教育学夜大高数D专升本无穷级数.pptx

1 11高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD DD 上海大学数学系上海大学数学系上海大学数学系上海大学数学系 王培康王培康王培康王培康 高高高高 等等等等 数数数数 学学学学2 22高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD本本本本 课课课课 程程程程 教教教教 学学学学 内内内内 容容容容第七章第七章第七章第七章第七章第七章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数 (第六节不要求第六节不要求第六节不要求第六节不要求第六节不要求第六节不要求)第八章第八章第八章第八章第八章第八章 微分方程微分方程微分方程微分方程微分方程微分方程 (第七节不要求第七节不要求第七节不要求第七节不要求第七节不要求第七节不要求)第十章第十章第十章第十章第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 (第六、七节不要求第六、七节不要求第六、七节不要求第六、七节不要求第六、七节不要求第六、七节不要求)第十一章第十一章第十一章第十一章第十一章第十一章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 (第三节不要求第三节不要求第三节不要求第三节不要求第三节不要求第三节不要求)本本本本 课课课课 程程程程 考考考考 核核核核 方方方方 式式式式1.1.1.期末考试期末考试期末考试期末考试期末考试期末考试 (半开卷，占总评成绩半开卷，占总评成绩半开卷，占总评成绩半开卷，占总评成绩半开卷，占总评成绩半开卷，占总评成绩70%)70%)70%)2.2.2.平时考勤记录平时考勤记录平时考勤记录平时考勤记录平时考勤记录平时考勤记录 (占总评成绩占总评成绩占总评成绩占总评成绩占总评成绩占总评成绩30%)30%)30%)3 33高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD第七章第七章第七章第七章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数4 44高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 无穷级数是高等数学的一个重要组成无穷级数是高等数学的一个重要组成部分部分,是表示函数、研究函数的性质以及是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种有力工具进行数值计算的一种有力工具.(常常)数项级数数项级数级数级数幂级数幂级数函数项级数函数项级数正项级数正项级数任意项级数任意项级数傅里叶级数傅里叶级数(交错级数交错级数)5 55高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD第一节第一节第一节第一节 无穷级数的基本概念和性质无穷级数的基本概念和性质无穷级数的基本概念和性质无穷级数的基本概念和性质一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念1.定义定义定义定义:称为称为常数项无穷级数常数项无穷级数常数项无穷级数常数项无穷级数,简称简称常数项级数常数项级数常数项级数常数项级数,设给定一个数列设给定一个数列问题问题问题问题:(即有没有和数即有没有和数)其中其中 u un n 称为级数的称为级数的一般项一般项一般项一般项(或或通项通项通项通项).或或无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数,或或级数级数级数级数.6 66高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD2.2.部分和数列部分和数列部分和数列部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的一数列中有限项相加总是有和数的,无限项相加是否有和数无限项相加是否有和数?可能有可能有,也可能没有也可能没有.如何研究它如何研究它?通过有限项之和去认识和研究无限项之和通过有限项之和去认识和研究无限项之和.定义定义定义定义:级数前级数前n项之和项之和:组成的数列称为级数的组成的数列称为级数的部分和数列部分和数列部分和数列部分和数列.7 77高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD部分和数列部分和数列Sn：显然显然,8 88高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 发散的级数没有和发散的级数没有和.极限值极限值 S 称为级数的和称为级数的和.3.3.级数的收敛和发散级数的收敛和发散级数的收敛和发散级数的收敛和发散定义定义定义定义：(C C)(D D )9 99高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD其差值其差值 rn=称为级数的称为级数的余项余项余项余项.101010高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD讨论讨论等比级数等比级数等比级数等比级数(几何级数几何级数几何级数几何级数)的敛散性的敛散性：例例例例1.1.解解解解:111111高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD121212高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:原级数原级数(D)例例例例2.2.131313高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD例例例例3.3.解解解解:原级数原级数(C)141414高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD二、级数的基本性质二、级数的基本性质性质性质性质性质1.1.k 是常数是常数,证证:证毕证毕151515高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD推论推论推论推论:性质性质性质性质1.1.k 是常数是常数,161616高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD性质性质性质性质2.2.收敛级数可逐项相加减收敛级数可逐项相加减.