文科一轮复习函数单调性与最值.pptx

第二节函数的单调性与最值【知【知识识梳理】梳理】1.1.增函数、减函数增函数、减函数增函数增函数减函数减函数定定义义一般地一般地,设设函数函数f(x)f(x)的定的定义义域域为为I,I,如果如果对对于定于定义义域域I I内某个区内某个区间间D D上的上的_两个自两个自变变量量x x1 1,x,x2 2当当x x1 1xx2 2时时,都有都有_,_,那么就那么就说说函数函数f(x)f(x)在区在区间间D D上上是增函数是增函数当当x x1 1xx2 2时时,都有都有_,_,那么就那么就说说函函数数f(x)f(x)在区在区间间D D上是减函上是减函数数任意任意f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2)增函数增函数减函数减函数图图象象2.2.单调单调性、性、单调单调区区间间的定的定义义若函数若函数y=f(x)y=f(x)在区在区间间D D上是上是_或或_,_,则则称函称函数数y=f(x)y=f(x)在在这这一区一区间间具有具有(严严格的格的)单调单调性性,区区间间D D叫做叫做函数函数y=f(x)y=f(x)的的单调单调区区间间.增函数增函数减函数减函数3.3.函数的最函数的最值值前提前提 设设函数函数y=f(x)y=f(x)的定的定义义域域为为I,I,如果存在如果存在实实数数M M满满足足条件条件(1)(1)对对于任意于任意xI,xI,都有都有_(2)(2)存在存在x x0 0I,I,使得使得f f(x(x0 0)=M)=M(1)(1)对对于任意于任意xI,xI,都都有有_(2)(2)存在存在x x0 0I,I,使得使得f(xf(x0 0)=M)=M结论结论M M为为最大最大值值M M为为最小最小值值f(x)Mf(x)Mf(x)Mf(x)M【特【特别别提醒】提醒】1.1.增函数、减函数定增函数、减函数定义义的的变变式式设设任意任意x x1 1,x,x2 2a,ba,b且且x x1 1x B.m B.m D.m D.m【解析】【解析】选选B.B.使使y=(2m-1)x+by=(2m-1)x+b在在R R上是减函数上是减函数,则则2m-10,2m-10(a0且且a1)a1)在在-1,-1,22上的最大上的最大值为值为4,4,最小最小值为值为m,m,且函数且函数g(x)=(1-4m)g(x)=(1-4m)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数,则则a=a=()【解析】【解析】选选B.B.当当a1a1时时,有有a a2 2=4,a=4,a-1-1=m,=m,此时此时a=2,m=,a=2,m=,此时此时g(x)=-g(x)=-为减函数为减函数,不符合题意不符合题意.当当0a10af(x),)f(x),则实则实数数x x的取的取值值范范围围是是.【解析】【解析】函数函数y=xy=x3 3在在(-,0(-,0上是增函数上是增函数,函数函数y=ln(x+1)y=ln(x+1)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数,且且x0 x0时时,ln(x+1)0,ln(x+1)0,所以所以f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数,由由f(2-xf(2-x2 2)f(x),)f(x),得得2-x2-x2 2x,x,解解得得-2x1,-2x0,a0,所以所以u=6-axu=6-ax为减函数为减函数,由题意知由题意知f(x)=logf(x)=loga au u为为增函数增函数,即即a1,a1,又又6-2a0,6-2a0,所以所以a3,a3,所以所以1a3.1a3.答案答案:(1,3)(1,3)考向一考向一判断函数的判断函数的单调单调性性(区区间间)【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016济济南模南模拟拟)函数函数y=f(x)(xR)y=f(x)(xR)的的图图象如象如图图所示所示,则则函数函数g(x)=f(logg(x)=f(loga ax)(0a1)x)(0a1)的的单调递单调递减区减区间间是是()(2)(2015(2)(2015上海高考改上海高考改编编)判断并判断并证证明函数明函数f(x)=axf(x)=ax2 2+(其中其中1a3)1a3)在在x1,2x1,2上的上的单调单调性性.【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据函数的图象根据函数的图象,利用复合函数的单利用复合函数的单调性的判断方法调性的判断方法,确定函数的单调递减区间确定函数的单调递减区间.