下：综合上述分析，此题的正确解法如下：解解第一换元积分法第一换元积分法证证依题意有依题意有即有即有又由复合函数微分法可得又由复合函数微分法可得应用第一换元积分法求不定积分的步骤为应用第一换元积分法求不定积分的步骤为 根据不定积分的定义，则有根据不定积分的定义，则有 公式公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法分法.也称也称“凑微分凑微分”法法 例例2 求求解解解解例例3 求求例例5 求求类似地，有类似地，有解解例例4 求求解解练习练习 求下列不定积分求下列不定积分.解解例例6 求不定积分求不定积分解解 应用基本积分公式类似地，还可得到类似地，还可得到解解例例7 求不定积分求不定积分类似地，还可得到类似地，还可得到例例8 8 求下列不定积分(1)(1)=(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)用第一换元积分法还可以推导出一组积分公式：用第一换元积分法还可以推导出一组积分公式：常见的凑微分形式常见的凑微分形式例例9 求求解解 作变量代换作变量代换,令令 可将无理函可将无理函数化为数化为 有理函数的积分有理函数的积分,所以有所以有二、二、第二类换元积分法第二类换元积分法（根式代换）（根式代换）一般的说，若积分一般的说，若积分 不易计算可以作适当的不易计算可以作适当的 变量代换变量代换 ，把原积分化为，把原积分化为 的形的形式而可能使其容易积分式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，当然在求出原函数后，还要还要将将 代回代回.还原成还原成x的函数，这就是的函数，这就是第二换元第二换元积分法积分法计算不定积分的基本思想计算不定积分的基本思想.设设 是单调可导的函数，是单调可导的函数，且且那么那么应用第二类换元法求不定积分的步骤为应用第二类换元法求不定积分的步骤为 第二换元积分法第二换元积分法例例10 求求解解练习练习 提示提示 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中n为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）注：注：例例1111 求求令令解解当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换注：注：例例12 求求解解axt例例13 求求解解axt例例14 求求解解axt 例例12例例14中的解题方法称为三角代换法或三角中的解题方法称为三角代换法或三角换元法换元法.一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：下情形：补充的积分公式：补充的积分公式：小 结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）第一类换元积分法：（一）第一类换元积分法：凑微分凑微分（二）第二类换元积分法：（二）第二类换元积分法：根式代换、倒根式代换、倒代换、代换、三角代换三角代换.作作 业业P106.A组 2（2）（4）（6）（8）（10）（14）.