设有两个收敛级数设有两个收敛级数推论推论推论推论:171717高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD由性质由性质2：矛盾矛盾！推论推论推论推论:(C C C)+()+()+(D D D)=()=()=(D D D)证证证证:(C)+(C)=(C)181818高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD两个发散级数逐项相加减后的情况不定两个发散级数逐项相加减后的情况不定.如如:191919高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 在级数前加上或去掉或改变有限项在级数前加上或去掉或改变有限项,不影响不影响级数的敛散性级数的敛散性,但收敛时其和会改变但收敛时其和会改变.(C),例例:性质性质性质性质3.3.(C)(C)202020高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 收敛级数对其项任意加括号后所组成收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛的级数仍然收敛,且其和不变且其和不变.证证证证:部分和为部分和为 Sn,性质性质性质性质4.4.按某一规律加括号后的级数按某一规律加括号后的级数:证毕证毕该性质可理解为收敛的级数满足加法结合律该性质可理解为收敛的级数满足加法结合律.212121高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 发散级数加括号后所成级数不一定发散发散级数加括号后所成级数不一定发散.注注1.例例:(D)(C)加括号后所成的级数发散加括号后所成的级数发散,3.则原级数也发散则原级数也发散.甚至甚至,对一个发散的级数对一个发散的级数,若按不同的方式加括号若按不同的方式加括号,所得的级数可能收敛于不同的和所得的级数可能收敛于不同的和.发散的级数不满足加法结合律发散的级数不满足加法结合律.收敛于收敛于 0,加括号后所得的级数加括号后所得的级数 (D)添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级2.例例:数收敛数收敛.而原来的级数而原来的级数222222高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 性质性质性质性质5.5.证证证证:(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)说明说明232323高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 级数发散级数发散.例例2:证明调和级数证明调和级数发散发散.证证证证:(反证反证)此时此时 解解解解:242424高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD但但矛盾矛盾!252525高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题 7 1(第第173页页)4(1,2,3)262626高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD习题习题习题习题习题习题7-1(7-1(7-1(第第第第第第173173173页页页页页页)4.4.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:级数为等比级数级数为等比级数,公比为公比为级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.272727高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD4.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:等比级数等比级数的公比为的公比为则由性质则由性质1知原级数收敛知原级数收敛.等比级数等比级数的公比为的公比为282828高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD4.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:则由级数收敛的必要条件知原级数发散则由级数收敛的必要条件知原级数发散.292929高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD1.1.定义定义定义定义:许多级数敛散性的判断都可以归结许多级数敛散性的判断都可以归结为正项级数的敛散性的判断为正项级数的敛散性的判断.第二节第二节第二节第二节 正项级数正项级数正项级数正项级数303030高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件 证证证证:收敛数列必有界收敛数列必有界,定理定理定理定理:(C)证毕证毕证毕证毕313131高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD如如:有界有界无界无界则其必发散则其必发散.323232高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD3.3.审敛法（判别法）审敛法（判别法）审敛法（判别法）审敛法（判别法）比较审敛法比较审敛法比较审敛法比较审敛法:设有两个正项级数设有两个正项级数(C),(C).(1)(2)(D),(D).则则（大的收敛则小的也收敛）（大的收敛则小的也收敛）（大的收敛则小的也收敛）（大的收敛则小的也收敛）（小的发散则大的也发散）（小的发散则大的也发散）（小的发散则大的也发散）（小的发散则大的也发散）333333高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 证证证证:(1)(2)343434高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 推论推论推论推论.即正项级数若从某项后满足比较审即正项级数若从某项后满足比较审敛法的条件，敛法的条件，仍得同样结果仍得同样结果.结论同样成立结论同样成立;甚至上式只要在某个自然数后开始成立甚至上式只要在某个自然数后开始成立即可即可.373737高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较,等比级数等比级数 P-级数级数所以必须掌握一些已知敛散的级数所以必须掌握一些已知敛散的级数.