(2)(2)利用定义法或导数法进行判断利用定义法或导数法进行判断.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.由图象知由图象知f(x)f(x)在在(-,0(-,0和和 上单调递减上单调递减,而在而在 上单调递增上单调递增.又因为当又因为当0a10a1时时,y=logy=loga ax x为为(0,+)(0,+)上的减函数上的减函数,所以要使所以要使g(x)=f(logg(x)=f(loga ax)x)单调递减单调递减,需要需要logloga ax x 即即0log0loga ax x 解得解得xx(2)(2)设设1x1x1 1xx2 222，则，则f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=)=由由1x1x1 1x00，2x2x1 1+x+x2 244，1x1x1 1x x2 244，又因为又因为1a31a3，所以所以2a(x2a(x1 1+x+x2 2)12)0)-0，从而从而f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0)0，即即f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1)，故当故当a(1,3)a(1,3)时，时，f(x)f(x)在在1,21,2上单调递增上单调递增.【一题多解】【一题多解】因为因为f(x)=f(x)=而而x1,2,x1,2,所以所以 又因为又因为a(1,3),a(1,3),所以所以22ax12,22ax0,f(x)0,故当故当a(1,3)a(1,3)时时,f(x),f(x)在在1,21,2上单调递增上单调递增.【母【母题变题变式】式】1.1.若将本例若将本例题题(1)(1)中的中的“0a1”0a1”,a1”,则则函数函数g(x)g(x)的的单调递单调递减区减区间间如何如何?【解析】【解析】由典例由典例1(1)1(1)解析知解析知,需需logloga ax0 x0或或logloga ax x 解得解得x1x1或或x x 又因为又因为x0,x0,所以单调递减区间为所以单调递减区间为(0,1,(0,1,2.2.在本例在本例题题(1)(1)中中,将所求将所求结论结论改改为为“若若f(x)f(x)在在a,+)a,+)上是减函数上是减函数,求求a a的取的取值值范范围围”.【解析】【解析】由图象知由图象知f(x)f(x)在在(-,0(-,0和和 上单调递上单调递减减,若若f(x)f(x)在在a,+)a,+)上是减函数上是减函数,则则a,+)a,+)所以所以 【规规律方法】律方法】1.1.求复合函数求复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的的单调单调区区间间的步的步骤骤(1)(1)确定函数的定确定函数的定义义域域.(2)(2)将复合函数分解成基本初等函数将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).y=f(u),u=g(x).(3)(3)分分别别确定确定这这两个函数的两个函数的单调单调区区间间.(4)(4)若若这这两个函数同增同减两个函数同增同减,则则y=f(g(x)y=f(g(x)为为增函数增函数;若若一增一减一增一减,则则y=f(g(x)y=f(g(x)为为减函数减函数,即即“同增异减同增异减”.2.2.利用定利用定义义法法证证明或判断函数明或判断函数单调单调性的步性的步骤骤(1)(1)取取值值:设设x x1 1,x,x2 2是定是定义义区区间间内的任意两个内的任意两个值值,且且x x1 1x0 x0时时,f(x)=3-x,f(x)=3-x为减函数为减函数;当当x x 时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-3x-3x为减函数为减函数,当当x x 时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-3x-3x为增函数为增函数;当当x(0,+)x(0,+)时时,f(x)=,f(x)=为增函数为增函数;当当x(0,+)x(0,+)时时,f(x)=-|x|,f(x)=-|x|为减函数为减函数.2.2.函数函数y=x-|1-x|y=x-|1-x|的的单调单调增区增区间为间为.