结构的稳定分析修改.pptx

第第11章章 结构的稳定分析结构的稳定分析东南大学东南大学东南大学东南大学-结构力学课程组制作结构力学课程组制作结构力学课程组制作结构力学课程组制作工程中的工程中的“失稳失稳”现象现象11.1 稳定问题的基本概念稳定问题的基本概念11.1.1 三种不同性质的平衡三种不同性质的平衡设体系受到微小干扰后偏离平衡状态，按照干扰撤设体系受到微小干扰后偏离平衡状态，按照干扰撤销后体系的不同销后体系的不同“表现表现”，体系平衡可分为三种：，体系平衡可分为三种：稳定平衡稳定平衡：干扰撤销后，体系能自动恢复原有平衡：干扰撤销后，体系能自动恢复原有平衡状态；状态；随遇平衡随遇平衡(中性平衡中性平衡)：干扰撤销后，体系不能自动：干扰撤销后，体系不能自动恢复原有平衡状态，但能在新状态下保持平衡；恢复原有平衡状态，但能在新状态下保持平衡；不稳定平衡不稳定平衡：干扰撤销后，体系不能自动地恢复原：干扰撤销后，体系不能自动地恢复原有平衡状态，也不能在新状态下保持平衡。有平衡状态，也不能在新状态下保持平衡。平衡状态对应平衡状态对应着势能的驻值着势能的驻值势能势能增加增加势能势能不变不变势能势能减小减小无论从哪个角度看，随遇平衡状态都无论从哪个角度看，随遇平衡状态都是介于稳定平衡状态和不稳定平衡状态是介于稳定平衡状态和不稳定平衡状态之间的一种过渡状态，或之间的一种过渡状态，或临界状态临界状态。11.1 稳定问题的基本概念稳定问题的基本概念11.1.1 三种不同性质的平衡三种不同性质的平衡轴压轴压压弯压弯欧拉临界荷载欧拉临界荷载由材料力学知：由材料力学知：p FPFPcr：轴压杆在受干扰后转入压弯状态，轴压杆在受干扰后转入压弯状态，在干扰撤销后不但不能返回原来的状态，而且在干扰撤销后不但不能返回原来的状态，而且还将继续产生更大的弯曲变形，因此是还将继续产生更大的弯曲变形，因此是不稳定不稳定平衡状态；平衡状态；pFP=FPcr，压杆在受干扰后转入压弯状态，在压杆在受干扰后转入压弯状态，在干扰撤销后仍将维持这个状态，因此是干扰撤销后仍将维持这个状态，因此是随遇平随遇平衡状态。衡状态。11.1 稳定问题的基本概念稳定问题的基本概念11.1.2 三类不同形式的失稳三类不同形式的失稳失稳：失稳：荷载达到某一数值时，体系荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态。由稳定平衡状态转变为不稳定状态。分支点失稳分支点失稳(第一类失稳第一类失稳)：p 失稳前失稳前(0FPFPcr)：压杆保持直线状态，平衡压杆保持直线状态，平衡是稳定的，在此阶段中无论荷载为何值均有是稳定的，在此阶段中无论荷载为何值均有=0，FP-曲线与竖轴重合，即图中的曲线与竖轴重合，即图中的OA段段。p 失稳后失稳后(FPFPcr)：压杆在理论上仍可保持直线压杆在理论上仍可保持直线状态，状态，=0，FP-曲线达到曲线达到A点后沿路径点后沿路径1继续上继续上升。但这时平衡是不稳定的，任何微小干扰都可升。但这时平衡是不稳定的，任何微小干扰都可能使压杆弯曲变形能使压杆弯曲变形0且且随荷载的增大而增大，随荷载的增大而增大，FP-曲线沿图中的路径曲线沿图中的路径2即弧线即弧线AB前进。前进。结构变形在荷载达到临界结构变形在荷载达到临界值前后发生性质上的突变值前后发生性质上的突变理想或理想或完善体系完善体系11.1 稳定问题的基本概念稳定问题的基本概念11.1.2 三类不同形式的失稳三类不同形式的失稳非完善体系非完善体系 当荷载较小时（曲线的当荷载较小时（曲线的OA段），段），随荷载的增随荷载的增大而非线性增长，当荷载达到某一个大而非线性增长，当荷载达到某一个临界值临界值FPcr时，时，曲线出现一个曲线出现一个极值点极值点（图中（图中A点），此时荷载不但点），此时荷载不但不能继续增加，而且如果稍加干扰，即便减小荷载，不能继续增加，而且如果稍加干扰，即便减小荷载，杆件的挠度也仍要继续增长，如图中曲线的杆件的挠度也仍要继续增长，如图中曲线的AB段段所示。所示。极值点失稳极值点失稳(第二类失稳第二类失稳)：结构的变形在荷载达到临界值结构的变形在荷载达到临界值后后并不发生性质上的突变，只并不发生性质上的突变，只是原有变形的迅速增长。是原有变形的迅速增长。11.1 稳定问题的基本概念稳定问题的基本概念 跳跃失稳的特点：跳跃失稳的特点：结构的变形在荷载达到临界值前后发生结构的变形在荷载达到临界值前后发生性质上的突变，并且在临界点处结构位移的变化是不连续的。