常用常用:调和级数调和级数(D)383838高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 例例1.判别下列正项级数的敛散性判别下列正项级数的敛散性:(1)解解解解:393939高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD(2)解解解解:404040高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD(3)解解解解:414141高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设正项级数设正项级数424242高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 例例2：判别前例中级数判别前例中级数(1),(2)的敛散性的敛散性：原级数收敛原级数收敛.解解解解:434343高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 原级数发散原级数发散.解解解解:444444高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:例例3:判别级数的敛散性判别级数的敛散性:原级数发散原级数发散.454545高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 解解解解:原级数收敛原级数收敛.464646高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 解：解：解：解：原级数收敛原级数收敛.474747高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD比值审敛法（达朗贝尔判别法）比值审敛法（达朗贝尔判别法）设正项级数设正项级数则当则当敛散性不定敛散性不定484848高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:原级数收敛原级数收敛.例例1:判别下列正项级数的敛散性判别下列正项级数的敛散性:494949高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:原级数收敛原级数收敛.=505050高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD(3)解解解解:由此题结论还可得由此题结论还可得:515151高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 前面介绍的判别正项级数敛前面介绍的判别正项级数敛散性的比较、比值审敛方法，它散性的比较、比值审敛方法，它们都是充分条件。如果用它们无们都是充分条件。如果用它们无法判断该正项级数敛散性，那么法判断该正项级数敛散性，那么就要尝试用级数收敛的定义、收就要尝试用级数收敛的定义、收敛级数的性质等去判别。敛级数的性质等去判别。525252高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题 7 2(第第177页页)1(4,5),2(1)535353高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD第三节第三节第三节第三节 交错级数与交错级数与交错级数与交错级数与任意项级数任意项级数任意项级数任意项级数 各项正负交错的级数称为各项正负交错的级数称为交错级数交错级数交错级数交错级数.定义定义定义定义:如如:其中其中 一、一、交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 545454高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD交错级数审敛法（莱布尼兹定理）交错级数审敛法（莱布尼兹定理）若交错级数若交错级数满足条件满足条件:则此级数则此级数收敛收敛收敛收敛,555555高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:(1)解解解解:例例例例:莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数565656高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD(2)解解解解:575757高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 二、任意项级数二、任意项级数 任意项级数的敛散情况有下列三种任意项级数的敛散情况有下列三种:对任意项级数对任意项级数,一般有无穷多正项一般有无穷多正项,无穷多负项无穷多负项,但其各项的绝对值但其各项的绝对值组成了正项级数组成了正项级数:1.绝对收敛绝对收敛;2.条件收敛条件收敛;3.发散发散.585858高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD定义定义:(A.CA.C)(C.CC.C)595959高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD定理定理:绝对收敛的级数必收敛。绝对收敛的级数必收敛。606060高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD证证证证:616161高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD说明说明:绝对收敛级数都是收敛级数绝对收敛级数都是收敛级数绝对收敛级数都是收敛级数绝对收敛级数都是收敛级数,反之反之反之反之不成立不成立不成立不成立,即收敛级数未必是绝对收敛级即收敛级数未必是绝对收敛级即收敛级数未必是绝对收敛级即收敛级数未必是绝对收敛级数数数数.例例:626262高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性,若收敛则说明是若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛绝对收敛还是条件收敛:例例例例:636363高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD(2)646464高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD(3)用比值法用比值法666666高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 为什么要讨论级数的绝对收敛与条件收敛为什么要讨论级数的绝对收敛与条件收敛?