【解析】【解析】y=x-|1-x|=y=x-|1-x|=作出该函数的图象如图所示作出该函数的图象如图所示,由图象可知由图象可知,该函数的单调增区间该函数的单调增区间是是(-,1.(-,1.答案答案:(-,1(-,13.3.判断并判断并证证明函数明函数f(x)=(f(x)=(其中其中a0)a0)在在x(-1,1)x(-1,1)上的上的单调单调性性.【解析】【解析】方法一方法一(定义法定义法):):设设-1x-1x1 1xx2 21,1,则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=因为因为-1x-1x1 1xx2 21,0,x0,x1 1x x2 2+10,(-1)(-1)0.+10,(-1)(-1)0.因此因此,当当a0a0时时,f(x,f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),此时函此时函数数f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)上为减函数上为减函数.方法二方法二(导数法导数法):):f(x)=f(x)=又因为又因为a0,a0,所以所以f(x)0,f(x)0,所以函数所以函数f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)上为上为减函数减函数.考向二考向二求函数的最求函数的最值值(值值域域)【典例【典例2 2】(1)(1)函数函数y=y=的最小的最小值为值为.(2)(2)函数函数y=y=的的值值域域为为.【解题导引】【解题导引】(1)(1)利用换元法求解利用换元法求解.(2)(2)采用分离变量法采用分离变量法,即将分子变为即将分子变为2(x2(x2 2-x+1)+1-x+1)+1的形式的形式,转化后求解转化后求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)令令 t0,t0,则则x=tx=t2 2+1,+1,所以所以y=ty=t2 2+t+1=+t+1=当当t0t0时时,由二次函数的性质可知由二次函数的性质可知,当当t=0t=0时时,y,yminmin=1.=1.答案答案:1 1(2)(2)因为因为x x2 2-x+1=-x+1=所以所以故值域为故值域为答案：答案：【一题多解】【一题多解】解答本例题解答本例题(2),(2),你知道几种解法你知道几种解法?解答本题解答本题,还有以下解法还有以下解法:去分母去分母,整理整理,得得(y-2)x(y-2)x2 2-(y-2)x+(y-3)=0.-(y-2)x+(y-3)=0.当当y2y2时时,上式可看成是关于上式可看成是关于x x的二次方程的二次方程.若方程有实根若方程有实根,则则=-(y-2)=-(y-2)2 2-4(y-2)(y-3)0,-4(y-2)(y-3)0,解得解得 当当y=2y=2时时,方程无解方程无解.所以函数的值域为所以函数的值域为 答案答案:【易【易错错警示】警示】解答本例解答本例题题(1)(1)会出会出现现以下以下错误错误:题题目利用目利用换换元法求函数的最小元法求函数的最小值值,易忽易忽视换视换元后元后t t的取的取值值范范围围,从而造成求出的函数最小从而造成求出的函数最小值缩值缩小而致小而致误误.【规规律方法】律方法】求函数最求函数最值值的五种常用方法的五种常用方法(1)(1)单调单调性法性法:先确定函数的先确定函数的单调单调性性,再由再由单调单调性求最性求最值值.(2)(2)图图象法象法:先作出函数的先作出函数的图图象象,再再观观察其最高点、最低察其最高点、最低点点,求出最求出最值值.(3)(3)基本不等式法基本不等式法:先先对对解析式解析式变变形形,使之具使之具备备“一正二一正二定三相等定三相等”的条件后用基本不等式求出最的条件后用基本不等式求出最值值.(4)(4)导导数法数法:先求先求导导,然后求出在然后求出在给给定区定区间间上的极上的极值值,最最后后结结合端点合端点值值,求出最求出最值值.(5)(5)换换元法元法:对对比比较较复复杂杂的函数可通的函数可通过换过换元元转转化化为为熟悉熟悉的函数的函数,再用相再用相应应的方法求最的方法求最值值.【变变式式训练训练】用用mina,b,cmina,b,c表示表示a,b,ca,b,c三个数中的最小三个数中的最小值值,则则函数函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的最大的最大值值是是.