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2022届高考数学一轮复习 第二章 2.2 函数的单调性与最值学案

2022届高考数学一轮复习 第二章 2.2 函数的单调性与最值学案

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第二节　函数的单调性与最值

【知识重温】
一、必记2个知识点
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有①________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；
当x1<x2时，都有②________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

图象描述

自左向右看图象是③________

自左向右看图象是④________
注：定义的两种形式
设x1，x2∈D且x1<x2，若>0⇔(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(x)为增函数；若<0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)为减函数．
(2)单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是⑤________或⑥________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的⑦________.
(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当⑧________时，f(x)在区间D上为增函数；当⑨________时，f(x)在区间D上为减函数．
(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，否则为减函数．简称“同增异减”．
2．函数的最值
(1)函数最值的定义

前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有⑩________；
(2)存在x0∈I，使得⑪________.
(1)对于任意的x∈I，都有⑫________；
(2)存在x0∈I，使得⑬________.
结论
M是y＝f(x)的最大值
M是y＝f(x)的最小值
(2)两条结论：①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；②区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、必明2个易误点
1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“，”“和”．
2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　)
(2)函数y＝的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(3)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　)
(5)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　　)
二、教材改编
2．已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为(　　)
A．3　B．1
C．2 D．4
3．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k的取值范围是________________．

三、易错易混
4．函数f(x)＝的单调减区间为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)，(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
5．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值是________．
四、走进高考
6．[2019·北京卷]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ B．y＝2－x
C．y＝ D．y＝

　确定函数的单调性(区间)
[分层深化型]
考向一：判断函数的单调性
1．判断函数y＝的单调性．

考向二：利用函数图象求函数的单调区间
2．求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
考向三：求复合函数的单调区间
3．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

　悟·技法
1.确定函数单调性(区间)的三种常用方法
(1)定义法：一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．
(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．
2．熟记函数单调性的三个常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.
考点二　求函数的最值(值域)[自主练透型]
4．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A. B．－
C．－2 D．2
5．函数y＝x－的最小值为________．
6．函数y＝的值域为________．
　悟·技法
求函数的最值(值域)的常用方法
(1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值．
(2)换元法：求形如y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．
(4)有界性法：利用代数式的有界性(如x2≥0，≥0,2x>0，－1≤sin x≤1等)确定函数的值域．
(5)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法.

考点三　函数单调性的应用[分层深化型]
考向一：比较函数值的大小
[例1]　[2021·郑州模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，若a＝f(－1)，b＝f，c＝f(20.3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c<b<a B．a<c<b
C．b<c<a D．a<b<c

考向二：解不等式
[例2]　已知函数f(x)＝则不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是(　　)
A．(0，－1) B．(－1，＋1)
C．(0，＋1) D．(－1，－1)

考向三：求参数的值或取值范围
[例3]　[2021·黑龙江哈工大附中月考]若函数f(x)＝在其定义域上为增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4,8) B．[4,8)
C．(1，＋∞) D．(1,8)
听课笔记：

悟·技法
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
②需注意：若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

[同类练]——(着眼于触类旁通)
1．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为(　　)
A．f(b)<f(a)<f(c) B．f(c)<f(b)<f(a)
C．f(c)<f(a)<f(b) D．f(b)<f(c)<f(a)
2．已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集为________．
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．已知函数f(x)＝对于任意x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3] B．(1,3) C．(1,2] D．(1,2)
4．[2021·广州模拟]已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x∈[－2,1]时，f(x)＝x2－2x－4，则关于x的不等式f(x)<－1的解集为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，3)
C．(－1,3) D．(－1，＋∞)

[拓展练]——(着眼于迁移应用)
5．[2021·贵阳市高三摸底]函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．a＝－3 B．a<3
C．a≤－3 D．a≥－3
6．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c

第二节　函数的单调性与最值
【知识重温】
①f(x1)<f(x2)　②f(x1)>f(x2)　③上升的　④下降的　⑤增函数　⑥减函数　⑦单调区间　⑧f′(x)>0　⑨f′(x)<0　⑩f(x)≤M　⑪f(x0)＝M　⑫f(x)≥M　⑬f(x0)＝M
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
(5)√
2．解析：由函数单调性的定义可知函数f(x)＝在x∈[2,6]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝2.故选C.
答案：C
3．解析：函数f(x)为二次函数，对称轴为直线x＝.
当≤5，即k≤40时，f(x)在[5,20]上单调递增；
当≥20，即k≥160时，f(x)在[5,20]上单调递减；
综上可知，k的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞)．
答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)
4．解析：f(x)＝＝＝－1＋.
又f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，
由函数的图象平移可知f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．故选C.
答案：C
5．解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.
答案：－3
6．解析：A选项，>0，所以幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增．
B选项，指数函数y＝2－x＝()x在(0，＋∞)上单调递减．
C选项，因为0<<1，所以对数函数y＝在(0，＋∞)上单调递减．
D选项，反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减．
答案：A
课堂考点突破
考点一
1．解析：因为f(x)＝＝2x－，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y＝2x和y＝－在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f(x)＝2x－在区间(－∞，0)上为增函数．
同理，可得f(x)＝2x－在区间(0，＋∞)上也是增函数．
故函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．
2．解析：f(x)
＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0,1]，单调递减区间为(－1,0]和(1，＋∞)．

3．解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．
∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
答案：D
考点二
4．解析：因为函数f(x)＝－x＋在上是减函数，所以f(x)max＝f(－2)＝2－＝.
答案：A
5．解析：令t＝，则t≥0且x＝t2＋1，
所以y＝t2＋1－t＝2＋，t≥0，
所以当t＝时，ymin＝.
答案：
6．解析：y＝＝＝3＋，
因为≠0，所以3＋≠3，所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
答案：{y|y∈R且y≠3}
考点三
例1　解析：∵函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，∴c＝f(20.3)＝f(－20.3)．
∵1<20.3<2，∴－1>－20.3>－2，即－1>－20.3>log2.
∵函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，
∴f(－1)<f(－20.3)<f，即a<c<b.
答案：B
例2　解析：作出函数f(x)的图象如图所示．

则不等式f(1－x2)>f(2x)等价于
或解得－1<x<－1.
答案：D
例3　解析：因为分段函数f(x)为增函数，所以需满足解得4≤a<8.故选B项．
答案：B
同类练
1．解析：a＝＝>>1，c＝log2<0，所以c<b<a.因为f(x)＝2x－2－x＝2x－x在R上单调递增，所以f(c)<f(b)<f(a)．
答案：B
2．解析：由已知得f(x)＝
则f(x)在(－1,1)上单调递减，
所以解得0<m<1，
所以所求解集为(0,1)．
答案：(0,1)
变式练
3．解析：根据题意，由<0，易知函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1<a≤2.故选C.
答案：C
4．解析：因为f(－1)＝－1，所以f(x)<－1，等价于f(x)<f(－1)．又函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．所以x>－1，所以关于x的不等式f(x)<－1的解集为(－1，＋∞)．
答案：D
拓展练
5．解析：y＝＝＝1＋，所以当a－3<0时，y＝的单调递增区间是(－∞，a＋2)，(a＋2，＋∞)；当a－3≥0时不符合题意．又y＝在(－1，＋∞)上单调递增，所以(－1，＋∞)⊆(a＋2，＋∞)，所以a＋2≤－1，即a≤－3，综上知，a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：C
6．解析：由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.故选D项．
答案：D