性质上的突变，并且在临界点处结构位移的变化是不连续的。由于跳跃失稳的由于跳跃失稳的FP-曲线在临界点之后理论上存在两条不同的曲线在临界点之后理论上存在两条不同的路径，我们将它视为一种路径，我们将它视为一种特殊形式的分支点失稳。特殊形式的分支点失稳。由于结构的几何形状在失稳由于结构的几何形状在失稳过程中发生激烈的改变，跳过程中发生激烈的改变，跳跃失稳必须严格加以避免。跃失稳必须严格加以避免。11.1.2 三类不同形式的失稳三类不同形式的失稳跳跃失稳跳跃失稳11.1 稳定问题的基本概念稳定问题的基本概念11.1.3 两种不同精度的稳定理论两种不同精度的稳定理论y+2y=0M(x)=FPy=-EIyEI通解为：通解为：y=C1sinx+C2cosx其中其中2=FP/EI边界条件边界条件：yx=0=yx=l=0可得：可得：sinl=0，C2=0FPcr=2 EI/l2小挠度理论小挠度理论大挠度理论大挠度理论 对完善体对完善体系分支点失稳，系分支点失稳，两种理论得到两种理论得到的临界荷载一的临界荷载一致。致。11.2 用静力法求临界荷载用静力法求临界荷载静力法静力法:假定体系处于失稳的临界状态，列出平衡方程求解临界荷载。假定体系处于失稳的临界状态，列出平衡方程求解临界荷载。能量法能量法:临界状态的能量特征是体系的势能为驻值，据此求出临界荷载。临界状态的能量特征是体系的势能为驻值，据此求出临界荷载。稳定自由度稳定自由度 在稳定计算中，一个体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的在稳定计算中，一个体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的独立几何参数的数目，称为稳定自由度。独立几何参数的数目，称为稳定自由度。P1个自由度个自由度PP2个自由度个自由度无限自由度无限自由度11.2 用静力法求临界荷载用静力法求临界荷载例例11-1 图中所示结构由两根刚性杆组成，两图中所示结构由两根刚性杆组成，两个弹性支座的刚度系数分别为个弹性支座的刚度系数分别为k1=k，k2=0.5k。试用静力法求临界荷载。试用静力法求临界荷载。2个自由度个自由度考虑杆件考虑杆件AB和和BC对结点对结点B的力矩的力矩F2Pcr-2kl FPcr+0.5k2l2=0或或特征方程特征方程稳定方程稳定方程最小的为实最小的为实际临界荷载际临界荷载例例11-2 图示一压杆，抗弯刚度为图示一压杆，抗弯刚度为EI，下端固定，上端弹性支座，下端固定，上端弹性支座的刚度系数为的刚度系数为k。试用静力法求临界荷载。试用静力法求临界荷载。11.2 用静力法求临界荷载用静力法求临界荷载无限自由度无限自由度FPcr(-y)-k(l-x)=EIy令令2=FPcr/EI，=k/EI，由上式可得，由上式可得y+2y=2-(l-x)y=C1sinx+C2cosx+1-(l-x)/2 微分方程通解；微分方程通解；边界条件：边界条件：yx=0=yx=0=0 yx=l=11.2 用静力法求临界荷载用静力法求临界荷载无限自由度无限自由度tanl=l-3/特征方程特征方程稳定方程稳定方程令令l=utan u=u-u3/(l3)例例11-2 图示一压杆，抗弯刚度为图示一压杆，抗弯刚度为EI，下端固定，上端弹性支座，下端固定，上端弹性支座的刚度系数为的刚度系数为k。试用静力法求临界荷载。试用静力法求临界荷载。在在u-y平面上作函数平面上作函数y=tanu和和y=u-u3/(l3)的曲线，由的曲线，由两组曲线交点的最小值可求得临界荷载精确解。两组曲线交点的最小值可求得临界荷载精确解。11.2 用静力法求临界荷载用静力法求临界荷载k=k=0(FPcr)min例例11-2 图示一压杆，抗弯刚度为图示一压杆，抗弯刚度为EI，下端固定，上端弹性支座，下端固定，上端弹性支座的刚度系数为的刚度系数为k。试用静力法求临界荷载。试用静力法求临界荷载。