【解析】【解析】在同一坐标系中分别作出在同一坐标系中分别作出函数函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象的图象后后,取位于下方的部分得函数取位于下方的部分得函数f(x)f(x)=min4x+1,x+4,-x+8=min4x+1,x+4,-x+8的图象的图象,如图如图所示所示,由图象可知由图象可知,函数函数f(x)f(x)在在x=2x=2时取得最大值时取得最大值6.6.答案答案:6 6【加固【加固训练训练】1.1.函数函数f(x)=f(x)=的最大的最大值为值为.【解析】【解析】当当x1x1时时,函数函数f(x)=f(x)=为减函数为减函数,所以所以f(x)f(x)在在x=1x=1处取得最大值处取得最大值,为为f(1)=1;f(1)=1;当当x1x1时时,易知函数易知函数f(x)=f(x)=-x-x2 2+2+2在在x=0 x=0处取得最大值处取得最大值,为为f(0)=2.f(0)=2.故函数故函数f(x)f(x)的最大值为的最大值为2.2.答案答案:2 22.2.对对于任意于任意实实数数a,b,a,b,定定义义mina,b=mina,b=设设函数函数f(x)=-x+3,g(x)=logf(x)=-x+3,g(x)=log2 2x,x,则则函数函数h(x)=minf(x),g(x)h(x)=minf(x),g(x)的最大的最大值值是是.【解析】【解析】依题意依题意,h(x)=,h(x)=当当0 x202x2时时,h(x)=3-x,h(x)=3-x是减函数是减函数,所以所以h(x)h(x)在在x=2x=2时取得最大值时取得最大值h(2)=1.h(2)=1.答案答案:1 13.3.已知已知f(x)=x1,+).f(x)=x1,+).(1)(1)当当a=a=时时,求函数求函数f(x)f(x)的最小的最小值值.(2)(2)若若对对任意任意x1,+),f(x)0 x1,+),f(x)0恒成立恒成立,试试求求实实数数a a的的取取值值范范围围.【解析】【解析】(1)(1)当当a=a=时，时，f(x)=f(x)=任取任取1x1x1 1x x2 2，则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=(x)=(x1 1-x-x2 2)+)+因为因为1x1x1 1x x2 2，所以，所以x x1 1x x2 21 1，2x2x1 1x x2 2-1-10.0.又因为又因为x x1 1-x-x2 20 0，所以，所以f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)，所以所以f(x)f(x)在在1 1，+)+)上是增函数，上是增函数，所以所以f(x)f(x)在在1 1，+)+)上的最小值为上的最小值为f(1)=f(1)=(2)(2)在区间在区间1 1，+)+)上，上，f(x)=f(x)=0 0恒成立，恒成立，则则 等价于等价于a a大于函数大于函数(x)=-(x(x)=-(x2 2+2x)+2x)在在1 1，+)+)上的最大值上的最大值.只需求函数只需求函数(x)=-(x(x)=-(x2 2+2x)+2x)在在1 1，+)+)上的最大值上的最大值.(x)=-(x+1)(x)=-(x+1)2 2+1+1在在1 1，+)+)上递减，上递减，所以当所以当x=1x=1时，时，(x)(x)最大值为最大值为(1)=-3.(1)=-3.所以所以a a-3-3，故实数，故实数a a的取值范围是的取值范围是(-3(-3，+).+).考向三考向三函数函数单调单调性的性的应应用用【考情快【考情快递递】命命题题方向方向命命题视题视角角比比较较函数函数值值或或自自变变量的大小量的大小主要考主要考查查利用函数的利用函数的单调单调性确定相性确定相应应函数函数值值的大小关系的大小关系,属容易属容易题题解函数不等式解函数不等式以不等式以不等式为载为载体体,考考查查利用函数的利用函数的单单调调性将含性将含“f”f”符号的不等式符号的不等式转转化化为为一般一般不等式不等式求参数的求参数的值值或或取取值值范范围围考考查结查结合函数的合函数的单调单调性确定参数的取性确定参数的取值值范范围围,属中档属中档题题【考【考题题例析】例析】命命题题方向方向1:1:比比较较函数函数值值或自或自变变量的大小量的大小【典例【典例3 3】(2016(2016衡阳模衡阳模拟拟)已知函数已知函数f(x)=logf(x)=log2 2x+x+若若x x1 1(1,2),x(1,2),x2 2(2,+),(2,+),则则()A.f(xA.f(x1 1)0,f(x)0,f(x2 2)0)0B.f(xB.f(x1 1)0,f(x)0)0C.f(xC.f(x1 1)0,f(x)0,f(x2 2)0)0,f(x)0,f(x2 2)0)0【解题导引】【解题导引】先判断先判断f(x)f(x)的单调性的单调性,再应用单调性比较再应用单调性比较大小大小.