绝对收敛级数可以任意交换项的位置而不绝对收敛级数可以任意交换项的位置而不因为有很多性质是绝对收敛级数所具备的因为有很多性质是绝对收敛级数所具备的,而条件收敛的级数不具备而条件收敛的级数不具备.如如:性质性质性质性质.改变它的收敛性及和数改变它的收敛性及和数.注注:条件收敛的级数不具有这一性质条件收敛的级数不具有这一性质.如如:条件收敛条件收敛,其和记为其和记为 S可以证明重新排序后的级数可以证明重新排序后的级数收敛于收敛于676767高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD条件收敛条件收敛,其和记为其和记为 S 证明重新排序后的级数证明重新排序后的级数收敛于收敛于它收敛于它收敛于再将它与原级数逐项相加再将它与原级数逐项相加,得重新排序后的级数得重新排序后的级数显然收敛于显然收敛于686868高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 黎曼于黎曼于1854年证明了年证明了:可以把任何一个可以把任何一个条件收敛的级数的项适当重排条件收敛的级数的项适当重排,使新级数收使新级数收敛于任何事先指定的数敛于任何事先指定的数;也可以使重排后的也可以使重排后的级数发散于正无穷大或负无穷大级数发散于正无穷大或负无穷大.696969高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题 7 3(7 3(第第第第181181页页页页)1(2,4,6,9)707070高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD习题习题习题习题习题习题 7-2 (7-2 (7-2 (第第第第第第177177177页页页页页页)1.用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛散性散性:则由正项级数的比较判别法知原级数收敛则由正项级数的比较判别法知原级数收敛.717171高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD则由正项级数的比较判别法极限形式知原级数收敛则由正项级数的比较判别法极限形式知原级数收敛.1.用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛散性散性:727272高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD则由正项级数的比值判别法知原级数发散则由正项级数的比值判别法知原级数发散.2.用比值判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛用比值判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛散性散性:737373高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD四、四、四、四、幂幂幂幂 级级级级 数数数数747474高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD（一）函数项级数的概念（一）函数项级数的概念（一）函数项级数的概念（一）函数项级数的概念定义定义定义定义:简称简称(函数项函数项)级数级数级数级数.称为定义在区间称为定义在区间 I 上的上的函数项无穷级数函数项无穷级数函数项无穷级数函数项无穷级数,757575高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD收敛点全体称为它的收敛域收敛点全体称为它的收敛域.发散点全体称为它的发散域发散点全体称为它的发散域.767676高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 对于对于 I 中的每一点中的每一点,不是收敛点就是发散不是收敛点就是发散点点.对收敛域内任一点对收敛域内任一点 x,函数项级数退化为函数项级数退化为一收敛的常数项级数一收敛的常数项级数,所以有一确定的和所以有一确定的和 S,显然显然 S 与与 x 有关有关,由由 x 惟一确定惟一确定.所以收敛域上函数项级数的和是点所以收敛域上函数项级数的和是点所以收敛域上函数项级数的和是点所以收敛域上函数项级数的和是点所以收敛域上函数项级数的和是点所以收敛域上函数项级数的和是点 x x x 的函数的函数的函数的函数的函数的函数,记为记为 S S(x x),称为函数项级数的称为函数项级数的和函数和函数和函数和函数,其定义域就是其定义域就是(注意注意注意注意,与一般项与一般项与一般项与一般项 u un n(x x)的定义域不同的定义域不同的定义域不同的定义域不同)777777高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD同样同样,787878高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解：所以所以 的收敛域为的收敛域为(1,1).由前面的讨论可知由前面的讨论可知当当时时,这级数收敛于和这级数收敛于和当当时时,这级数发散这级数发散发散域为发散域为和函数为和函数为注意注意:和函数的定义域小于级数的定义域和函数的定义域小于级数的定义域.797979高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD习题习题习题习题习题习题 7 3 (7 3 (7 3 (第第第第第第 181 181 181 页页页页页页)1.判断下列级数是否收敛判断下列级数是否收敛.如果是收敛级数如果是收敛级数,指出是绝对收敛指出是绝对收敛?还是条件收敛还是条件收敛?则原级数绝对收敛则原级数绝对收敛.808080高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD则原级数绝对收敛则原级数绝对收敛.1.判断下列级数是否收敛判断下列级数是否收敛.如果是收敛级数如果是收敛级数,指出是绝对收敛指出是绝对收敛?还是条件收敛还是条件收敛?818181高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD则原级数绝对收敛则原级数绝对收敛.1.判断下列级数是否收敛判断下列级数是否收敛.如果是收敛级数如果是收敛级数,指出是绝对收敛指出是绝对收敛?