F FP PlF FP Pk三类弹簧支座的弹性三类弹簧支座的弹性压杆的稳定方程压杆的稳定方程F FP Pl11.2 用静力法求临界荷载用静力法求临界荷载转动弹簧转动弹簧11.2 用静力法求临界荷载用静力法求临界荷载对于刚架结构，当结构对于刚架结构，当结构中中仅有某一根杆件承受外仅有某一根杆件承受外部轴压荷载时部轴压荷载时，可简化为，可简化为带弹簧的弹性压杆计算：带弹簧的弹性压杆计算：F FP PlF FP P简化简化1 1F FP PllF FP P简化简化 反映其它杆件对受荷载反映其它杆件对受荷载杆件失稳弯曲的约束情况杆件失稳弯曲的约束情况F FP PlF FP Pk简化简化11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载临界状态的能量特征是临界状态的能量特征是体系的势能为驻值体系的势能为驻值 若以若以U表示体系的新状态相对于原平衡状态的表示体系的新状态相对于原平衡状态的应变能应变能，以，以W表表示荷载在体系从原有状态转到新状态的过程中示荷载在体系从原有状态转到新状态的过程中所作的功所作的功，则，则-W就就是是荷载的势能荷载的势能，因此，因此结构的总势能为结构的总势能为：=U-W势能的驻值条件可以表达为：势能的驻值条件可以表达为：=0 N个自由度体系的变形曲线应为个自由度体系的变形曲线应为N个参数个参数(yi)的函数，因此的函数，因此体系总势能也应为体系总势能也应为N个参数的函数个参数的函数:其展开式是其展开式是yi的线性方程组的线性方程组(方程系数中方程系数中含含FP)，由系数矩阵行列式不为零，可，由系数矩阵行列式不为零，可列出特征方程，求出列出特征方程，求出P的的n个根，临界荷个根，临界荷载则为最小的根。载则为最小的根。11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载p 有限自由度的结构可用若干弹簧有限自由度的结构可用若干弹簧和刚性杆件组成的体系来表示。和刚性杆件组成的体系来表示。p 结构几何形态的变化是通过刚性结构几何形态的变化是通过刚性杆的移动、转动和弹簧的变形来实杆的移动、转动和弹簧的变形来实现的。现的。p 杆的转动引起杆的转动引起杆在原始轴线上的杆在原始轴线上的投影长度的变化投影长度的变化从而使荷载作功；从而使荷载作功；p 弹簧的变形引起应变能的改变弹簧的变形引起应变能的改变。荷载所做的功为：荷载所做的功为：小挠度理论小挠度理论11.3.1 用能量法求有限自由度体系的临界荷载用能量法求有限自由度体系的临界荷载11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载11.3.1 用能量法求有限自由度体系的临界荷载用能量法求有限自由度体系的临界荷载弹簧的应变能为：弹簧的应变能为：荷载的势能为：荷载的势能为：结构的总势能为结构的总势能为势能势能驻值驻值与静力法结果一致与静力法结果一致11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载用能量法求无限自由度体系的临界荷载p 将位移函数表示为有限个已知函将位移函数表示为有限个已知函数的线性组合，将数的线性组合，将无限自由度体系无限自由度体系化为有限自由度体系化为有限自由度体系。i(x)（i=1,2,，n）为）为形状函数形状函数：满足位移边界条件满足位移边界条件(几何边界条件几何边界条件)的已知函数；的已知函数；ci（i=1,2,，n）为一组）为一组相互独立相互独立的参数的参数1）应变能）应变能只考虑弯曲应变能只考虑弯曲应变能11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载用能量法求无限自由度体系的临界荷载11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载荷载的势能为：荷载的势能为：2）荷载的势能）荷载的势能11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载用能量法求无限自由度体系的临界荷载11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载3）总势能）总势能势能势能驻值驻值以上方法称为瑞利以上方法称为瑞利-里兹法。里兹法。如果如果n个个i(x)的线性组合能给出与最小临界荷载相应的的位移函数，则瑞利的线性组合能给出与最小临界荷载相应的的位移函数，则瑞利-里兹法可得出最小临界荷载的准确值。在一般情况下，所选择的形状函数无里兹法可得出最小临界荷载的准确值。在一般情况下，所选择的形状函数无论怎样组合也得不出与最小临界荷载相应的的位移函数，这就相当于论怎样组合也得不出与最小临界荷载相应的的位移函数，这就相当于给结构给结构引进了附加约束引进了附加约束，使它不可能发生这样的位移，这时用，使它不可能发生这样的位移，这时用瑞利瑞利-里兹法只能得出里兹法只能得出最小临界荷载的上限。