八年级数学二次根式知识总结、题型归纳.docx

知识总结与题型归纳
二次根式知识总结、题型归纳
八年级数学

二次根式知识点总结：
二次根式
a（a≥0）
概念
二次根式：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式
最简二次根式：
① 被开方数不含分母
② 被开方数中不含能开得尽方的因数和因式
同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式
性质
双重非负性
a a≥0
-a a＜0
（a）²=a（a≥0），a²= |a |=
a≥0，a≥0
基本性质

积的算术平方根
ab=a·b（a≥0，b≥0）
商的算术平方根
ab=ab（a≥0，b＞0）
运算
乘法法则
a·b=ab（a≥0，b≥0）
混合运算
除法法则
ab=ab（a≥0，b＞0）
加减运算
先化简成最简二次根式，再合并同类项
二次根式应注意：
1．二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.
(2) 注意每一步运算的运算法则；
2．二次根式的加减运算　
（1）先把二次根式化简，（2）再把同类二次根式系数相加减，被开方数不变运算。
3．二次根式的混合运算
（1）明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
（2）整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
4．简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
（1）因式的内移：因式内移时，若m˂0，则将负号留在根号外．即：mx= -m2x．
（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
ab a≥0
- ab a˂0

a2b=|a|b=
题型归纳：
类型一：利用二次根式的双重非负性解题（a（a≥0））
1、 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A、-5； B、x； C、x2+1； D、x-3
2、x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）x+3-3-2x （2） （3）
（4）-x - 1x+1 （5） (6) 2x+4x-2
（7）若，则x的取值范围是
（8）若，则x的取值范围是 。
3、若有意义，则m能取的最小整数值是 ；
若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
4、当x为何整数时，有最小整数值，这个最小整数值为 。
5、若，则=________；若，则
6、设m、n满足，则= 。
7、若适合关系式，求的值．
8、若三角形的三边a、b、c满足=0，则第三边c的取值范围是
9、已知的三边满足，则为
10、若，且时，则（ ）
A、　 B、 C、 D、
类型二：利用二次根式的性质（a2=|a|）
1、已知x3+3x2＝-xx+3，则（ ）
A、x≤0 B、x≤-3 C、x≥-3 D、-3≤x≤0
2、已知a<b，化简二次根式-a3b的正确结果是（ ）
A、-a-ab B、-aab C、aab D、a-ab

3、若化简|1-x|-x2-8x+16的结果为2x-5则（ ）
A、x为任意实数 B、1≤x≤4 C、x≥1 D、x≤4
4、已知a，b，c为三角形的三边，则(a+b-c)²+(b-c-a)²+(b+c-a)²=
5、当-3<x<5时，化简x²+6x+9+x²-10x+25=
6、化简|x-y|-x²（x＜y＜0）的结果是（ ）
A、y-2x B、y C、2x-y D、-y
7、已知：a+1-2a+a²=1，则a的取值范围是（ ）
A、a=0； B、a=1； C、a=0或1； D、a≤1
8、化简（x-2）-1x-2的结果为（ ）
A、2-x； B、x-2； C、-x-2 D、-2-x
类型三：二次根式的化简与计算（主要依据：（a）2=a（a≥0），即a²=|a|以及混合运算法则）
（一）化简与求值
1、把下列各式化成最简二次根式：
（1）338 （2）41²-40² （3）25m52 （4）x4+x²y²
2、下列哪些是同类二次根式：
（1）75，127，12，2，150，3，110； （2）5a³b³c，a³b²c³，abc4，aabc
3、计算下列各题：
（1）627·（-33） （2）12ab·9a³4； （3）4a5b6b3cc5a
（4）21824 （5）－123÷554 （6）2a²b²c÷（-abc³）
4、计算（1）23-313-8+1212+1550 （2）( 1x9x³+ 13y²y³ ) -（4x14x+4y25y³）
5、已知x2x+2x2+18x=10，则x等于（ 　 ）
A、4 B、±2 C、2 　 D、±4
6、化简求值：11+2+12+3+13+4+……+199+100
（二）先化简，后求值：
1、直接代入法：已知x=12(7+5)，y=12(7-5) 求(1)x²+y² (2)yx + xy
2、变形代入法：
（1）变条件：
①已知：x=23-1，求x²-x+1的值。
②已知：x=3-23+2，y=3+23-2求3x2－5xy+3y2的值。
③已知：15+x - 19+x =-2，求19+x +15+x的值。
（2）变结论：
①设=a，=b，则= 。
②已知：a + 1a=1+10，求a² + 1a²的值。
③已知：x=2-1，y=2+1，求x+y+3yx+xy+3xy的值。
④若x+y=5-3，xy=15-3，求x+y的值。
⑤已知x+y=5，xy=3，（1）求xy+yx的值 （2）求x-yx+y的值.
类型五：关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1、估算31-2的值在哪两个数之间（　　）
A、1～2 B、2～3 C、3～4 D、4～5
2、若3的整数部分是a，小数部分是b，则3a-b=
3、若a，b为有理数，且8+18+18=a+b2，则ba= .
4、已知9+13与9-13的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值。
类型六：二次根式的比较大小
1、比较下列二次根式的大小
（1） （2）－5 （3）
（4）设a=, ,, 则（ ）
A、 B、 C、 D、
类型七：实数范围内因式分解
1、9x2－5y2 2、4x4－4x2＋1 3、x4+x2－6
4、已知：x，y为实数，且y＜x-1+1-x+3，化简：。
5、已知的值。

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