还是条件收敛还是条件收敛?828282高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD则原级数发散则原级数发散.1.判断下列级数是否收敛判断下列级数是否收敛.如果是收敛级数如果是收敛级数,指出是绝对收敛指出是绝对收敛?还是条件收敛还是条件收敛?838383高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD (二二二二)幂级数及其收敛域幂级数及其收敛域幂级数及其收敛域幂级数及其收敛域定义定义定义定义:的级数称为的级数称为幂级数幂级数幂级数幂级数.其中常数其中常数 称为幂级数的系数称为幂级数的系数,形如形如显然显然,幂级数的定义域为幂级数的定义域为显然是幂级数的收敛点显然是幂级数的收敛点.848484高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 幂级数是函数项级数中最常见最简单的一种幂级数是函数项级数中最常见最简单的一种,定理定理定理定理1 1 1 1（阿贝尔定理）（阿贝尔定理）（阿贝尔定理）（阿贝尔定理）其收敛域如何其收敛域如何?在收敛域内在收敛域内,和函数如何求和函数如何求?858585高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂.(1)说明：说明：发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛发散发散868686高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD收敛半径收敛半径收敛半径收敛半径,记为记为 R R.(2)在收敛域与发散域之间的分界点在收敛域与发散域之间的分界点上上,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散,发发 散散发发 散散收收 敛敛878787高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD推论推论推论推论:也不是在整个数轴上都收敛也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定则必有一个完全确定的正数的正数 R 存在存在,使得使得：888888高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD则则 R=0,收敛区间收敛区间收敛区间收敛区间,收敛域收敛域收敛域收敛域为为四种情况之一四种情况之一.898989高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD如果幂级数如果幂级数在在处条件收敛处条件收敛,那么该幂级数的收敛半径为多少那么该幂级数的收敛半径为多少?思考：思考：909090高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD若若:919191高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD求下列幂级数的收敛半径与收敛区间求下列幂级数的收敛半径与收敛区间.解解解解:由定理由定理 2：例例例例:1.929292高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:939393高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:949494高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:所以所以 R=1,收敛区间为收敛区间为959595高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD（三）（三）（三）（三）幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质 1)加减法加减法1.1.1.代数运算代数运算代数运算代数运算代数运算代数运算969696高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD柯西乘积柯西乘积979797高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD2)乘法乘法(柯西乘积柯西乘积)989898高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD2.2.分析运算分析运算分析运算分析运算 逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径的收敛半径,但在端点处敛散性可能会改变但在端点处敛散性可能会改变.999999高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD (反复用上述结论反复用上述结论,可知可知 S(x)在收敛域内有在收敛域内有任意阶导数任意阶导数)逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径收敛半径,但在端点处敛散性可能会改变但在端点处敛散性可能会改变.100100100高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 用用逐项求导逐项求导逐项求导逐项求导或或逐项积分逐项积分逐项积分逐项积分的方法的方法,可可求得一些级数在收敛区间内的求得一些级数在收敛区间内的和函数和函数和函数和函数.101101101高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD求下列幂级数的收敛区间与和函数求下列幂级数的收敛区间与和函数:解解解解:不必先求收敛区间不必先求收敛区间,在求和函数的过程在求和函数的过程中中可求得收敛区间可求得收敛区间.先逐项求导先逐项求导:102102102高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD103103103高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD先逐项积分先逐项积分:解解解解:104104104高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 可见可见可见可见,关键在于求导或积分后所得的幂级关键在于求导或积分后所得的幂级关键在于求导或积分后所得的幂级关键在于求导或积分后所得的幂级数能写出和函数数能写出和函数数能写出和函数数能写出和函数.105105105高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题 7 4(第第186页页)1(1,2,5),3(1,2)106106106高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD习题习题习题习题习题习题 7 4 (7 4 (7 4 (第第第第第第 186 186 186 页页页页页页)1.