最小临界荷载的上限。11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载用能量法求无限自由度体系的临界荷载11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载例例11-3 试用能量法求图试用能量法求图11.15所示压杆的最小临界荷载。所示压杆的最小临界荷载。形函数满足的位移边界条件：形函数满足的位移边界条件：(y)x=0=0；(y)x=0=0 抛物线抛物线设失稳时的位移函数为：设失稳时的位移函数为：y=c1x2=i(x)势能势能驻值驻值c10FPcr=3EI/l211.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载用能量法求无限自由度体系的临界荷载11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载例例11-3 试用能量法求图试用能量法求图11.15所示压杆的最小临界荷载。所示压杆的最小临界荷载。横向荷载下的变形曲线横向荷载下的变形曲线设失稳时的位移函数为：设失稳时的位移函数为：y=c1x2（3l-x）杆在自由端受杆在自由端受横向集中力作横向集中力作用的变形曲线用的变形曲线势能势能驻值驻值c10FPcr=2.5EI/l211.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载用能量法求无限自由度体系的临界荷载11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载例例11-3 试用能量法求图试用能量法求图11.15所示压杆的最小临界荷载。所示压杆的最小临界荷载。三角函数曲线三角函数曲线势能势能驻值驻值c10最小临界荷最小临界荷载的准确值载的准确值 三角函数是真实失稳形式三角函数是真实失稳形式，因而能够得到，因而能够得到准确解准确解；横向荷载下的变形曲线与真实的失稳形式十分接近，相横向荷载下的变形曲线与真实的失稳形式十分接近，相应的最小应的最小临界荷载误差只有临界荷载误差只有1.3%；抛物线与真实的失稳形式相去甚远抛物线与真实的失稳形式相去甚远，如果将相应的荷载，如果将相应的荷载作为最小临界荷载的上限值，作为最小临界荷载的上限值，误差高达误差高达21.6%。11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载用能量法求无限自由度体系的临界荷载11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载例例11-4 图示一等厚度的变截面压杆，杆的横截面关于图示一等厚度的变截面压杆，杆的横截面关于z轴的轴的惯性矩随惯性矩随x变化的规律为：变化的规律为：已知杆失稳时在已知杆失稳时在xy平面内发生平面内发生弯曲，且变形曲线是对称的，弯曲，且变形曲线是对称的，试用能量法求最小临界荷载。试用能量法求最小临界荷载。根据杆的位移边界条根据杆的位移边界条件件(y)x=0=(y)x=l=0以及以及变形曲线对称的特点变形曲线对称的特点 下面分别在级数中下面分别在级数中仅取第一项仅取第一项和前两项和前两项进行讨论，在积分计进行讨论，在积分计算中算中考虑了对称的特点考虑了对称的特点。11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载用能量法求无限自由度体系的临界荷载11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载势能势能驻值驻值理论解理论解误差约误差约为为2.9 半波正弦曲线虽然半波正弦曲线虽然对于简支等截面压杆对于简支等截面压杆是真实的失稳形式，是真实的失稳形式，对于变截面杆却不是对于变截面杆却不是11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载用能量法求无限自由度体系的临界荷载11.3 用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载势能势能驻值驻值误差约误差约为为0.5