【规范解答】【规范解答】选选B.B.因为因为f(x)f(x)在在(1,+)(1,+)上是增函数上是增函数,且且f(2)=f(2)=又又x x1 1(1,2),(1,2),所以所以f(xf(x1 1)f(2)=0;)f(2)=0.)f(2)=0.命命题题方向方向2:2:解函数不等式解函数不等式【典例【典例4 4】(2016(2016滨滨州模州模拟拟)f(x)f(x)是定是定义义在在(0,+)(0,+)上的上的单调单调增函数增函数,满满足足f(xy)=f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,f(x)+f(y),f(3)=1,当当f(x)+f(x-8)2f(x)+f(x-8)2时时,x,x的取的取值值范范围围是是()A.(8,+)B.(8,9 C.8,9 D.(0,8)A.(8,+)B.(8,9 C.8,9 D.(0,8)【解题导引】【解题导引】将将f(x)+f(x-8)2f(x)+f(x-8)2变为变为f(x(x-f(x(x-8)f(9),8)f(9),利用函数的单调性求解利用函数的单调性求解.【规范解答】【规范解答】选选B.B.因为因为2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由由f(x)f(x)+f(x-8)2,+f(x-8)2,可得可得f(x(x-8)f(9),f(x(x-8)f(9),因为因为f(x)f(x)是定义在是定义在(0,+)(0,+)上的增函数上的增函数,所以有所以有 解得解得8x9.8x9.命命题题方向方向3:3:求参数的求参数的值值或取或取值值范范围围【典例【典例5 5】(2016(2016烟台模烟台模拟拟)已知已知f(x)=f(x)=满满足足对对任意任意x x1 1xx2 2,都有都有 成立成立,则实则实数数a a的取的取值值范范围为围为.【解题导引】【解题导引】先由先由 判断判断f(x)f(x)在在R R上的单调性上的单调性,再根据再根据f(x)f(x)的单调性构建实数的单调性构建实数a a的不等式组求解的不等式组求解.【规范解答】【规范解答】由由 知函数知函数f(x)f(x)是是R R上的上的增函数，增函数，于是有于是有 解得解得所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是答案：答案：【技法感悟】【技法感悟】函数函数单调单调性性应应用用问题问题的常的常见类见类型及解型及解题题策略策略(1)(1)比比较较大小大小.比比较较函数函数值值的大小的大小,应应将自将自变变量量转转化到同化到同一个一个单调单调区区间间内内,然后利用函数的然后利用函数的单调单调性解决性解决.(2)(2)解不等式解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式在求解与抽象函数有关的不等式时时,往往往往是利用函数的是利用函数的单调单调性将性将“f”f”符号脱掉符号脱掉,使其使其转转化化为为具体具体的不等式求解的不等式求解.此此时应时应特特别别注意函数的定注意函数的定义义域域.(3)(3)利用利用单调单调性求参数性求参数.视视参数参数为为已知数已知数,依据函数的依据函数的图图象或象或单调单调性定性定义义,确确定函数的定函数的单调单调区区间间,与已知与已知单调单调区区间间比比较较求参数求参数;需注意若函数在区需注意若函数在区间间a,ba,b上是上是单调单调的的,则该则该函数在函数在此区此区间间的任意子集上也是的任意子集上也是单调单调的的.【题组题组通关】通关】1.(20161.(2016泰安模泰安模拟拟)已知函数已知函数f(x)f(x)是定是定义义在在0,+)0,+)上上的增函数的增函数,则满则满足足f(2x-1)f()f(2x-1)g(1),g(lgx)g(1),则则x x的取的取值值范范围围是是()A.(0,10)B.(10,+)A.(0,10)B.(10,+)C.(,10)D.(0,)(10,+)C.(,10)D.(0,)(10,+)【解析】【解析】选选C.C.因为因为g(lgx)g(1),g(x)=-f(|x|),g(lgx)g(1),g(x)=-f(|x|),所以所以-f(|lgx|)-f(1),-f(|lgx|)-f(1),所以所以f(|lgx|)f(1).f(|lgx|)f(1).又因为又因为f(x)f(x)在在0,+)0,+)上是增函数上是增函数,所以所以|lgx|1,|lgx|1,所以所以-1lgx1,-1lgx1,所以所以 x10.x10.