换元积分法2.pptx

返回返回第二节第二节 换元积分法换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法 二、第二类换元法二、第二类换元法 三、小结三、小结 思考题思考题 返回返回问题问题1解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令一、第一类换元法（一、第一类换元法（凑微分法凑微分法）凑微分凑微分返回返回问题问题2解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令一、第一类换元法（一、第一类换元法（凑微分法凑微分法）凑微分凑微分返回返回一一.第一换元法第一换元法（凑微分法凑微分法）该定理可以写成该定理可以写成凑微分法凑微分法的形式：的形式：注注定理定理1证明：证明：返回返回例例1 1 求求解解（1）一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分返回返回例例2 2 求求解解（2）一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分返回返回例例3 3 求求解解（3）一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分返回返回例例4 4 求求解解（1）例例2 2 求求解解（2）或或二、利用二、利用被积函数因式被积函数因式直接凑微分直接凑微分返回返回例例5 5 求求解解（3）返回返回例例6 6 求求解解（4）返回返回例例7 7 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分去凑微分.（1）的积分的积分三、被积函数含有三角函数三、被积函数含有三角函数 m,n至少有一个是奇数至少有一个是奇数返回返回例例8 8 求求解解先降幂再积分。先降幂再积分。（2）的积分的积分 m,n都是偶数都是偶数返回返回例例9 9 求求解解（3）返回返回例例1010 求求解解（1）四、被积函数变形后，有因式可凑微分四、被积函数变形后，有因式可凑微分返回返回解解2类似地可推出类似地可推出（2）例例1111 求求返回返回Ex:求求返回返回Ex:求求解解返回返回Ex:求求解解返回返回Ex:求求解解返回返回返回返回 凑微分法的实质是把被积函数中的一部凑微分法的实质是把被积函数中的一部分分“吸收吸收”到积分变量之中，形成新的到积分变量之中，形成新的积分变量，从而使原被积式简单积分变量，从而使原被积式简单 凑微分法凑微分法返回返回问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令二、第二类换元法二、第二类换元法返回返回证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有则有换元公式换元公式定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式返回返回例例1 1 求求解解返回返回 凑微分法的实质是把被积函数中的一部凑微分法的实质是把被积函数中的一部分分“吸收吸收”到积分变量之中，形成新的到积分变量之中，形成新的积分变量，从而使原被积式简单积分变量，从而使原被积式简单 凑微分法凑微分法第二类积分换元公式第二类积分换元公式返回返回第二类积分换元公式第二类积分换元公式返回返回例例2 2 求求解解 令令返回返回例例3 3 求求解解 令令返回返回说明说明当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例4 4 求求令令解解返回返回例例5 5 求求令令解解返回返回基基本本积积分分表表(2)(2)返回返回返回返回解解思考题思考题 设设令令返回返回Ex 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）返回返回Ex 求求解解返回返回Ex:求求解解 令令返回返回Ex返回返回Ex:计算下列积分计算下列积分:返回返回三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)返回返回思考题思考题求积分求积分返回返回思考题解答思考题解答返回返回例例1111 求求解解（一）（一）类似地可推出类似地可推出（2）返回返回 这是不定积分中的换元积分法公式，这是不定积分中的换元积分法公式，这是不定积分中的换元积分法公式，这是不定积分中的换元积分法公式，从左往右使用该公式，即为第一类换元从左往右使用该公式，即为第一类换元从左往右使用该公式，即为第一类换元从左往右使用该公式，即为第一类换元法；从右往使用该公式即为第二类换元法。法；从右往使用该公式即为第二类换元法。法；从右往使用该公式即为第二类换元法。法；从右往使用该公式即为第二类换元法。这是两种不同方向的思维方式，在使用时，要这是两种不同方向的思维方式，在使用时，要这是两种不同方向的思维方式，在使用时，要这是两种不同方向的思维方式，在使用时，要根据具体问题采取适当的方法。根据具体问题采取适当的方法。根据具体问题采取适当的方法。根据具体问题采取适当的方法。小结小结返回返回练练 习习 题题返回返回返回返回返回返回返回返回练习题答案练习题答案返回返回返回返回