求下列级数的收敛域求下列级数的收敛域:107107107高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD3.求下列级数的收敛区间及和函数求下列级数的收敛区间及和函数:108108108高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD五、五、五、五、函数展开为幂级数函数展开为幂级数函数展开为幂级数函数展开为幂级数109109109高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD （一）泰勒一）泰勒(Taylor)级数级数110110110高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD展开到展开到 n 阶阶拉格朗日拉格朗日型余项型余项.111111111高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 定义定义定义定义:若若 在在 处有任意阶导数处有任意阶导数,则称则称：问题问题：1)上述级数的收敛域是什么上述级数的收敛域是什么?2)在收敛域上在收敛域上,其和函数是否为其和函数是否为 f(x)?3)把把 f(x)展开成幂级数是否就是上述形式展开成幂级数是否就是上述形式?或者说把或者说把 f(x)展开成幂级数形式是否唯一展开成幂级数形式是否唯一?112112112高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD定理定理定理定理1:1:证明证明证明证明:113113113高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD114114114高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD定理定理定理定理2:2:(唯一性定理唯一性定理唯一性定理唯一性定理)若若 f(x)可以在可以在 x0 的某邻域内展开为幂级数的某邻域内展开为幂级数,则这样的幂级数只能是泰勒级数则这样的幂级数只能是泰勒级数.115115115高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD116116116高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD（二）函数展开成幂级数（二）函数展开成幂级数（二）函数展开成幂级数（二）函数展开成幂级数117117117高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD118118118高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 例例:将下列函数展开成将下列函数展开成 x 的幂级数的幂级数.解解解解:于是得级数于是得级数易得收敛半径为易得收敛半径为119119119高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD120120120高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD121121121高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:例例:将下列函数展开成将下列函数展开成 x 的幂级数的幂级数.122122122高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD123123123高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD由此可求得由此可求得由此可求得由此可求得:124124124高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD2.间接法间接法 用直接法计算量很大用直接法计算量很大用直接法计算量很大用直接法计算量很大,还要考虑余项还要考虑余项还要考虑余项还要考虑余项 ,由于幂级数的展开式是唯由于幂级数的展开式是唯由于幂级数的展开式是唯由于幂级数的展开式是唯一的一的一的一的,所以现在所以现在所以现在所以现在利用一些已知函数的展开利用一些已知函数的展开利用一些已知函数的展开利用一些已知函数的展开式及幂级数的运算性质间接得到其它一些式及幂级数的运算性质间接得到其它一些式及幂级数的运算性质间接得到其它一些式及幂级数的运算性质间接得到其它一些函数的展开式函数的展开式函数的展开式函数的展开式.这就是间接法这就是间接法这就是间接法这就是间接法.125125125高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD我们已掌握了以下函数的幂级数展开式我们已掌握了以下函数的幂级数展开式:126126126高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD127127127高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD展开式展开式.解解解解:128128128高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:129129129高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD130130130高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:131131131高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:即展开成即展开成 x 1 的幂级数的幂级数.132132132高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD同时成立同时成立,133133133高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题 7 5(第第191页页)1(3),3